С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому, согласно (17.1), и напряжение У между обкладками всегда пропорционально заряду обкладок Ф (31.1) Коэффициент С в этой формуле называют злектроческой емкостью конденсатора или просто его емкостью. Из (31.1) следует, что д = С при У = 1. Это значит, что емкость конденсатора измеряется зарядом, находящимся на каждой из обкладок, если напряжение между обкладками равно единице. Единицей емкости служит фарад (Ф) — емкость такого уединенного проводника, потенциал которого повышается на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл: 1 Ф = 1 Кл/1 В = 1 Кл/В. На практике применяют также более мелкие единицы емкости: 1 микрофарад (мкФ):= 10 ~ Ф и 1 пикофарад (пФ) = 10 1з Ф.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ГЛ, 1Ч Емкость конденсатора зависит от его размеров, формы и от свойств среды, находящейся между его обкладками. Пусть Со — емкость любого конденсатора, когда его обкладки находятся в вакууме.
Практически мы получим ту же емкость, если между обкладками будет атмосферный воздух. Пусть далее С вЂ” емкость того же конденсатора, если все пространство между его обкладками заполнено каким-либо другим однородным диэлектриком. Отношение С/Со = е (31.2) называют относигпельиой диэлектрической ироиицаемостью или просто диэлектрической ироницаемостью диэлектрика.
Диэлектрическая проницаемость е есть величина, характеризующая электрические свойства вещества и зависящая от рода вещества и от его состояния (температуры, давления и тд.). Отметим, что величина, определяемая формулой (31.2), есть отношение абсолютной диэлектрической проницаемости данного вещества (еое) и вакуума (ео). Как видно из (31.2), эта величина безразмерна.
Значение абсолютной диэлектрической проницаемости еое зависит от того, какую размерность и какое значение приписать ео. В абсолютной электростатической системе единиц полагают Го = 1 и считают величиной безразмерной. Поэтому (31.2) определяет одновременно и абсолютную диэлектрическую проницаемость в системе единиц СГСЭ, В системе единиц СИ ео есть величина размерная и не'равная единице (3 4). Поэтому абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества в системе единиц СИ есть еос. В качестве примера приводим в табл.
1 диэлектрические проницаемости е некоторых веществ: Таблица 1 $ 32. Емкость простых конденсаторов Емкость конденсаторов простой формы можно вычислить. Для этого предполагают, что на каждой из обкладок находится некоторый заряд о, и вычисляют потенциал в электрическом 65 1 32 ЕМКОСТЬ ПРОСТЫХ КОНДЕНСАТОРОВ поле рассматриваемого конденсатора Цх, у, я). Если удается решить эту задачу, то отсюда получается и значение напряжения между обкладками конденсатора У. После этого емкость можно найти по формуле (31.1). Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р 1. Плоский конденсатор. Будем считать, что зазор между пластинами мал по сравнению с их размерами, так что краевыми эффектами можно пренебречь.
Распределение потенциала в поле плоского конденсатора нами уже вычислено в 3 24. Если на единице поверхности обкладок имеется заряд о и диэлектриком является вакуум, то полное напряжение между обкладками равно С = оа/ео, где Ы вЂ” расстояние между пластинами. Если площадь каждой пластины равна Я, то полный заряд пластины есть д = СЯ. Поэтому С = ~у/У = сои/а. (32.1) Если диэлектриком является не вакуум, а вещество с диэлектрической проницаемостью е, заполняющее все пространство, где имеется электрическое поле (пространство между обкладками), то емкость будет в е раз больше: С = ееоо'/д. (32.1а) При уменьшении расстояния Ы между обкладками емкость увеличивается. П р и м е р 2.
Шаровой конденсатор. Если на обкладках конденсатора имеется заряд а, то напряжение между обкладками в вакууме Я 24) где а и Ь вЂ” радиусы внутренней и внешней обкладок. Поэтому емкость в вакууме С= — = (32.2) Если внешний радиус Ь гораздо больше внутреннего а, то формула упрощается: С = 4яеоа. (32.3) Этот результат справедлив и в том случае, если внешняя обкладка имеет не сферическую форму, а какую угодно, при условии, что ее размеры намного больше радиуса внутренней сферы.
В таком смысле часто говорят о емкости уединенного шара, хотя это выражение всегда обозначает емкость конденсатора, у которого роль внешней обкладки играют удаленные предметы, находящиеся при одинаковом потенциале (стены комнаты и т.п.). 66 гл гч ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Если, наоборот, зазор между обкладками Ь вЂ” а = Ы весьма мал по сравнению со средним радиусом сфер г, то (32.2) можно представить в виде оЬ г~ Б С = 4огсв — 4ьее — = св —, Ь вЂ” гг г1 где Я = 4огг~ есть площадь поверхности обкладок. Мы видим, что при малом зазоре выражения для емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают.
П р и м е р 3. Цилиндрический конденсатпор. Пусть конденсатор состоит из двух коаксиальных цилиндров с радиусами а (внутренний) и 6 (внешний). Длину цилиндров будем считать весьма большой по сравнению с зазором между ними. Напряжение между обкладками (3 24) у= о'- 1п —, 2ооо а' где ггг — заряд на единицу длины цилиндров. Поэтому емкость цилиндрического конденсатора в вакууме на каждую единицу длины равна с, в 2 (32.4) Эта формула выражает, в частности, емкость кабеля, который состоит из металлического провода, окруженного слоем изолятора и металлической броней; выражение (32.4) следует умножить еще на диэлектрическую проницаемость е вещества изолятора.
Если расстояние между цилиндрами Ь вЂ” а = г( мало по сравнению с их радиусами, то (32.4) упрощается. В этом случае 1п (Ь/а) можно разложить в ряд и ограничиться только членом первого порядка: 1п (Ь/а) = 1п (1 + г1/а) - г1/а. Поэтому 2~гоо гол Сг = — = —, 4/а 4 где через Я обозначена площадь поверхности обкладок на единицу длины конденсатора: Я = 2ога. И в этом случае емкость выражается той же формулой, что и для плоского конденсатора. Отметим, что этот результат имеет общий характер и справедлив для конденсаторов с обкладками любой формы, если только зазор между обкладками мал по сравнению с радиусом кривизны обкладок.
Он является следствием того, что любое неоднородное поле на малых расстояниях можно рассматривать как однородное. ЕМКОСТЬ ПРОСТЫХ КОНДЕНСАТОРОВ 1 32 П р и м е р 4. Двухпроводная линия. Рассмотрим теперь два параллельных цилиндрических провода с радиусами а и расстоянием между осями д (рис. 38).
Будем считать, что все остальные тела, включая и землю, находятся на расстояниях, больших по сравнению с «1, и поэтому будем рассматривать оба провода как простой конден- ! сатор. Если расстояние «1 сравнимо с в, то г о»«ог«г г о'« ' » о . 1 г ности проволок неравномерно, и вычисление электрического поля будет слож- р зя ным. Поэтому мы предположим, что „о дву овод и лд »а. В этом случае оба цилиндра заряжены равномерно, и напряженность поля, создаваемую имн, можно найти по формуле (13.9).
Так как напряжение в электростатическом поле не зависит от формы пути, то для его вычисления мы выберем простейший путь в виде прямой линии, соединяющей оси проводов и перпендикулярной к их поверхности. Напряженность поля Е в какой-либо точке х на этой линии (рис. 38) равна «и 1 В Е= — + — —, 2лоо х 2лао «1 — х' где дг — заряд на единицу длины проволок. Поэтому напряжение У между проводами а — а «г — а «Г вЂ” а У = ~ Е«1х = — ( — + — ] — = — 1п — — — 1п —.
аг Г дх «1« Г «1х «гг «1 — а «гг «1 2лоо х 2лоо «1 — х лоо а лоо а Емкость двухпроводной линии на каждую единицу длины лоо (32.5) Единица электрической постоянной ео. Понятие электрической емкости используют в системе единиц СИ для определения единицы электрической постоянной ео. Пользуясь, например, формулой (32.1), имеем ео = Сд/с. Подставляя сюда вместо С, д и Я их единицы, находим единицу электрической постоянной: 1ее=1Ф 1м/1м2=1Ф/м; она получила название фарад на метр (Ф/м).
68 ГЛ. Г1 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 9 33. Метод зеркальных изображений При расчете электрического поля и вычислении емкости бывает полезен вспомогательный прием, называемый методом зеркальных изображений зарядов. Этот метод основан на следующем очевидном положении: если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу рас+ сматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
