С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Кроме того, тепло Джоуля-Ленца (которое может возникать в результате перераспределения зарядов в толах при их перемещении) обычно пренебрежимо мало по сравнению с другими слагаемыми. Тогда закон сохранения энергии дает 6А + г1Иг = О. (72.2) В этом случае механическая работа сил электрического поля равна уменьшению энергии электрического поля. Пользуясь законом сохранения энергии, во многих случаях можно вычислить механические силы в электрическом поле горвэдо проще, чем непосредственно рассматривая действие поля на отдельные части тел.
Для этого поступают следующим образом. Если нужно найти силу Е, действующую на какое-либо тело в поле, то предполагают, что это тело совершает какое- либо малое возможное перемещение Ж. Тогда работа неизвестной силы будет РЫг = Г, Мг. Потом вычисляют все остальные изменения энергии, вызванные этим перемещением, и затем из закона сохранения энергии (72.1) или (72.2) находят проекцию неизвестной силы Рг на направление г1г.
Выбирая рассматриваемые перемещения параллельными координатным осям, можно найти составляющие силы по этим осям, а значит, определить неизвестную силу по модулю и направлению. П р и м е р 1, Вычислим силу притижения Р между пластинами плоского конденсатора, находящегося в однородном и иаотропиом диалектрике с диэлектрической проницасмостью е. Диэлектрик будем представлять себе в виде жидкости, которая при перемещении пластин может входить в конденсатор или выходить из него Пластины отключены ат источника. Из соображений симметрии ясна, чта в данном случае сила может быть только перпендикулярна к поверхности пластин, и поэтому воэлгожное перемещение следует выбирать по нормали к пластинам.
Если расстояние между пластинами уменьшается на ггя, то механическая работа равна 6А = г ах 156 гл уп ЗЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА Изменение энергии поля Ийг = — (сеоЕ /2)Яйх и уравнение (72.2) дает Е = (сеоЕ /2)Я. Таким образам, сила, действующая на единицу поверхности пластины (механическое напряжение), равна / = Е/Я = сеоЕ /2, (72.3) т.е. объемной плотности знергии электрического поля. Если бы между пластинами был вакуум (е = 1), та сила была бы равна Ео = (еоЕ /2)/Я. При заполнении конденсатора, отключенного ат источника, диэлектриком напряженность поля внутри диэлектрика уменьшается в е рвз, а, следовательно, сила притяжения изменяется в е(1/е) = 1/е раз, т.е.
становится в е раз меньше. Отметим, что полученный результат на первый взгляд кажется непанятным. Действительно, ведь заряды обклвдок находится вне диэлектрика, где напряженность паля такая же, как и в вакууме, и поэтому неясна, пачему же сила взаимодействия уменьшается в е раз. Объяснение заключается в там, что в случае жидких и газообразных диэлектриков появляются еще силы электрострикции (5 45), которые расталкивают пластины конденсатора. Результирующая сила равна разности между силой электростатического притяжения между пластинами (которая не изменяется при введении диэлектрика) и силой электрострикции, Закон + сохранения энергии автоматически учитывает все силы, действующие в системе, и показывает, что зта результирующая сила уменьшается в е раз.
Если бы между диэлектриком и пластинами коцценсатора был хотя. бы очень тонкий зазор, то силы электрострикции не передавались бы пластинам и сила взаимодействия между ними не менялась бы при введении диэлектрика. П р и м е р 2. Рассмотрим плоский конденсатор, частично погруженный в жидкий диэлектрик (рис. 105). При заряжении пластин на жидкость в области неоднородного Рис. 105. Втягивание жид- поли действуют силы Я 38) и жидкость втякого диэлектрика в влек- гивается в конденсатор. Вычислим силу /, трическое поле с которой электрическое поле действует на каждую единицу горизонтальной поверхности жидкости.
При расчете будем считать, что пластины присоединены к источнику напряжения, а, следовательно, напряжение (7 и нэпряксенность поля Е = 17/И между пластинами постоянны. Если высота жидкости Ь увеличится на 45, то работа искомой силы равна НА = Я/ой, где Я вЂ” горизонтальное сечение конденсатора. Изменение энергии электрического поля равна НИ' = (ееоЕ~/2 — еоЕ /2)Я45.
157 з 73 кВАзистАционАРные тОки Нв пластины перейдет дополнительный заряд ад = (гееŠ— гоЕ)а оо (а— ширина пластин), и работа источника тока будет Е~Й = ПИ1 = П(егоŠ— еоЕ)а НЬ = (екеŠ— ееЕ )$ЙЬ. Мы предположили, что сопротивление проводов весьма мало, и в соответствии с этим считали Ю = У. Подстэлляя эти выражения в уравнение (72.1), нэходим У = еееЕ (2 — ееЕ /2 (72.4) Мехэническое напряжение 7" равна разности объемных плотностей энергии электрического поля с обеих сторон границы раздела (ср.
З 101). Отметим, что полученный результат, рэзумеетси, це зависит от сопротивления проводов. Если бы мы положили это сопротивление не малым, то, объединяя в (72.1) двв члена: % ос и Ыз ой мы нашли бы, что Ф ~й = г1х Ж = (Ф вЂ” г1)1 41 = У1 Ж, т.е. то же, что и раньше. 5 73. Квазистациоиарные токи До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Однако полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам, если только изменение силы тока происходит не слишком быстро.
Действительно, представим себе,что в некотором контуре с постоянным током электродвижущие силы изменились на малую величину. Сила тока в контуре начнет изменяться, но через некоторое время достигнет нового установившегося значения. Изменяя ЭДС небольшими ступенями, мы создадим в контуре ступенчато изменяющийся ток, к отдельным установившимся значениям которого будут применимы все законы постоянного тока. Представим себе теперь, что мы увеличиваем число ступеней тока, уменьшая одновременно величину каждой ступени.
Тогда в пределе мы получим непрерывно изменяющийся ток. Если изменения тока настолько медленны, что за время установления электрического равновесия в цепи относительные изменения токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут подчиняться всем законам постоянных токов, как и при ступенчатом изменении тока. Такие токи называют медленно меняюЩимися или хеазксгпационарными. Отметим, что скорость установления электрического равновесия весьма велика, и поэтому под понятие квэзистационарных токов подпадают в обычном смысле весьма быстрые процессы. Все технические переменные токи являются квазистационарными.
Даже очень быстрые электрические колебания, употребляемые в радиотехнике, с частотами порядка миллиона колебаний в секунду, очень часто можно еще рассматривать как квазистационарные. 158 ГЛ Чп элвкт1*одвижу!цАя силА Из сказанного следует, что задачи на квазистационарные электрические процессы можно решать при помощи законов постоянных токов, если применять эти законы к мгновенным значениям электрических величин Однако при этом вместо алгебраических соотношений мы приходим к дифференциальным уравнениям, интегрирование которых и дает зависимость искомых величин от времени Чтобы неустановнвшийся электрический процесс был кввзистационарным, необходимо выполнение двух условий Первое из них относится к процессам внутри проводника А именно, можно показать (см Добавление 5), что если внутри проводящей среды возник избыточный объемный заряд с плотностью р, то этот заряд под действием вызванного им самим электростатического поля будет уменыпаться с течением времени по закону р = ро ех ( — 1/тм) (73 1) Здесь ро — объемная плотность заряда в момент времени ! = О, а (73 2) тм = еее/Л, где е — диэлектрическая проницаемость среды, Л вЂ” ее удельная электрическая проводимость Время тм называется временам диэлекшрической релаксации нли еременель релаксации Максеелла Она равно времени, в течение которого объемный заряд уменьшается в е = 2,71 раза Время релаксапнн Максвелла, следовательно, определяет порядок времени, в течение которого восстанавливается стационарность электрических процессов Чтобы тока можно было считать квазистациопарными, характерное время рассматриваемого неуствновившегося процесса Т должно удовлетворять условию тм «Т (73 3) Если таки изменяются со временем периодически (электрические колебания), то под Т следует понимать период колебаний и сформулированное условие примет вид ытм ((1, где ы = 2г/Т вЂ” круговая частота колебаний Однако прн рассмотрении электрических контуров (цепей) следует наложить еще одна условие на размеры контура Дело в том, что прн любом изменении электрического состояния в какой-либо части контура электрическое возмущение распространяется вдоль контура с конечной скоростью, равной (гл ХХП) у — с/ч'ер Здесь с — 3 10 м/с — скорость света в вакууме, а е и и — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, окружающей проводники Если ! — длина контура, то время прохождения возмущения вдоль контура равно т = !/э = (!/с).„/Ер (73 4) Поэтому второе условие кввзнстационарности токов есть т « Т (73 5) Для периодически изменяющихся токов оно имеет внд (73 ба) ыг ((1 г 74 КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ С СОПРОТНВЛЕНИЕМ 159 При выполнении этого условия мгновенные значения всех электрических величин в каждой части контура будут такими лсе, как и в случае постоянного така В частности, для простого неразветвленного контура мгнавеннал сила тока в любам сечении проводника одинакова Значение тм изменяется в широчайших пределах В плохо проводящих веществах (диэлектриках) оно мажет измеряться многими минутами В металлах вследствие их большой электропроводности тм равно по порядку величины 10 " с В зависимости ат свойств проводников одно из условий квазистационарности (73 3) и (73 5) обычно горазда сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является определкющим 9 74.
Конденсатор в цепи с сопротивлением В качестве примера квазистационарных токов рассмотрим процессы зарядки и разрядки конденсатора. Пусть конденсатор с емкостью С включен в схему рис. 106 Тогда, ставя переключатель в положение 1, мы будем заряжать конденсатор от источника тока, а перебрасывая переключатель в положение 2,— разряжать конденсатор Рассмотрим сначала процесс зарядки конденсатора Обозначим через е' ЭДС источника, через г — сопротивление цепи (включая и внутреннее сопротивление источника) и выберем положительное и направление тока, как показано на рисунке Применяя к контуру АРСЕ' второе правило Кирхгофа, получим гг+У= р'; 1 здесь г — мгновенное значение силы тока, У вЂ” мгновенное значение напряжения на конденсаторе Но У = д/С, г = сй)/й„ где д — заряд конденсатора.
Из папи- рис 10б Зарлжение и санных трех равенств мы можем исклю- разряжение когщенсатора чить две из трех переменных величин д, г и У и получить уравнение для какой-либо одной из ннх Исключая д и г, находим аУ У 6 — + — — — = О. ж С с Мы получили для определения У дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами Введем новую переменную и = У вЂ” е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
