С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 16
Текст из файла (страница 16)
мы можем ввести в (36.1) потенциалы У1, У2, ... каждого из проводников (например, от- сложные кОнденсАтОРИ носительно бесконечности): с112»1 ~2> с'13 = с>1 — >>3> Подставляя эти выражения в (36.1), получим для заряда д1 опять линейную функцию потенциалов всех проводников в виде ч1 = СЫУ1 + С1гУг +... = ~ С1ьБЫ (36.2) И аналогично для зарядов других проводников имеем ч1 = ~» СзьУь я (36.2а) где 1 — номер проводника. Коэффициенты Ске в этих формулах имеют простой физический смысл.
Из (36.2) видно, что Сп равно заряду проводника 1, когда его потенциал равен единице, а потенциалы всех других проводников равны нулю; коэффициент С1г равен заряду на теле 1, когда потенциал тела л равен единице, а потенциалы всех остальных тел (включая и тело 1) равны нулю, и т.д. С;ь зависят от формы и размеров рассматриваемых проводников, от их взаимного расположения и от свойств окружающей среды.
Систему уравнений (Зб.га) можно разрешить относительно потенциалов б>ь и выразить, наоборот, все потенциалы через полные заряды проводников. Потенциалы проводников будут также линейными функциями зарядов, и мы можем написать; (Зб.з) Можно показать, что коэффициенты С,ь и р,>, удовлетворяют условиям симметрии Сы = Сы, р э = рко на чем, однако, мы не останавливаемся.
Мы видим, что в случае сложного конденсатора заряд любого из проводки- Рис. 44. Пример сложного конденсаков определяется потенциа- хора лами всех проводников. Поясним это на простом примере. Рассмотрим цилиндрический конденсатор вблизи поверхности земли (заземленных предметов) (рис. 44). Мы имеем здесь три проводника: внешнюю обкладку, внутреннюкз обкладку и землю, и в правой части формулы (36.1) будут два члена. Обозначим через С емкость обеих 74 ГЛ ЬЧ ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ обкладок, а через с — емкость внешней обкладки относительно земли (емкостью стержня относительно земли пренебрегаем). Если соединить внешнюю обкладку с землей, то 17ы = О.
Поэтому при заряжении конденсатора до напряжения 17 он накопит заряд 7, = С(7. Если же соединить с землей внутреннюю обкладку, то 17Гз не равно нулю и равно напряжению на конденсаторе 17. Поэтому при том же напряжении заряд конденсатора будет больше, чем в первом случае, а именно дз = С(7+ с17. й 37. Энергия электрического поля Мы видели, что заряженный конденсатор обладает определенной энергией. Поэтому можно поставить вопрос о том, где именно сосредоточена, локализована эта энергия.
Можно, например, предполагать, что энергия сосредоточена на обкладках конденсатора, т.е. на электрических зарядах. Однако можно также допустить, что энергия конденсатора сосредоточена в его электрическом поле, т.е. в пространстве между обкладками. Только опыт, очевидно, может дать решение этого вопроса. Пока мы рассматриваем постоянные электрические поля, такой опыт невозможен, так как в этом случае мы всегда имеем заряды, окруженные электрическим полем, и, наоборот, — электрические поля совместно с электрическими зарядами. Однако интересукпцие нас опытные данные можно получить, рассматривал поля, переменные во времени.
Ниже мы увидим (гл. ХХП1), что существуют электромагнитные волны, представляющие собой электрические и магнитные поля, изменяющиеся во времени и распространяющиеся с определенной скоростью в пространстве. Электрические поля в электромагнитных волнах можно получить без электрических зарядов, первоначально породивших эти поля (так же как и магнитные поля — без электрических токов, их поддерживыощих).
Опыт показывает, что электромагнитные волны заключают в себе и переносят энергию, и эту энергию мы с успехом используем в радиотехнике для целей связи и в других технических устройствах. Факт существования электромагнитных волн позволяет ответить на поставленный выше вопрос и заключить, что энергия сосредоточена в электрическом поле. Учитывая этот результат, мы можем преобразовать выражение (34.1) для энергии конденсатора таким образом, чтобы в него входила характеристика поля — его напряженность. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Рассмотрим сначала однородное поле и применим (34.1) к плоскому конденсатору.
Мы получим 1 ееОЯ 2 1 И' = — — У = — еео ~ — ) Оп. 2 д 2 ~в) Но У/Ы (ср. 3 19) есть напряженность поля Е, а Ой — объем, занимаемый полем. Мы видим, что энергия однородного поля пропорциональна объему, занимаемому полем. Поэтому целесообразно говорить об энергии каждой единицы объема, или об объемной плотности энергии электрического поля. Она равна и = — есор~. 2 (37.1) При получении формул (34.1) и (37.1) мы предполагали, что емкость конденсатора, а значит, и диэлектрическая проницаемость постоянны.
При этом мы считали, что вся внешняя работа источника тока) превращается в энергию электрического поля. то совершенно точно для вакуума, и поэтому формула (37.1) при е = 1 выражает объемную плотность энергии электрического поля в вакууме. В диэлектриках, вообще говоря, это не так. При создании электрического поля диэлектрики могут нагреваться.
Их объем и плотность в электрическом поле, даже при неизменной температуре, могут изменяться (вследствие явления электрострикции 3 45). Диэлектрическая же проницаемость зависит от температуры н плотности вещества и не остается постоянной. Кроме того, внешняя работа источника тока может не целиком переходить в энергию поля. Поэтому в общем случае формула (37.1) не точна. В дальнейшем мы будем считать, что объем т среды и ее плотность остаются постоянными (не изменяются в электрическом поле или поддерживаются неизменными). Формула (34.1) выражает точно внешнюю работу (источника тока) А, если температуру диэлектрика, а следовательно и е, поддерживать постоянной. Эта работа расходуется на увеличение энергии поля Иг и на выделение тепла Я, которое нужно отводить от диэлектрика (или подводить к нему, тогда оно войдет со знаком минус) для поддержания неизменной температуры; А = И" + 1е. (37.2) Но из термодинамики известно, что работа внешних сил, .совершаемая над системой при квазистатическом изотермическом процессе, равна приращению функции состояния системы, называемой свободной энергией.
Поэтому формула (37.1) выражает не внутреннюю энергию электрического поля в диэлектрике, а слагаемое в свободной энергии диэлектрика, зависягцее от электрического поля, являющееся мерой внешней работы при изотермическом изменении электрического поля. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ. Ш А = т ~ (Ела). (37.3) Смещение В зависит не только от электрического поля Е, но еще и от температуры тела и его плотности. Поэтому функция В(Е), а значит, и работа А зависят от условий создания электрического поля и различны для теплоизолированного тела, поддерживаемого при постоянной температуре, и т.д. В случае изотермического процесса формула (37.3) дает общее выражение для приращения свободной энергии тела в электрическом поле.
Если выделяющимся теплом (и внешней работой при изменении объема тела) можно пренебречь по сравнению с энергией поля, то вся внешняя работа А превращается в энергию поля. Из формулы (37.3) следует, что в этом случае объемная плотность энергии электрического поля равна и = ~ (ЕЛЭ). (37.4) Если диэлектрическую проницаемость при постоянном объеме т можно считать не зависящей от температуры: (де/д7") = = О, то е = сонэк при Ц = О, и формула (37.1) опять дает объемную плотность энергии электрического поля. В этом случае электрические части свободной энергии и внутренней энергии диэлектрика совпадают друг с другом. В дальнейшем мы будем предполагать, что тепло 1~ в формуле (37.2) малб по сравнению с энергией поля И" и, если не оговорено обратное, будем считать внешнюю работу при создании электрического поля в диэлектрике равной энергии этого поля.
При выводе формулы (37.1) было сделано также предположение, что электрическое смещение 13 = сеоЕ есть линейная функция напряженности поля Е (е = сопзс). Между тем для некоторых веществ зависимость О от Е, даже при постоянной температуре, оказывается более сложной. Нетрудно обобщить полученные результаты на случай нелинейной зависимости П от Е. Для этого учтем, что поверхностная плотность заряда и на проводниках (обкладках) равна нормальной составляющей вектора электрической индукции Р„Я 13, пример 2; см.
также 3 41). Поэтому, рассуждая, как и выше Я 34) в случае однородного электрического поля, мы получим для приращения внешней работы при зарядке конденсатора 6А = и 47 = иЯЖЭ„. Здесь и = ЕН, а Яд = т есть объем поля. Следовательно, 6А = Еп' ЯйР = т(Е <йЭ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
