Ульянов (старое издание) (1115357), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Действительно, B = A (B\A). Следовательно, P (B) =P (A) + P (B\A) ≥ P (A). Тем самым доказывается монотонность вероятности.7) Непрерывность вероятности по монотонным последовательностям.a) A1 ⊂ A2 ⊂ ... - монотонность по неубыванию;б) A1 ⊃ A2 ⊃ ... - монотонность по невозрастанию.Отсюда, P (lim Ai ) = lim P (Ai ).S∞Вероятность пределаT∞есть предел вероятности, где lim Ai = i=1 Ai дляслучая а), lim Ai = i=1 Ai для случая б).S∞S∞Доказательство (Для случая а). i=1 Ai={представим в виде непересек} i=1 Di,Siгде D1 = A1 , Di = Ai \Ai−1 .
Заметим, что Ai = j=1 Dj ... ,свойствоPnP∞S∞конечнойi=1 P (Di =i=1 P (Di ) = limSn аддитивности. P ( i=1 Ai) =lim P ( i=1 Di) = lim P (A)Замечание 2.1. Требование счетной аддитивности вероятности P эквивалентно конечной аддитивности вероятности P с непрерывностью вероятности P по последовательностям, монотонно стремящимся к пустому множеству O,T то есть для любых событий A1 , A2 , ... ∈ F таких, чтоA1 ⊃ A2 ⊃, ... и Ai = O имеем, что P (Ai ) → 0.2.1 Конечное вероятностное пространствоРассмотрим (Ω, F, P ), гдеΩ - конечное или счетное пространство элементарных событий, т.е Ω={ω1 , ω2 , ...};F - множество всех подмножеств Ω;A ={ωi1 , ωi2 , ...};P - функция на F ;Вероятность любого события полностью определяется тем, как оно задано.
В этом случае достаточноэлементарPP∞∀ i задать P (ωi ) = pi вероятностиных исходов, где pi ≥ 0 и i=1 pi = 1. Тогда P (A) = k pik удовлетворяетвсем аксиомам: нормировка, счетная аддитивность, неотрицательность.A1 , A2 , ... S∞ Tlim inf Ai = i=1 i≥n Ai (состоит из точек, входящих во все множестваAi , начиная Tс некоторогоi)∞ Slim sup Ai = i=1 i≥n Ai (состоит из точек, которые входят в бесконечноемножество Ai )2.1 Конечное вероятностное пространство132.1.1 Классическая вероятностьВ случае классической вероятности выполнены следующие предположения1) Ω - конечно, Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωn };2) равновозможность всех ωiПри выполнении этих двух требований P (ωi ) = 1/n и P (A) = |A|/|Ω|,где |A|- число элементарных исходов, составляющих A, и |Ω|-число всехэлементарных исходов.Пример 2.1.
Задача Даламбера: Монета бросается дважды. Какова вероятность выпадения герба?Solution 2.1. ΩD ={Г,РГ,РР}, PD = 2/3- вероятность по Даламберу. Учитывая Ω ={ГГ,ГР,РГ,РР}, получаем P = 3/4.2.1.2 Урновая схемаВ урне находятся шары черного и белого цветов.
Пусть всего m = m1 +m2шаров , из них m1 белых и m2 черных. Производится n-кратная выборка свозвращением. И Ak пусть состоит в том, что наблюдается вытаскиваниебелого шара. Пусть εi - результат i-го вытаскивания. Найти вероятностьэтого события: P (Ak )−?Solution 2.2. Занумеруем все шары. Тогда все последовательности ω ={ε1 , ..., εn }- последовательности равноправных событий.
Ω = {ω, ...}, |Ω| =mn - число элементарных исходов в Ω. ωi - любое число из m. Рассматривается следующая последовательность ε1 , ..., εk , εk+1 , ..., εn , где ε1 , ..., εk белые, εk+1 , ..., εn - черные. Cnk mk1 · mn−k= |Ak |. Следовательно, P (Ak ) =2mk ·mn−k1−m1 n−k1 k1Cnk 1 mn2 = Cnk ( m= Cnk pk · (1 − p)n−k , где p = mm ) ·( m )m - долябелых шаров.
Набор (p0 , p1 , ..., pn ) называется биномиальным распределением с параметром n и p.2.1.3 Вторая урновая схема (выборка без возвращения)Задача - найти P (Ak ). Условия те же, что и в предыдущей задаче.ω = (ε1 , ε2 , ..., εn ). Пусть 0 ≤ k ≤ min(m1 , m2 ), Ω = {ω, ...}, а число элеm!ментарных исходов |Ω| = m · (m − 1) · ... · (m − n + 1) = (m−n)!. Как и вышеε1 , ..., εk - белые шары, а εk+1 , ..., εn - черные.m2 !(m2 −(n−k))! -m1 !(m1 −k)! -число элементарныхисходов в случае белых шаров,соответственно черных.
Итогодля ε1 , ..., εk , εk+1 , ..., εn число элементарных исходов представимо в видеm1 !(m1 −k)!·m2 !(m2 −(n−k))! .1!Тогда P (Ak ) = Cnk (mm·1 −k)!m2 !(m2 −(n−k))!=kn−kCm·Cm12nCm.142 Лекция 2Набор вероятностейделением.kn−kCm·Cm12nCmназывается гипергеометрическим распре-3Лекция 3Пример 3.1. A - гебр, B - решка.Монету бросают 2 раза.
Произошло событие В. Какова вероятность события А?A - {Г}B - {Р}Ω = {РР, РГ, ГР, ГГ}Bz}|{{РР, РГ, ГР , ГГ}{РР, РГ, ГР, ГГ}{z}|AB произошло → 1 из 3 возможных случаев.P (AB)PB (A) = 23 = 2/43/4 = P (B) .Определение 3.1. Условной вероятностью события A при условии, чтопроизошло B: P(B)>0, называетсяPB (A) = P (A|B) =P (AB)P (B)⇒ P (AB) = P (B) · P (A|B) = P (A) · P (B|A), если P (A) > 0 и P (B) > 0Определение 3.2. События A и B независимы, если P (AB) = P (A) ·P (B), т.е. P (A|B) = P (A)Пусть произошло событие B, P (B) > 0. Фиксируем B и рассмотримна F {Ω, F, P } для ∀A ∈ F, P1 (A) = P (A|B)Является ли P1 вероятностью?3 свойства:1. P1 (A) ≥ 02.
P1 (Ω) = PP(ΩB)(B) = 1 ⇒ нормировка3. ∀A1 , A2 , A3 . . . ∈ F : Ai Aj = 0, i 6= jНеобходимо проверить:163 Лекция 3P1 (∪∞i=1 Ai )P (∪∞i=1 Ai B)==P (B)P∞∞P (Ai B) X=P1 (Ai )P (B)i=1i=1⇒ {Ω, F, P1 } - вероятностное пространство{Ω ∩ B, F ∩ B, P1 } - вероятностное пространствоF ∩ B = {C ∩ B, C ∈ F }События не совместны, значит, либо зависимы, либо не зависимы.A несовместно с B0 = P (AB) = P (A) · P (B) т.
и т.т.когда P (A) = 0 ∨ P (B) = 0Пример 3.2. Играют два человека: Аня и Боря. В урне находятся N занумерованных шаров. Аня и Боря делают ставки на некоторые множестваномеров :A ⊂ {1, 2 . . . N }B ⊂ {1, 2 . . . N }Случайным образом вытягивают шары. Если вытянутый номер в A, Aнявыигрывает, в B - Боря. Всегда ли существуют нетривиальные A и B, прикоторых выигрыши A и B независимые события?Определение 3.3.
События {Ai }, где i ∈ I (пробегает множество I),где I - конечное или счетное множество, называются независимыми(в совокупности, если для любого конечного множества индексов J ∈IP (∩j∈J Aj ) = uj∈J P (Aj ) )Если A, B, C - независимые, то1.P (ABC) = P (A)P (B)P (C)2.P (AB) = P (A)P (B)...Пример 3.3. Пример Бернштейна:Рассмотрим правильную пирамиду,раскрашенную в белый(А), красный(С),синий(В) цвета. Бросают пирамиду и происходят события А, В, С - попарно независимые.P (AB) = P (A) · P (B) , где P (A) = P (B) = 1/2 P (AB) = 1/2 ⇒А и Внезависимы из определения. Аналогично АС и ВС.Рассмотрим 3: P (ABC) = P (A) · P (B) · P (C) ⇒ они зависимы.| {z } | {z } | {z } | {z }1/41/41/41/43.0.4 Формула полной вероятностиES1n, E2 , .
. . En : Ei Ej = 0 i 6= jPn1 Ei = Ω, P (Ei ) > 0∀ i ⇒ P (A) =i=1 P (Ei ) · P (A|Ei )3 Лекция 3PnДоказательство. P (A) = i=1 P (Ei ) · P (A|Ei ) =PnSni=1 P (AEi ) = P ( i=1 AEi ) = P (A)Pni=1P (Ei ) ·P (AEi )P (Ei )17=3.0.5 Формула БайесаПусть произошло A: P (A) > 0,тогда PA (Ej ) =P (AEj )P (A)={по определению}=P (Ej ) · P (A|Ej )= Pn= P (Ej |A)i=1 P (Ei ) · P (A|Ej )|{z}Формула Байесапозволяет находить апостериорные вероятности по априорным вероятностям (без экспериментов)априорно - {P (Ei )}ni=1 , апостериорн - {P (Ei |A)}ni=1Определение 3.4.
Случайная величина - числовая функция, заданнаяна Ω. Случайной (действительной) величиной называется измеримоеотображение из Ω в RЕсли F - множество всех подмножеств Ω , то любое отображение из Ω вR - случайная величина.Определение 3.5. Дискретная случайная величина - случайная величина, множество значений которой не более, чем счетно.Самая простая случайная величина - константа (она принимает одно значение).Определение 3.6. Случайная величина называется индикатором события A, если(1 , ω ∈ A;IA (ω) =0 , ω ∈ Ā;Не все индикаторы являются случайными величинами.Определение 3.7.
Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность значений случайной дискретной величины и их вероятностей.{x1 , x2 , . . .} - значения, {p1 , p2 , . . .} - вероятностиpi = P (X = xi )Пусть есть (Ω, F, P ) X : Ω → R Но на практике часто имеют дело сдискретными случайными величинами и указывают только их распределение, без вероятностного пространства.Пусть с. д. в. X {x1 , x2 , . . .} {p1 , p2 , . . .}. Построим вероятностное пространство.Возьмем Ω = {x1 , x2 , . .
.}, F - все подмножества X. P (xi ) = pi . В качествесл. в. X берем отображение X : X(xi ) = Xi183 Лекция 3Замечание 3.1. Две случайные величины, имеющие одинаковые распределения могут быть различными функциями.Пример 3.4. Бросают монету один раз. Индикаторы появления герба ирешки(1, Г,1/2;I=0, Р,1,2;(1, Р,1/2;I=0, Г,1/2;Функции различные, хотя распределения одинаковые.3.0.6 Схема БернуллиСхема Бернулли возникает, когда проводится эксперимент. Проводится nэкспериментов, в результате которых может произойти или нет событиеA. P () = const = pВводим X - число наблюдавшихся успехов в n экспериментах. Возможныезначения: X = {0, 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
