Ульянов (старое издание) (1115357), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Это обозначим через (2). Значит, | eia − 1 |=| i 0 eiy dy |≤ a, a >0 ⇒| E(eihx − 1 | ·I|x|<A ≤ E | hX | ·textbf I|x|<A ≤ A | h |. Это обозначимчерез (3). Фиксируем произвольное ε > 0 , тогда ∃A0 : P (| X |≥ A0 ) > 4ε .Берем δ = 2Aε 0 . Тогда объединяя (1), (2) и (3), получаем | fx (t + h) − fx t |≤A0 · 2Aε 0 + 2 · 4ε = 2 при условии, что | h |< δ и ∀t. Отсюда и вытекает равномерная непрерывность.5. Если для некоторого h ≥ 1∃EXn (момент порядка n), то fx дифферен(n)цируема n раз и fx (0) = in EXn (если известна fx (t), то можно найтивсе моменты).
Обратное не верно.Theorem 10.2 (Теорема Лебега о предельном переходе под знаком математического ожидания). Пусть Xn - последовательностьслучайных величин , которая сходится почти наверное к X : Xn →X.Пусть |Xn | ≤ Y почти всюду для всех случайных величин EY <∞.Тогда ∃ EX и EX = lim EXn (EX = E(lim X))0Доказательство. Пусть n = 1. Докажем,что ∃ρx .Ниже индекс X опускаем10.1 Характеристические функцииZρ(t + h) − ρ(t)=h∞eith .−∞53eith − 1dF (y) . .
. (4)hРассмотрим функциюαh (y) = eity .eith − 1, |eity − 1| ≤ |y · h|.hТогда для любого фиксированного y : |αn (y)| ≤ |y| справедливо выражение: αn (y) → iyeity при n → 0Следовательно , по теореме Лебега вытекает , что при h → 0 предел левойчасти (4) существует и справедливо следующее равенство :Z ∞yeity dF (y)ρ0 (t) = i−∞Для n = 1 доказано,для общего случая доказывается по индукции.6. Формула обращения:Пусть Fx (y) - функция распределения случайной величины X.Для любыхточек непрерывности a и b функции Fx (y) имеемZ c −itb1e− e−itaFx (a) − Fx (b) = limfx (t) dtc→∞ 2πit−cВведем обозначение :Vc =12πZc−ce−itb − e−itafx (t) dtitЗамечание 10.2. Пусть a > b,устремим b → −∞ и находим Fx (a) длялюбых точек непрерывности a.Следовательно знаем значение Fx (a) длялюбых a ∈ R.Если a - точка разрыва для Fx (a).Тогда существует последовательностьan такая,что an возрастает и сходится к a и a - точка непрерывности Fxи в силу свойства непрерывности Fx слева получаемFx (a) = lim Fx (an ).Доказательство (формулы обращения).Z c Z ∞ −itb1e− e−ita ituVc =.e dF (u)dt =2π −c −∞itZ c Z ∞ −it(b−u)1e− e−it(a−u)dF (u)dt |e−it(b−u) −e−it(a−u) | ==−2π −c −∞it= {a > b} = |eit(b−a) − 1| ≤ (a − b)|t|.Для Vc меняем порядок интегрирования(по теореме Фурье):5410 Лекция 10ZZ∞bdF (u)−∞dFx (u) = P (a < x < b).aZ ∞ Z c −t(b−u)e− e−it(a−u)1Vc =dtdF (u)2π −∞ −citZ 0Z c−e−it(u−b) + e−it(u−a)= {t = −t} =dtit−c0Z c−e−it(u−b) + e−it(u−a)⇒dt =it−cZ c it(u−b)Z 0 −it(u−a)e− eit(u−a)e− e−it(u−b)=dt +dt =itit0−cZ cZ c(u−b)sin(u − b) − sin t(u − a)sin t=2dt = {} = 2dt.tt0c(u−a)Z1 B sin tlimdt = 1 .
. . (5)A,B→+∞ π −A tИтак дляZ∞Vc =−∞1πZc(u−a)c(u−b)sin tdtdF (u).tR c(u−a)Пусть ρc (u) = π1 c(u−b) sint t dt, a > b Рассмотрим различные предельныеповедения ρc (u) :1. Если u < b, то ρc (u) → 0 при c → ∞.2. Если u > b, то ρc (u) → 0 при c → ∞.3. Если b < u < a, то ρc (u) → 1 при c → ∞ в силу формулы (5).4. Если u = b или u = a , то ρc (u) → 21 при c → ∞.Заметим , что ρc (u) равномерноограничена для любого с.Тогда по теореR∞ме Лебега lim Vc = −∞ g(u) dF (u), где0,g(u) = 1/2,1,u > a, u < bu = a, u = bb<u<a11Лекция 11x ∼ N (0, 1) - стандартная норм.
сл. величинаg(y) - плотность сл.в. x2g(y) = √12π e−y /2R∞2f (t) = Eeitx = −∞ √12π eity−y /2 dyдифференцируяфункцию, получаем:R ∞ подынтегральную2f ‘ (t) = √i2π −∞ yeity−y /2 dy = {интегрируем по частям} = −tf (t),f (0) =−t2 /21 ⇒ f (t) = e- характеристическая функция стандартного нормального законаПусть ϕ ∼ N (a, σ 2 ) - общий нормальный законϕ = a + σx, где x ∼ N (0, 1) из свойств характеристической функции:2 2fy (t) = exp(ita − i 2σ )Пусть ∃xi ∼ N (ai , σi2 ), i = 1, 2 независимы.Рассмотрим x1 + x22fx1 +x2 (t) = fx1 fx2 = exp{it(a1 + a2 ) − t2 (σ12 + σ22 )}Любая линейная комбинация нормальных, линейно распределенных случ.величин имеет нормальное распределение.{xn −→ x}⇓?fn (t) −→ f (t)Определение 11.1.
Пусть {Fn } - последовательность функций распределения Fn слабо сходится к F (x), если для ∀ т. x - точка непрерывностифункции F, имеем Fn (x) → F (x)Какие функции могут выступать, как пред. функции распределения?5611 Лекция 11Замечание 11.1. 1) 0 ≤ F ≤ 12) Легко показать, что F - неубывающая.F не обязательно является функцией распределения.Пример 11.1. Fn (x) - функция распределения функции принимает значение n с вероятностью 1.Fn (x) → 0 - функция распределения равномерно распределенной величины на отрезке [−n, n].Слабая сходимость: Fn ⇒ FЕсли F - функция распределения и Fn ⇒ F , тогда xn ⇒ x слабо сходитсяк x (сходимость по распределению), где xn и x - случайные величины сфункциями распределения Fn и F соответственно.Theorem 11.1 (Прямая теорема о непрерывном соответствии).Пусть Fn ⇒ F , где Fn , F - функции распределения, тогда для любогодействительного t fn (t) → f (t), где fn и f характеристические функции,отвечающиефункциональным распределениям Fn и F соответственно,R∞т.е.
f (t) = −∞ eity dF (y)Theorem 11.2 (Обратная теорема о непрерывном соответствии).Пусть последовательность характеристических функций {fn } сходится поточечно к некоторой функции f (t), непрерывной в нуле.Тогда f (t) является характер. функцией и Fn ⇒ F , где Fn и F - функциираспределения, отвечающие характер. функциям fn и f соответственно.Лемма 11.1. Пусть Fn (x) → F (x) для ∀ точки x ∈ D, где D есть всюдуплотное множество на R.Тогда Fn ⇒ F .Доказательство. Для того, чтобы получить слабую сходимость, мы должны понять, почему, взяв ∀ точку F получим непрерывную сходимость.Пусть x - т.
непрерывности F. Возьмем произвольные x1 , x2 ∈ D x1 < x <x2 ИмеемFn (x1 ) ≤ F (x) ≤ Fn (x2 )(11.1)Далее рассмотрим(1)F (x1 ) = lim Fn (x1 ) ≤ limFn (x) ≤ limFn (x) ≤ Fn (x2 ) = F (x)(по условию леммы)(11.2)Очевидно, чтоF (x1 ) ≤ F (x) ≤ F (x2 )(в силу выбора точек x1 , x2 )Из (2) и (3) ⇒ что ∃ lim Fn (x) = F (x)т.к. x - произвольная ⇒ слабая сходимость.(11.3)11 Лекция 1157Theorem 11.3 (Первая теорема Хелли).
Из любой последовательности функций распределения {Fn } можно выделить слабо сходящуюсяподпоследовательность.Доказательство. Пусть D = {xn } –счетное, всюду плотное множество наR, например, множество рациональных чисел.Из ограниченной последовательности {Fn (x1 )} выделим сходящуюся подпоследовательность {F1n (x1 )}.Из ограниченной последовательности {F1n (x2 )} выделяем сход. подпоследовательность F2n (x2 ) и т.д.x1 F11 (x1 ) F12 (x1 ) F13 (x1 ) . . . → F (x1 )| {z }x2 F21 (x2 ) F22 (x2 ) F23 (x2 ) .
. . → F (x2 ) . . . . . .| {z }x3 F31 (x3 ) F32 (x3 ) F33 (x3 ) . . . → F (x3 )| {z }F2n (xi ) → F (xi ) i = 1, 2F3n (xi ) → F (xi ) i = 1, 2, 3Если возьмем последовательность из диагональных элементов, то последовательность сходится по всем xk :для подпоследовательности {Fnn (x)} имеем Fnn (xk ) → F (xk )для ∀xk ∈ D.В силу Леммы 1 имеем Fn ⇒ F .Theorem 11.4 (Вторая теорема Хелли). Если g - непрерывная функR +∞ция на R и Fn ⇒ F , при этом F (= ∞) − F (−∞) = 1. Тогда −∞ gdFn →R +∞gdF−∞Замечание 11.2. 1) F (+∞) = F (−∞) = limx→+−∞ F (x)2) F (+∞) − F (−∞) = 1 ⇔ F (+∞) = 1, F (−∞) = 0 ⇒ F– функцияраспределения3) Теорема 1 является прямым следствием Теоремы 4.
Достаточно рассмотреть fn (t) → f (t)R +∞R +∞R +∞R +∞cos tydFn (y) = i −∞ sin tydFn (y) → −∞ cos tydF (y) = i −∞ sin tydF (y) ⇒−∞dF = f (t), где t– параметрДоказательство. Сначала докажем, что для любого фиксированногоA >0ZZAAgdFgdFn →−A(11.4)−AФиксируем произвольное ε > 0Разделим отрезок [−A, A] точками x0 , . . . , xN : −A = x0 < x1 < . . . < xN =5811 Лекция 11Aтак, что xi точки непрерывности F (x) и |g(x)−g(xi )| < ε для ∀x ∈ [xi−1 , xi ]Последнее возможно, т.к. g равномерно непрерывна [−A, A]Определим функцию gε на [−A, A]gε (+A) = g(+A)gε (x) = g(xi ) для x ∈ [xi−1 , xi ) i = 1, NТогда для ∀x ∈ [−A, A] |gε (x) − g(x)| < ε gε – кусочно постоянная.Рассмотрим разность интегралов (5).RARA| −A (−gε + gε )gdFn − −A (−gε + gε )gdF | == {вычтем и прибавим gε в каждом подыинтегралдьном выражении,воспользуемся неравенством треугольника} ≤Z AZ ARAPN≤|g − gε |dFn +|g − gε | +| −A gε (dFn −dF )| ≤ 2ε+M k=1 (|Fn (xk )−−A−A|{z} |{z}≤ε≤εF (xk )| + |Fn (xk−1 ) − F (xk−1 )|), где M = supk |g(x)||{z}→0приn→∞с ростом M последнее слагаемое стремится к нулю при n → ∞ ⇒ (5)доказано для любого фиксированного A.Фиксируем ε > 0, тогда ∃A : F (−A) < ε/4, 1 − F (A) < ε/2Не ограничивая общности, считаем, что +,-А есть точка непрерывностиF.
Тогда, т.к. Fn (+ − A) → F (+ − A), то∃n0 : n ≥ n0 Fn (−A) < ε/2, 1 − Fn (A) < ε/2Имеем:R∞R∞RARA| −∞ gdFn − −∞ gdF | ≤ | −A gdFn − −A gdF |+M (Fn (−A)+(1−Fn (A))+RARAF (−A) + (1 − F (A))) ≤ | −A − −A | + 3/2εM (исп. (4))⇒ Т. 4 доказана.⇓прямая теоремаЛемма 11.2. Пусть x - случайная величина.
Для ∀τ > 0Z τ1f (t)dt| − 1P (|x| ≤ 2/τ ) ≥ 2|2τ −τ(11.5)Доказательство.εf (t)– характеристическаяфункция сл. величины x.RτRτ11itxИмеем | 2τf(t)dt|=|Eedt|=2τ−τ−τRτ1E −τ eitx dt| == {т.Флубини, выносим знак мат. ожидания за интеграл} = | 2τRτ| τ1 E 0 cos(tx)dt| = |E sinτ xτ x (1{|x|≤2/τ } +1{|x|>2/τ } )| ≤ E1{|x|≤2/τ } + 21 E1{|x|>1/2τ } =P (|x| ≤ τ2 ) + 12 (1 − P (|x| ≤ τ2 )) = 12 (1 + P (|x| ≤ 2τ ))Рассмотрим правую и левую части и +P (|x| ≤ 2τ ) ⇒ (5)Доказательство теоремы 2:Пусть Fn - функция распределения, отвечающая хар. функции fn (t). Попервой теореме Хелли их {Fn } выделим слабо сходящуюся подпоследовательность {Fnn } и Fnn ⇒ F ∗11 Лекция 1159Необходимо и достаточно доказать, чтоF ∗ (+∞) − F ∗ (−∞) ≥ 1(11.6)В силу Леммы 2Fnn (2/τ ) − Fnn (−2/τ ) ≥ 2|12τZτfnn (t)dt| − 1(11.7)−τFnn (2/τ ) − Fnn (−2/τ ) = P (− τ2 ≤ xnn < τ2 ) (надо доказать Лемму 2 не длямодуля, а для невключенного конца)Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, A, P ), где Ω = [−τ, τ ], A λборелевская σ-алгебра подмножеств Ω, P = 2τ, где λ - мера Лебега на[−τ, τ ].
Тогда fnn (t) как непрерывная функция на [−τ, τ ] есть сл. величина на (Ω, A, P ), при этом по условию Теоремы 2 fnn (t) → f (t), а также|fnn (t)| ≤ 1. Следовательно можно использовать теорему Лебега.В неравенстве (7) можно считать, что −2/τ, 2/τ - точки непрерывностифункции F ∗(7)Rτ1F ∗ (2/τ )−F ∗ (−2/τ ) = limn (Fnn (2/τ )−Fnn (−2/τ )) ≤limn (2| 2τf (t)dt|−−τ nn1) = {т.R Лебега о предельном переходе под знаком интеграла} =τ1= 2| 2τf (t)dt| − 1−τ∗F (2/τ ) − F ∗ (−2/τ ) = limn (Fnn (2/τ ) − Fnn (−2/τ ))12Лекция 12RτРассмотрим функцию Φ(τ ) = 0 f (t)dt ⇒ Φ(τ ) дифференцируема в нуле.Rτ)1F ∗ (+∞) − F ∗ (−∞) ≥ 2| 2τf (t)dt| − 1 = 2| Φ(τ )−Φ(−τ|−1→12τ−τ0Φ (0) = f (0) = 1⇓F ∗ - действительная функция распределения.Таким образом в предыдущем доказательстве было показано, что из последовательности {Fn } - функции распределения,соответств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
