М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 16
Текст из файла (страница 16)
в, Уь ! 1,...,и, в атом случае имеют распределение, симметричное относительно нуля, так что векторы (Уь...,У,) и ( — Уь...,— Ц,) одинаково распределены. Следовательно, одинаково распределены н векторы, составленные из их порядковых статистик, т. е. У (Уо» ... ...,Ц 1) н ( — Ц,»...,— У<ц).
Введем матрицу Н-(В., В„„..., В,'), В,-(бо...., В;.), где Во — символ Кронекера: Вл 1; Во=О при (чу, и запишем ( — Ц.» ..., -и,о)- — (и„>, ..., и...)Н--ЧН. Таким образом, векторы У и — Чн одинаково распределены. В частности, совпадают их математические ожидания и матрицы коварнаций МУ= — МУН. Не= й тн откуда получаем а=м11= - Н, Р=Нт=Н'НтН=НТ!Н. Заметим, что Н' Н=н-' и 1Н 1, получаем отсюда Я-~-(НЯН)-~-НЯ-~Н, Щ-'а' 1НЯ 'На' Щ-'На' — Я 'а', 1Я-'а'-О=аЯ-1!'. (15) 91 Подставляя (!5) в (12) и (!О), находим Га' = Я-' (1'а — а'1) Я-'а' = Я-'1' (аЯ-'а'), Г1' = я-т (1а — а'1) я-т1' =- — я-'а'(1я-т! '), Ь = (1Я-'1') (аЦ-'а'), р = 1!М|Га' = УЯ-т! '/(1Ц-'! '), о = 1/ЛУГ! ' =.
УЯ-'а'|(аЯ-'а'). (16) (17) Подставляя (15) и (16) в матрицу ковариаций (13), получаем, что 1| и о некоррелированы, а их дисперсии равны 11,, т|(1д-|1|) (18) 1)о Ч~(|хЕ-'е|'). Наилучшая линейная несмещенная оценка и имеет дисперсию„ не превосходящую дисперсии выборочного среднего: л л 1ы1%~ х- — ~х,= — ~х„,=у, л л | | ! | поскольку Х представима как линейная функция порядковых статистик и является несмещенной оценкой р.
Покажем, что равенство Ор-В-'Г осуществляется лишь при условии ()1' 1', (19) и при этом р=Х. Для доказательства воспользуемся тем, что невавенство Коши — Буняковского — Шварца (аЯа') (ЬЯЬ') ъ (аЯЬ') ', (20) обращается в равенство, лишь когда векторы пропорциональны: а=ХЬ или Ь=Аа. Выбирая Ь Ь|Я-' и подставляя в (20), получаем (аЯа') (Ь|Я-'Ь'|) ъ (аЬ'|)', где неравенство выполняется при а=гЬ;Я-' или Ь!Я-' йа. Полагая здесь а=Ь| 1, получаем ж1)(1()-1) .(11) . 92 Но (см.
(14)) так что Щ1'=п, 1(;»-1'ъ п. а равенство имеет место, лишь когда Я1'=),1'. При этом из равенства Щ1> п вытекает, что А 1. Таким образом, !))> = от>(1(~1') ~от>п= ПХ, причем равенство имеет место лишь при условии (19). Наконеп, из (19) вытекает, что Я->1'=1', и из (17) находим, что прн этом )>= р=х. 4. Пример: равномерное распределение на интервале (р, )>+о). Используя формулу (21) $3 для плотности распределения й-й порядковой статистики, находим в случае равномерного на ()>, и+о) распределения сл.
в. (1): > а„=МУе>= "' ('!.(- (1 — !) - ((= (а — 1)! (л — л)1,1 ю > (л+ 1) ( (>ь+»-> (1 1)м+»-и+»(! а1(л+1 — А)1 1 л+1 л+1 и аналогично з а (л+ 1) Чы= !)Ун> = МУй> (л ->. 1)(л+2) а (л — Ф -)- 1) (л+ Ц> (л+ 2) (21) Для вычисления сот(У(ц, У(>>)=МУ(1>У(>> — гх.>хв й((, используем формулу (35) й 3 для совместной плотности пары порядковых статистик и запишем л! МУ, >У(о = И ху "-' х (» — 1)! (1 — а — 1)! (л — 1)1 о<*се<> х (у — х)'-"-' (1 — у)"->>!х>(у. (22) Сделав замену переменных х=го, у=и и заметив, что якооиан перехода к новым переменным равен о, преойрззуем интеграл в (22) к виду ! 1 1аоо(ао)э-!91-э-! (1 а)1-Ф-!(1 — ю) -!!и!гйр= е ! ! 1*'о — л '«) ~'!« — ! « = о =()(й+1, ! — й) р(!+2, л — !+ Ц.
С учетом проведенной выкладки из (22) получаем при й(! Ми,и„, л'М(' ' — "'1'+')"л ')' '"+" (й — 1)! (! — Ф вЂ” 1)! (л — !)! и (л+ 2)! (л+ 1)(л+ 2)' откуда А (!+ 1) а! л (л — 1+ 1) (п+ 1)(п+ 2) (л+ 1)! (л+ 1)э!л+ 2) Сравнив (2Ц с (23), замечаем, что формула (23) годится и при й=!. Проверим, что матрица Р= (л+ Ц (л+2)1рм, й, !=1...п], рлп=2, рл-!,! Рми-!" — 1. ры О, (Й вЂ” !~:з 1, является обратной к (1. Положим С/Р 1ам, Й,/=1,...,л], тогда л аы=- (п+ Ц(и+ 2) Я !!э!р!и ! ! Доопределнм элементы дм! прн й и ! принимающих значения О н и+1 с помощью формулы (23). Легко проверить, что при А а/ ам= (и+1) (л+2) ( — рм1-!+2г/,и — г/кн!). Отсюда при й с./ находим 1 аы = — ( — й(п — /+ 2)+ 2й(л — /+ Ц вЂ” й(п — /))= О, л+1 а прн л=/, воспользовавшись симметрией матрицы (!, получаем 1 аи = — ( — %-!н+ 2!!и — !)ь!+!) = л+1 = — ( — (/+ Ц(л — /+ Ц+ 2!(л — /+ Ц+!(л — /))=1.
1 л+1 Таким образом, Я '=Р, ° Оценки р н о могут быть получены применением формул (12) Мы воспользуемся более простыми формулами (17), так-как распределение элементов выборки симметричное, но для этого надо перейти к параметру р*=)!+о/2, равному среднему значению рас- 94 пределении элементов выиорки. о новои параметризацнн получаем выборку из равномерного распределения на интервале (р'— — о/2; р'+о/2), и соответствующая модель имеет внд у;=р~+оа;"+оеь 1=1,...,л, где матрица ковариаций вектора е остаетскпрежней, а~'=а; — 1/2.
Проводя вычисленпя по формулам (17), имеем (~-'!'=(л+!)(и+2)(1, О, ..., О, 1)', !Я Ч'=2(л+1)(л+2), Я-'а" =(л+ 1)(п+ 2)( — 1/2, О, ..., О, 1/2), а'Я-'а" = (л+ 1) (и+ 2) (л — 1)/2 (л+ 1), Р'= Уа-'1'/(и)-Ч') = 1/2 ()'3 + !'„) = 1/2(Хоп + Х(м). (24) о = т() — т1'/(а'Я-'а') = (л+ 1) ()'„— );)/(л — 1) = =(л+ 1) (Хм! — Хгп)/(л — 1). (25) Так как р р' — о/2, то наилучшая несмещенная оценка равна (см. теорему ! $9) л 1 > = р' — о/2 = — Хо ! — — Хмн и — 1 л †! (26) Оценки р' н о некоррелированы, дисперсии оценок равны (см.
(18)) 0)Р = о'((л + 1) (л + 2))-', 0о = 2оэ((л — 1) (л + 2))-', 0р =-0~~'+ 0(о/2)= о'(Зл — 1) (2(л' — 1) (л ~ 2)) '. (27) й. Пример: экспоненциальное распределение. откуда а аа.=й!Уо>= ~) (л — 1+ 1) ', (29) 11 В случае экспоненцнальной ф. р. 1 — ехр( — (х — р)/о), х)р, стандартизованные сл. в, У~ имеют плотность е-*, х)0, н, в соответствии с леммой 1 й 6, сл. в. Е; (л — 1+1)(Уо! — Уо о), 'Ум! О, 1 !,...,л, (28) независимы и имеют ту же экспоненциальную плотность е-', х)0.
Из (28) имеем и»! сот(01», У»0) = ~Г Я гач~Хь Е~) х »»г! в!и!». а х(л — 1+1)-»(л — /- 1)-»= Я (и »+1)-». (30) Проверим, что матрица Р= [р»», й,1= 1,..., л1, р!, »,=р,, » — (л — 1+1)т, р»» (и — й+1)э+(л — й)» (31) является обратной к Я. Доопределим элементы ры и (1»! прн й и 1, равных 0 илн и+1, с помощью формул (31) и (30) (считая там сумму по пустому множеству индексов равной нулю). Нетрудно видеть, что при этом для 1(А</~п справедлива формула » ~ Ырн = Ф~л-! Р! — ! и -! Ч»!Р!! + Ф,,!+! Р1е и!. ! ! Поскольку р! »,!+Рн+р!и»! О, а при А(/ »/»и- + г/»|=0»л+ = Я (л — »+1) ! ! то из (32) получаем, что внедиагоиальиые элементы матрицы ЯР— нулевые.
Диагональные элементы 1;/Р также находим по формуле (32): г-! †(и†1 + 1)» Я (л †! + 1)-' + ((и†1 + 1)' + (и †/)») х ! ! ! ! х ~Г (л — »+ 1)-' — (л — /)'Я (л — 1+ 1)-' =-1. ~ ' р ! = р + р, =п»+ (п — 1)» — (и — 1)» = л», ! ! а прп й)1 » р' Р»! — Р»,» !+ р„,- р».», — О, ! ! так что Я '1'= (л»,0,...,0)'. (ЗЗ) Таким образом, Я ' Р. Перейдем к вычислениям наилучших иесмещенных оценок 1», о по формулам (12), (10). Имеем амадее, (34) тде и, прн всех 1 определены формулой (29). Подставляя в (34) значе!!пя входящих туда величин, получаем о ! — (л — й+ 1) ~Г (л — !+ 1) т+((л — А+ 1)о+(л — й)!) х !-! о Ф+! х ~" (л — ! + 1)-т †(л — А)' ~~' (л †!' + 1) ' =(п — й + 1) — (л — й) = 1, так что Я 'а'=1'.
Из (33) и (36) находим о о Щ-!1'=л*, «Ц оа'=а1'= Я ао=МЯ ()и1= о ! Ф ! о =М ~~' Уа — -л, !Я-та'=1 !'=л, Ь=-пол — л' по(п — 1), о-! (36) (~-!!'аЕ-! =(»', О..., 0)'1, ()-!а'!Š— ' =-!'(л', О, ..., 0), р = — т' Цп', О, ..., 0)'1а' — 1' (л', О, ..., 0) а') = Ь 7((п', О,..., 0) — 1'л'л-')=- — ")',— ао (а — 1) а-1 о 1 ! = (лХп! — Х)/(л — 1), (36) ! ! л (л — 1) ооо — У((по, О, ..., О)11' — 1'(л', О, ..., 0)1')= ло (л — !) вектора оценок — (л (л — 1))-' (л — 1)-' (38) 9У Ро!и! =Раа ! аО !+ РООах+ РОО4! ах Е ! ! — 7 ((по, О,..., 0) — ло! ') = —.— во(и — 1) л+ 1 =л (Х вЂ” Х!!!)/(л — 1). Вырви!ение (13) для коварнациоиной матрицы (1!, с) принимает вид (л (л — 1))-' — (л (л — 1))-' Оценки )! и о совпадают с оценками р' и о' $6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
