Ульянов (старое издание) (1115357), страница 5
Текст из файла (страница 5)
величина X дискретна, тоеҷ функция распределения кусочнопостоянна. Верно и обратное.Можно показать, что число скачков функции распределения не более, чемсчетно, где скачок – точка разрыва.Число скачков, в которых величина скачка больше 1/k :F (y+) − F (y−) > k1 – таких скачков ≤ k (иначе размах между min и maxзначениями > 1 ,что не возможно)Определение 6.1. Случайная величина X имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует функция fx (z) такая, что при любом действительном a ∈ RZ aFx (a) = P (x < a) =fx (z)dz−∞Замечание 6.2. Функция f (z) – плотность распределения случайной величины.Из определения плотности следует,R чтоa∀b, a;b≤aP (b ≤ x < a) = b fx (z)dzZ∀B- борелевск.Px (B) = P (x ∈ B) =fx (z)dzB(6.1)346 Лекция 6(Все интегралы взяты по мере Лебега)Fx‘ (a) = fx (a)∀ т.
непрерывности a функции f|{z}свойство плотностиСвойстваR +∞ плотности:1.f (z)dz = 1−∞ x2.fx (z) ≥ 0 (из (1))Определение 6.2. Говорят, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a и σ 2 , еслиfx (z) = √−(z−a)21· e 2·σ22πσВероятностный смысл параметров распределения:a = E · X - математическое ожидание в Xσ 2 = D · X - дисперсный квадратОпределение 6.3. Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение, если она имеет нормальное распределение с параметрами a = 0 и σ 2 = 1X ∼ N (a, σ 2 )Стандартное нормальное распределение f (z) =√12·π· e−z2/2Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с a, σ 2 .Переходим к z = X−aσ , тогда z - имеет стандартное распределение.Покажем, что плотность z совпадает с плотностью стандартного нормального распределения.Fz (b) = P (z < b) = P ( x−aσ < b) = P (X < a + b · σ) =R a+b·σ 122−z−a/2·σ= −∞ √2·π·σ · edx =Rb21√e−y /2 dy= {делаем замену y = z−aσ } = −∞2·π|{z}пл.
норм.станд. распр.Определение 6.4. Действительная функция g : R → R называетсяборелевской, если для ∀B ∈ Bg −1 (B) ∈ B (т.е. если прообраз борелевской функции является борелевской функцией)Замечание 6.3. Любая непрерывная функция является борелевской.Так как прообраз открытого множества при непрерывном отображенииявляется открытым множеством.⇓Лемма 6.1. Если X - случайная величина, g - борелевская функция, тоg(X) - случайная величина.6 Лекция 635Доказательство.
g(X) : Ω → R (X :Ω → R, g : R → R)∀B ∈ Bg −1 (X)(B) = {ω : g(X(ω)) ∈ B} = {ω : X(ω) ∈ g −1 (B)} ∈ F ⇒| {z }∈Bg(X) - случайная величина.⇓Remark 6.1. Если X - случайная величина, то CX, X 2 , X + C, eX - случайные величины, где C = const.Если X1 , X2 - сл. вел. ⇒ X1 + X2 - сл. вел. - ?Определение 6.5. Случайный вектор - измеримое отображение X̄ :Ω → Rn , т.е. для ∀B ∈ B n{ω : X̄(ω) ∈ B} ∈ F B n - борелевскаяnσ-алгебра в R , т.е. σ-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами в Rn .Определение 6.6. Функция g : Rn → Rk , k ≤ n - борелевская, еслиg −1 (B k ⊂ B n .Замечание 6.4. Любая непрерывная функция Rn → Rk - борелевская.Лемма 6.2.
Если X̄ - случайный вектор в Rn g - борелевская функция:Rn → Rk , то g(X̄) : Ω → Rk есть случайный вектор.Доказательство. Повторяет доказательство утверждения в одномерномслучае.Если X1 , X2 - случайные величины, то (X1 , X2 ) - случайный вектор.g(X1 , X2 ) = X1 + X2 - непрерывно, случайная величина.Определение 6.7. Пусть X̄ : Ω → Rn - n-мерный случайный вектор.FX̄ (ā) = P (X1 < a1 , .
. . , Xn < an ), где X̄ = (X1 , . . . , Xn ), ā = (a1 , . . . , an ).Пусть F (a1 , a2 ) - функция распределения (X1 , X2 )⇒? (свойство непрерывной вероятности) функция FX1 (a1 ) = P (X1 <a1 ) == lima2 →+∞ P (X1 < a1 , X2 < a2 ) = lima2 →+∞ F (a1 , a2 )Если X1 , X2 - сл. век., почему все компоненты - случайные величины?Лемма 6.3. Функция распределения FX̄ (ā) случайного вектора X̄ однозначно определяет распределение случайного вектора, т.е. для ∀B ∈ B nоднозначно определяется PX̄ (B),т.е. PX̄ (B) = P (X̄ ∈ B)Доказательство.
Аналогично одномерному случаю.Определение 6.8. Случайный вектор X̄ имеет абсолютно непрерывноераспределение,еслиR a1R an ∀ a 1 , . . . , a n ∈ Rdz1 . . . dznFX̄ (ā) = −∞. . . −∞fX̄(z ,...,z )| 1{z n}плотность сл.вект.X̄366 Лекция 6Пусть F (a1 , a2 ) - плотность случайного вектора (X1 , X2 )fX1 (z) сл. вект. X1 .R +∞fX1 (z1 ) = −∞ f(X1 ,X2 ) (z1 , z2 )dz2⇒? плотностьПример 6.1. Коля и Петя договорились встретиться на остановке автобуса между 12 и 13 часами. Каждый, придя на остановку, ждет другого 15мину, а потом уходит. Найти вероятность встречи Коли и Пети.Моменты прихода мальчиков являются координатами точки, имеющейравномерное распределение в квадрате [12, 13] × [12., 13]. {|u − v| < 1/4} =A.
Множество элементарных исходов Ω = {(u, v) : 0 ≤ u ≥ 60, 0 ≤ v ≥ 60}.Тогда событие A = встреча Коли и Пети происходит = {(u, v) : |u − v| ≤715, 0 ≤ u ≥ 60, 0 ≤ v ≥ 60}. Так как |Ω| = 602 , |A| = 602 − 452 = 16· 602 ,|A|7.то P (A) = |Ω| = 16nПусть S ⊂ R и S имеет конечный объем. Результат случайного эксперимента - выбор произвольной точки S, при этом A ⊂ S зависит только отобъема множества A и не зависит от положения A в S ⇒ P (A) = AS ,где |A| = v0 |A| (геометрическая вероятность)Ω:1. Ω - конечно2.
Все элементарные исходы равновероятныA∀A ⊂ Ω P (A) = ΩПример 6.2. Пусть X1 , X2 - сл. вел. Предполагаем:1. X1 , X2 - независимы2. Каждая имеет плотность1) Существует ли плотность X1 + X2 ? 2) X1 ∼ f1 (z1 ) X2 ∼ f2 (z2 )Определение 6.9. X1 , X2 , . . . , Xn - случайные величины называются независимыми, если независимы σ-алгебры ими порожденные,Qn т.е. для любого борелевского B1 , .
. . , Bn P (X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn ) = i=1 P (xi ∈ Bi )Определение 6.10. Пусть (Ω, F, P ) - вероятностное пространство,X : Ω → R случайная величина, σ-алгебра, порожденная сл. вел. X это X −1 (B) = Fx1 .Пример 6.3. Если X1 = C, то FX1 {0, Ω}.7Лекция 7Рассматривается вероятностное пространство (Ω, F, P ).Fx = X−1 (β), где Fx ={F ∈ F: F= X−1 (β), β ∈ B} , а X : Ω → R,X−1 (β) ⊂ F.Покажем, что Fx действительно есть σ-алгебра. Это следует из:c1) пусть B∈ B, тогда X−1 (Bc )S= (X−1 (B))S∞; −1∞−12) ∀ B1 , B2 , ...
∈ B верно X ( i Bi ) = i X (Bi ).XT1 , ..., Xn - независимыеслучайные величины, если ∀ B1 , ..., Bn ∈QnnPB.P ( i=1 {Xi ∈ Bi }) = Qi=1 (Xi ∈ Bi ), где Bi = (−∞; ti ), t = (t1 , ..., tn ).nОтсюда следует Px (t) = i=1 Fxi (ti ). Далее под (1) будем подразумеватьпоследнее равенство.Лемма 7.1. Случайные величины X1 , X2 , ..., Xn называются независимыми ⇐⇒ ∀ t1 , ..., tn выполнено равенство (1).Theorem 7.1. Предположим, что X имеет плотность, то есть неотрицательную функцию fx (t) : Rn → R+ . Тогда Qслучайные величиныnX1 , X2 , ..., Xn независимы X1 , X2 , ..., Xn ⇐⇒ fx (t) = i=1 fxi (ti ).Доказательство. Используем предыдущее утверждение. При наличииплотности равенство (1) перепишется следующим образом:Z t1Z tn...fx (b1 , ..., bn )db1 · ...
· dbn =−∞Z−∞t1=Z−∞Zt1=fx1 (b1 )db1 · ... ·tn−∞fxn (bn )dbn =tn...−∞Z−∞fx1 (b1 ) · ... · fxn (bn )db1 · ... · dbn .Теорема доказана.Отметим далее следующее. Пусть X1 , X2 , ..., Xn - случайные величины.387 Лекция 7Совместным распределением случайных величин X1 , X2 , ..., Xn называется распределение случайного вектора X = (X1 , ..., Xn ).7.1 Формула свертыванияX1 , X2 - независимые случайные величины, fx1 (z1 ), fx2 (z1 )- соответствующие плотности. Вопрос: имеет ли сумма X1 +X2 плотность, или ,что то жесамое, попадает ли случайный вектор в некое множество t на плоскости?P (X1 + X2 < t) = P ((X1 , X2 ) ∈ Bt )по предыдущей теоремеf(x1 ,x2 ) (z1 , z2 ) = fx1 (z1 ) + fx2 (z2 ) =Z Z=fx1 (z1 ) · fx2 (z2 ) · dz1 · dz2 =ZBt∞=−∞fx1 (z1 )Zt−z1−∞fx2 (z2 )dz1 · dz2 =R∞{значение второй функции распределено в точке t − z1 }= −∞ Fx2 (t − z1 ) ·Rt R∞fx1 (z1 ) · dz1 = {сделаем замену переменной t − z1 = z} = −∞ −∞ fx1 (z1 ) ·fx2 (z2 − z1 ) ·Rdz1 · dz2 .
Получаем формулу для суммы случайных величин∞fx1 +x2 (z) = −∞ fx1 (z1 ) · fx2 (z − z2 ) · dz1 .Пусть случайные величины Xi независимы и имеют нормальное распределение (Xi ∼ N (ai , σi2 )), i = 1, 2. Показать, что верно следующееX1 + X2 ∼ N (a1 + a2 , σ12 + σ22 ).+вспомогательное понятие. A1 , A2 , ...- события. A = lim sup An =T∞ ВведемSn=1m≥n Am есть верхний предел последовательности событий. Событие происходит ⇔ среди A1 , A2 , ... происходит бесконечное число событий. Например, событие происходит при нечетных n. Оказывается, вероятность события A+ принимает только экстремальное значение (1, 0).P∞Лемма 7.2 (Бореля-Кантелли).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
