Ульянов (старое издание) (1115357)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ульянов Владимир ВасильевичКурс лекций по теориивероятности и математическойстатистикеДля 2 курса за 2005 - 2006 годSpringerBerlin Heidelberg NewYorkHong Kong LondonMilan Paris TokyoОглавлениеЧасть I Теория вероятности.1Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Введение. Понятие вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1 Петербургский парадокс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7772Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.0.2 Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Конечное вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Классическая вероятность . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Урновая схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Вторая урновая схема (выборка без возвращения) . . .99101111113Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.0.4 Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.0.5 Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.0.6 Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131415164Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1 Неравенство Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2 Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .4.2 Различие двух гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17172122245Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1 Функция распределения . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357.1 Формула свертывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Оглавление8Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.1 Определение математического ожидания в общем случае . . 399Лекция 9 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.1 Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510 Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.0.1 Ветвящиеся процессы. Задачи о вырождений Фомина.

4810.1 Характеристические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911 Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312 Лекция 12 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.0.1 Применение характеристических функций . . . . . . . . . . 5913 Лекция 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 6313.1 Условное распределение. Условное математическоеожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6313.1.1 Общие свойства условного математическогоожидания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 6414 Лекция 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Часть II Математическая статистика.15 Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 7116 Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.1 Ветвящиеся процессы. Задачи о вырождений Фомина. . . . .16.2 Характеристические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2.1 Свойства характеристической функции. . .

. . . . . . . . .16.3 Порядковые статистики и вариационные ряды. . . . . . . . . . . .16.4 Точечные оценки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73757778828317 Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 8517.1 Неравенство Рао-Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8718 Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.1 Метод моментов . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9119 Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9319.0.1 Достаточные и полные статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . 9420 Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9720.1 Оценки максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Оглавление521 Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10321.0.1 Свойство (принцип) инвариантности ОМП . . .

. . . . . . . 10321.1 Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10421.2 Метод построения доверительных интервалов . . . . . . . . . . . . . 10521.2.1 Метод, основанный на точечных оценках. . . . . . . . .

. . . 10522 Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10722.0.2 Метод, основанный на центральной статистике . . . . . . 10722.0.3 Метод, основанный на центральной предельнойтеореме . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923 Лекция 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11123.1 Проверка статистических гипотез . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 11123.1.1 Гипотезы об однородности выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.1.2 Гипотеза о независимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11224 Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 11525 Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12125.1 Критерий Пирсона (критерий согласия) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12226 Лекция 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12526.1 Обобщение критерия χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Часть IТеория вероятности.1Лекция 11.1 Введение. Понятие вероятностиПример 1.1. Бросание идеальной монетыБюффон - 4040 бросаний - 2048 выпадений ГербаМорган - 4092 бросаний - 2048 выпадений ГербаПирсон - 24000 бросаний - 12012 выпадений ГербаРомановский - 80640 бросаний - 39699 выпадений ГербаОтцами теории вероятности классически считаются Паскаль и Ферма.Определение 1.1. Классическая вероятность:P (A) =|A|.

. . (1)|Ω|где |A| - число благоприятствующих событию А исходов|Ω| - совокупность всех элементарных исходов.Замечание 1.1. Формула (1) применима только тогда, когда исходы равновозможны.1.1.1 Петербургский парадоксБоря бросает монету, если герб впервые появляется при i-ом бросании,то Боря платит Ане 2i рублей. ( В справедливой азартной игре плата заучастие в игре в среднем равна выигрышу.)1-е бросание:{SР,Г,РР,РГ,...

}SА = {"Г" "РГ" ...} - счетное объединение событий.Определение 1.2. Вероятность - это функция на событиях, которая принимает значения из [0, 1].P : F → [0, 1]101 Лекция 1Определение 1.3. Достоверное событие - это событие, котороепроисходит всегда.Замечание 1.2. P (Ω) = 1Определение 1.4. (Ω, F, P ) - вероятностное пространство, если выполняются условия:1) Ω ∈ F ;2) если A ∈ F , то A ∈ FS(если A-событие, то A - событие);3) если A1 , A2 , .. ∈ F ,то i=1 Ai ∈ F .Определение 1.5.

Вероятность - функция на событиях, ее областьопределения - F .P удовлетворяет следующим аксиомам:1)P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F ;2)P (Ω) = 1;S∞P∞3)если A1 , A2 , .. ∈ F и Ai Aj = O при i 6= j , то P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ).Определение 1.6. Пересечение событий - это событие, которое происходит тогда, когда происходит каждое из событий.2Лекция 22.0.2 Свойства вероятности1) P (O) = 0, где O - невозможное событие.Доказательство.

Очевидно, O ∪ O ∪ O ∪ ... = O и OO = O;отсюда следует, что P (O ∪ O ∪ O ∪ ..) = P (O) + P (O) + .. = P (O)2) Вероятность - конечно-аддитивная функция.Доказательство. AS1 , A2 , .. ∈ FP; Ai Aj = O при i 6= jnnСледовательно, P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ).3) P (A) = 1 − P (A)Доказательство. Доказательство состоит в том, что достоверное событиеможно представить как объединение события и ему обратного.Ω = A + A.Следовательно,P (Ω) = P (A) + P (A).S4) P (AS B) 6= P (A) + P (B)P (A B) = P (A)S + P (B) − P (AB)Равенство P (A B) = P (A) + P (B) , вытекающее из свойства аддитивности, не всегда остается верным.

Например, если P (A) = 0, 7 и P (B) = 0, 8.SДоказательство.Представим два события в виде: A = AB AB и B =SAB AB. В правых частях находятся объединения попарно несовместимых событий. Отсюда соответствующие вероятности для события АP (A)S= P (AB) + P (AB) и для события В P (B) = P (AB) + P (AB).P (A B) = P (A) + PS(B) + P (AB).Следовательно, P (A B) = P (A) + P (B) − P (AB).5) Свойство счетной полуаддитивности(илиS∞P∞σ -аддитивности)Пусть A1 , A2 , ... ∈ F . Тогда P ( Si=1 Ai ) ≤ i=1 P (Ai ). Из свойства 4 вытекает такое неравенство: P (A B) ≤ P (A) + P (B).122 Лекция 2S∞S∞Доказательство. Пусть i=1 Ai = i=1 Di , где D1 = A1 ,а последуюSi−1щие находятся из равенства Di = Ai |( 1 AjS) События Di Sстановятся∞∞попарнонесовместимыми.Такимобразом,P(Ai)=P(i=1i=1 Di) ≤P∞P∞P(D)=P(A).НаступленияDвлечетнаступленияAi .iiii=1i=16) Монотонность.Если A ⊂ B, то P (A) ≤ P (B)(т.е если событие A наступит раньше события B, то вероятность события A не больше вероятности события B.SДоказательство.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций