Ульянов (старое издание) (1115357), страница 7
Текст из файла (страница 7)
+ Zn→ρ(t) dtn0Z 1Z1 + Z2 + ... + Zn1010|−ρ(t) dt| ≤ √nn0- метод Монте Карло.Определение 9.2. Xn сходится к случайной величине X в среднем порядке k - натуральное, если E|Xn − X| → 0 при n → ∞.Если k = 2, то сходится в среднем квадратичном.Если k = 1, то сходится в среднем.Лемма 9.1. Если Xn → X в среднем порядка k, то Xn → X.Доказательство.P (|Xn − X| > 2) = P (|Xn − X|k > εk ) ≤E|Xn − X|k→ 0.εkРассмотрим пример: Ω, A, P1n,ω∈[0, n]Xn (ω) = {0,.Тогда, Xn → 0 почти всюду,E|Xn − 0|k = EXnk = nk−1 > 0.9.1 Производящие функцииПусть X ≥ 0 целочисленная случайная величина.Определение 9.3.
Производящей функцией случайной величины X называется функция , определяемаяϕx (z) = Ez = p0 + p1 z + p2 z 2 + ...|Ez x | ≤ E|z|x ≤ 1Z{|EX| = ||X(ω)|p(dω)|}ΩПусть известна произвольная функция ϕx (z).Можно ли найти распределение случайной величины X?0 1 2 3 p0 = ϕx (0)p0 p1 p2 ...? p1 = ϕx (0)1 (n)(0)По индукции pn = n!ϕx489 Лекция 9Следовательно, между производными функциями и распределениями целочисленных случайных величин. Существует взаимно однозначное соответствие, т.е.
если X, Y - целочисленные неотрицательные случайныевеличины, то X =d Y ⇔ ϕx (z) = ϕy (z).X{1,p0,qϕx(z) = q + pzϕ ∼ Bi (n, p)Y = X1 + ... + Xn , где X1 , .., Xn независимые одинаково распределенныеи в каждой точке имеющие распределение Бернулли:X1 = {1,p0,q=1−py⇒ ϕy (z) = Ez = Ezx1· ... · zxn=nYEz xi = (f + pz)ni=1В общем случае, если X1 и X2 зависимые случайные величины, то длялюбого из них определена производная функция иϕx1 +x2 (z) = ϕx1 (z)ϕx2 (z)Пусть X ∼ P0 (λ)(Пуассоновское распределение), т.е. ∀k = 0, 1, 2, ...P (X = k) =−λk −λ·ek!10Лекция 10Лемма 10.1. Если положительная целочисленная случайная величинаимеет математическоеожидание, то тогда оно может быть найденоP∞0по формулеip={поопределению} =EX = ϕx (1), то есть какii=1первая производная производящей функции в точке, равной 1.Дисперсия случайной величины X, если она существует, вычисляется так:0000DX = EX2 − (EX)2 = ϕx + ϕx (1) − (ϕx (1))2 .0Пусть X ∼ P o(λ).
Тогда ϕx = eλ(s−1) . Отсюда ϕx (s) = λe(s−1) . Такимобразом, EX = λ и DX = λ, или более подробно DX = λ2 + λ − λ2 .Зная производящую функцию, можно однозначно восстановить распределение.Допустим, что есть некая территория площади t. Пусть N - количествовыводков на этой территории (следовательно N - целое неотрицательноечисло). N ∼ P o(λ), λ пропорциональна площади участка, то есть λ = αt.Xi - количество детенышей в i-ом выводке. Xi соответствует два числа:значение, принимающие значения 0,1,2,..., и соответствующие вероятности p0 , p1 , p2 , ....ZN - общее количество детенышей на всей территории, и ZN = X1 + ...
+X1 .Пример 10.1. Найти ϕZN (S) в терминах ϕN (S) и ϕx (S).Solution 10.1. Оговорим, что случайные величины X1 , X2 , ... предполагаются независимыми, одинаково распределенными и с общей производящей функцией ϕX (S).Будем действовать по определению:TNϕZN (S) = ES ZN = ES x1 +...+xN = E i=1 S xi . Так как произведение математических ожиданийравно математическому ожиданию произведения,Tто есть знаки E и можно поменять местами. Следовательно, получаем,TNчто E i=1 S xi = ϕNx (S).Запишем 1 каксуммуиндикаторов по всем возможнымPзначениям N ,P∞∞то есть 1 =I. Отсюда ϕZN (S) = ES ZN n=0 I{N =n} ={N=n}n=05010 Лекция 10P∞ES ZN I{N =n} = {ES ZN определено только через=n} черезP∞Xi , а IZ{NNN.Предполагается,чтоN,X,X,...независимы}=ESEI12{N =n} =n=0P∞nϕ(S)P(N=n)=ϕ(ϕ(S)).ТакимобразомполучилиобщееNxn=0 xутверждение.n=0Лемма 10.2.
Если X1 , X2 , ..., N - независимые неотрицательные целочисленные случвайные величины, и X1 , X2 , ... имеют одинаковые распределения ϕZN (S) = ϕN (ϕx (S)).Remark 10.1. Если N ∼ P o(λ), λ = αt, то ϕZN (S) = exp(αt(ϕx (S) − 1)).10.0.1 Ветвящиеся процессы. Задачи о вырождений Фомина.Пусть каждая частица порождает (независимо от других) себе подобныхот нуля до бесконечности. Количество частиц в n-ом поколении обозначим через Zn (Zn -величина, как в предыдущей задаче). И пусть ϕ(S)производящая функция случайной величины X, где X- число частиц, порожденных одной частицей. Тогда Zn = X1 + X2 + ... + Xn−1 . Используяпредыдущее утверждение, получаем, что ϕZN (S) = ϕZn−1 ϕ(S)). Обозначим это равенство через(1).
Чтобы не путаться, в дальнейшем опустимZ, то есть ϕZn = ϕn . Тогда (1) перепишется: ϕn (S) = ϕn−1 (ϕ(S)). Поиндукции ϕn+1 (S) = ϕ(ϕn (S)). Обозначим через (2).Пример 10.2. Какова вероятность вырождения фамилии?Solution 10.2. Вырождение фамилии: сын порождает сыновей. Например, в 1934г. статистика показывала вероятность pk = 0.21(0.59)k−1 . Обозначим через xn = p(Zn = 0), x1 = p(Z1 = 0) = p(X = 0) = p0 , x2 = p(Z2 =0). Связь между xn+1 и xn : {Zn+1 = 0} ⊃ {Zn = 0}.
Отсюда xn ≤ xxn+1 ,таким образом {x−n} - неубывающая последовательность, Sзаключенная в∞интервал [0,1]. Значит, lim xn = x. Тогда{вырождение}=n=1 {Zn = 0}.S∞Следовательно, P ({вырождение})=P ( n=1 (Zn = 0)) = {по свойствунепрерывности неотрицательной последовательности}=limn P (Zn = 0) =x- вероятность вырождения процесса. Этот x и будем искать. Из (2) вытекает, что xn+1 = P (Zn+1 = 0) = ϕn+1 (0) = ϕ(xn ), где xn+1 = ϕ(xn )производящая функция. Устремим в этом соотношении n к бесконечности. Тогда в силу непрерывности ϕ xn+1 = ϕ(xn ).
Соответственно,x = ϕ(x) (3). Это вероятность вырождения x, удовлетворяющая (3). Таккак ϕ(s) = ES x , то ϕ(1) = 1. Значение, равное единице, есть и решение(3).Пусть µ = EX, тогда µ- среднее число потомков в одном поколении.Theorem 10.1. Пусть p0 : 0 < p0 < 1(не рассматривается ситуациявырождения), то есть исключается очевидная ситуация.
Тогда если- µ ≤ 1, то x = 1;- µ > 1, то x < 1 и x > 0, где x- вероятность того, что вырождениеравно единице.10.1 Характеристические функции51Remark 10.2. Для того, чтобы x = 1, необходимо и достаточно µ ≤1(вытекает из второго пункта теоремы).0Замечание 10.1.
Пусть µn+1 = EZn+1 = ϕn+1 (1) = µµn . Последовательность µ удовлетворяет следующему соотношению: µn+1 = µµn ⇒ µn+1 =µn+1 .- если µ < 1, то µn+1 → 0- если µ = 1, то µn+1 = 1 (удивительный факт)- если µ > 0, то µn+1 → ∞(экспоненциально быстро).Доказательство. Рассмотрим следующие графики. Трех пересечений бытьне может, поэтому существует только два случая. ϕ(S) = p0 +Sp1 +S 2 p2 +...+.
ϕ(S) - не убывает, более того строго возрастает.Случай 1. x = 1 - единственное решение уравнения (3). ⇒ 1 − ϕ(S) < 1 − S0для ∀ 0 < S < 1. ⇒ 1−ϕ(S)1−S . Устремим S к единице. Получим ϕ (1) ≤ 1, µ ≤1.Случай 2. Для S < a имеем ϕ(S) > S. Тогда x1 = ϕ(0) < ϕ(a) =a(получим, что x1 < a). По индукции в силу (2) xn = ϕ(ϕn−1 (0)) =ϕ(xn−1 ) < ϕ(a) = a ⇒ ∀nxn < a. Отсюда действительно вытекает, что001 − a = ϕ(1) − ϕ(a) = ϕ (θ)(1 − a)(т. Лагранжа). ⇒ ∃θ : ϕ (θ) = 1 при000этом a < θ < 1.
Отсюда вытекает ϕ (1) > ϕ (θ) ⇒ µ > 1, так как ϕ (S)возрастает.Из рассмотрения этих двух случаев получаем доказательство теоремы.10.1 Характеристические функцииПусть X - произвольная случайная функция. Характеристической функцией случайной величины X называется функция fx (t) = Eeixt , t ∈ R, i мнимая единица.Характеристическая функция определена для любых случайных величин, поскольку | cos Xt R|≤ 1 и | sin Xt |≤ 1: fxR = Eeixt = E cos Xt =iE sin Xt, fx = Eeixt = Ω exp{itX(ω)}P (dω) = R eity dFx (y) (интегралЛебега- Стильтьеса), где X(ω) - случайная величина на вероятностномпространстве (Ω, A, P ), и X(ω) : Ω → R. Fx (y) - функция распределенияслучайной величины X.Частные случаи:1.
Если случайная величина X имеетплотность g, то характеристическаяRфункция находится так: fx(t) = R g(y)eity dy.2. Если случайная величина X дискретна, то есть принимает не более,чем счетное количество значений, x1 , x2 , ...-Pслучайные величины,а - соP∞∞ответствующие вероятности. Тогда fx (t) = k=1 eitxk pk = n=0 eitn pn =ϕx (eit ), (X- неотрицательное целое число).Имеет место следующее свойство математического ожидания:5210 Лекция 10Пусть X и Y- случайные величины на одном вероятностном пространстве:X : Ω → R и Y : Ω → R. предположим также | X |≤ Y почти наверное,и EY < ∞ (существование приближенного математического ожиданияконечно). Тогда E | X |< EY (монотонность математического ожидания),в частности существует E | X |.Свойства характеристической функции1.
fx (0) = 1, | ei tx |≤ 1 (на самом деле, должно быть −” , но запишем” ≤ ” ). fx (t) ≤ 1. Характеристическая функция не превосходит единицы∀t, а максимальное значение достигает в нуле.2. Характеристическая функция линейного преобразования случайныхвеличин.Y = aX + t, Y - линейное преобразование случайной величины X. fY (t) =E exp(it(aX + b)) = eitb fx (at).3. Мультипликативное свойство характеристической функции.Если X1 , X2 независимы, то fx1 +x2 (t) = Eeit(x1 +x2 ) = Eeitx1 + Eeitx2 .4. Характеристическая функция является равномерной и непрерывнойфункцией.Доказательство.
Пользуемся определением и аддитивностью математического ожидания.| fx (t + h) − fx |=| E(ei(t+h)x − eitx ) |=| E(ei(t+h)x − eitx ) · 1 |≤ { eit xисчезает за счет того, что оно по модулю меньше единицы, а единицу представим в виде: 1 = I + I, эти индикаторы соответствуют двумпротивоположным событиям | X |< A и | X |≥ A. A выберем потом.}≤| E(eihx − 1 | ·I|x|<A + | E(eihx − 1 | ·I|x|≥A . Обозначим это как (1).| E(eihx − 1 | ·I|x|≥A ≤ 2P (| x |≥ A), так как | (eihx − 1 | можно ограничитьRaдвойкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
