Ульянов (старое издание) (1115357), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

к. Z1 ≥ 0} ≤ P1 (2Z2 <2PkPki0 )−nC2 (k)) ≤ {E1 Z2 = 0, E1 Z22 ≤ E i=1 (νi − npi1 )2 i=1 (pi1p−p=2i0PkPkC3 (k) i=1 Dνi = C3 i=1 pi1 (1 − pi1 ) = C4 (k)n} ≤ P1 (2|Z2 | > nC2 (k)) ≤{ по неравенству Чебышева, т. к.EZ2 = 0}4E Z224C4≤ n2 C12 (k)≤ nC−−−−→ 0 ⇒ критерий состоятельный.22n→∞12826 Лекция 1226.1 Обобщение критерия χ21)L(X) a1 , .

. . , akp1 , . . . , pkМожно ли использовать критерий χ2 для непрерывных случайных величин. Предположим, что L(X) ∼ F абсолютно непрерывна. (см. Рисунок1)Интервалы при объединении дают множество всех значений сл. величи-Рис. 26.1.ны X, не пересекаются,νi - число выборки (x1 , . . . , xn ), попавшее в интервал.PkТ. к. статистика критерия χ̄2 = i=1 (νi − npi0 )2 никакой информации означении сл. вел. не требует, то такое разбиение интервалов не влияет накритерий, но Rвлияет на определение pi0 :H0 : F = F0 : ci dF0H1 : F 6= F0Возникающие проблемы: выбор k, выбор Ci .Пусть k = 2 (см.

Рисунок 2) Но любое симметричное распрделение будет определено подобным случаем (попадение в C1 ∼ 1/2, попадение вC2 ∼ 1/2). ⇒ k - чем больше, тем лучше, Ci - выбор должен отображать распределение. Но тогда , если k велико, то pi0 - малые вероятности⇒ знаменатель велик ⇒ плохо работает χ2 → χ2k−1 ⇒ k не должно бытьслишком большим ⇒ при упрощении критерий χ2 применяют при n ≥ 50,k и Ci выбирают так, чтобы νi ≥ 5(верно для общего случая, не только для абс. непрерывного)2)H0 : F = F (θ), θ ∈ Θ0т.е. H0 - сложная гипотеза.26.1 Обобщение критерия χ2129Рис.

26.2.Если θ известна, то повторяем:2Pki0 (θ̂))χ̄2 = i=0 (νi −npnpi0 θ̂Если θ неизвестна, то не можем применять статистику. Используем точечные оценки, заменяем θ на θ̂, где θ̂ = θ(x1 , . . . , xn ) ⇒ если знаем x1 , . . . , xn, то знаем и значение статистики.Но, т. к. точечных оценок много, то надо определять ,какие необходимобрать, чтобы статистика была похожа на простой случай ( где χ̄2 → χ2k−1 ).Theorem 26.2. При некоторых условиях регулярности на распределениеF (θ) : если θ̂ - это оценки МП (максимального правдоподобия) для θ =d(θ1 , .

. . , θr ),то χ¯θ 2 −→ χ2k−1−rДопустим, что (X1 , . . . , Xn ) из L(X), X = (Z1 , Z2 ). (см. Рисунок 3)H0 : Z1 , Z2 независимыH1 : Z1 , Z2 не являются независимымиZ1a1 , . . . , akp.1 , . . . , p.kZ2b1 , . . . , blp1. , . . . , pl.νij число элементов в выборке вида (ai , bj )PlPk (νij −npij )2χ̄2 = i=1=?j=1npijТогда независимость: ≡ pij = pi.

= p.jРассмотрим пример:Пример 26.1. Есть выпускники с красным дипломом и без. Через 5 летсмотрят по параметрам: работа очень интересная. просто интересная,13026 Лекция 12Рис. 26.3.неинтересная. Утверждается, что работа не зависит от цвета диплома.Z1 : красный, некрасный; Z2 : очень интересная, интересная, неинтересная.νpˆi. = νni. , pˆ.j = n.jPl Pk (ν −ν ν /n)2? = n i=1 j=1 ij νi.i.ν.j/j> χкрP P d 2→ χ(l−1)(k−1) (нахоБудем брать по предельному распределению. i j −дим по таблицам)Если больше табличного значения, то гипотезу о независимости надо отвергнуть, иначе она верна..

Характеристики

Список файлов лекций