М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(Х!))от + Еи', то из (15) следует, что (у">(О!) =Ре,(х„: Ех,(8,) л(Жм(х„) — 8,)')», „(Х!)) ) 1 — е. 269 Состоятельность критерия (9) доказывается аналогично, если учесть, что /х,(0<">(Х„))- /х,(0>), п-»со. Рэ Так же нетрудно установить состоятельность критериев (7), (1!). Сравнить состоятельные критерии можно, изучая порядок блн. зости к единице пх функций мощности при различных 8. Можно сравнить их по поведению функции в точках 0=6„, таких, что 0„-«6«, и-»оо. Заметим, что аснмптотнческн эквивалентные критерии имеют, вообще говоря, не эквивалентные прп л-~.<>о ошибки второго рода.
Это легко обнаружить, сравнивая, например, статистики критериев (8) и (9): прн одном и том же члене л(6<" >(х,) — 0<>)' стоит множитель /х, (0,) в (8) н множитель, близкий к /х,(0) по мере Рэ, в (9). Стоит отметить, что статистика критерия (11) является квадратом статистики локально наиболее мощного против односторонних альтернатив критерия из и. 4 $21. Поскольку двусторонний локально наиболее мощный критерий существует лишь в исключительных случаях, то компромиссная область (11) может рассматриваться как «оптимальная» для двусторонних близких альтернатив. 2. Векторный параметр.
В случае векторного параметра 6 (6<, ..., 6«), пользуясь разложением по формуле Тейлора и асимптотической нормальностью Л<, (6, (/к, (6) 6)-') оценок 6<"> (х„) и асимптотической нормальностью Ф»(0, /х,(8)л) вектора пгж(э(/" (Х„; 6), получаем, что стати. стики векторных вариантов критериев (6) — (9), (11): йг»" (х„)=21пТе >(х„), Цг<»"> (х„) = и Ж"> (х„) — 6«) /х, (6 ) (6<"> (х„) — 0 ) ', Яг~з"' (х„) = и (6<"> (х„) — 6') /х (йм> (х„)) (8<">(х„) — 6')' имеют по мере Р<» предельное >(»- распределение. Все эти критерии также являются состоятельнымн н аспмптотически эквнвалентнымп. 3. Полиномиальное распределение.
Рассмотрим повторную выборку из распределения с исходами 1, 2, ... „т и вероятностями исходов Рь Рь ..., Р„; Р<+Р<ч-...+ +Р =1. За вектор неизвестных параметров примем р= (Рь Рь " Р >). Найдем вначале о.м.п. параметра р. Ис- пользуя индикаторное обозначение, запишем логарифмическую функцию правдоподобия отдельного наблюдения: ии-1 !(х!', Р)= Я /» /)1п!11+/» 11п(1 — р! —...— Рщ 1), 1 1 где /и 1, если А верно, /и=О, если А неверно. Далее, и т — 1 и /1и!(Х„; р) =.
~Г !(Х1. Р)ии 1~ 1ПР/~~' /», ! 1 ! + !п(! Р! — — Р -!) ) /(,. ) д!1и!(х„; р)/др/= р; ' ~/», !1 — (1 — р,—...— р !) 'Х 11 х ~~1/» ), /= 1, ..., !н — !. 1 1 Уравнения правдоподобия запишем в виде р1/(! — р, — ... — р ! ) = Я /», ) / ~ /», ), / =. 1, , т — 1, 1=! ' ( 7) Складывая соотношения (17), имеем и 1 кч Р!+. +Р ' = ! ~/( .- !). 1 1 ПОДСтаВЛЯЯ (18) В (17), ПОЛУЧаЕМ Р';"' = Ч1и1/Л, 1= 1, ..., и...т — 1, где через ч11м/и обозначена частота исхода /; / = 1, т — 1. Также и о.м.п. параметрической функции р является частота ч~",~/л! исхода и.
Статистика»»!" !" ! имеет вид / 1 ! 1 / 1 Найдем матрицу Фишера отдельного наблюдения. Имеем дЧ(х,; р)/др! = — р/~/», ) — (! — р,— .. — р -1)-Ч», дЧ(х; р)/др/дри — — — (1 — р —...— р 1)-Ч» 1, /чь/1. Мади! (Х„Р)/дР/~ = — Р~ ' — Р М;дЧ(Х,; р)/др;др,= — р ', /~й. 261 1 1 ... 1 р~ ' 0 ... о о р,-'... о /х,(р) =р о о... р.-', 'Вычислим статистику Я7з"'! л (»и)/и — р) /х, (р) (»!л)/и — Р)' = л)-! и-1 =и-' ~'р„,' ~ (»(") — пр() (»';"' — пр/) + ~ р( ' (»1(") — пр()'~ (19) (,/ 1 ( ! Поскольку первое слагаемое правой части (19) равно л(-1 (л — 1 р ($ (»',л) — Пр,) )~=р ( ~' »(л) — )Г Лр;)З= (» — пр ), — 1 !л) т (20) го получаем ,!л) а О, )р(л) ь 1 (»! т =~„ лР о ( 1 l Итак, статистика Ют имеет предельное распределение Х !л) т Критерий со статистикой (19) называется Х-критерием Пирсона.
Выпишем статистику Н7!з"), используя (19), (20): Л (»!л)/Л вЂ” р) /„, (»(л)/П) (»(л)/П вЂ” р) ' = =- л-' ((47/а)-' (ъ4",' — пр,„)'+ ~' (»~"'/и)-' (»';"' — лр()'/ = =-~ (»'; — пр()т/»'; . Критерий со статистикой (» 1 л Р ) э хл ,(л) »( ! 1 262 также называют критерием Х'. Пример 161. При считывании шкалы, когда последняя циф. ра оценивается на глаз, часто наблюдается предпочтение одних цифр другим. Следуюшие данные представляют частоты последних ))нфр при 200 считываниях шкалы: о 8 9 » — 20 1 — (Π— 9 — 4 (» — 20)"-,' 20 0,45 4 05 О 80 О,8О !1,25 О,8О 1,25 О„О5 5,ОО Получаемое значение есть 24, 90.
По табл. 2.1а 11) для распределения х' прп числе степеней свободы 9 находим с помошью линейной ннтерполяпии, что вероятностью наблюдать такое же нли большее значение равна 0,0031. Это выходит за предел минималь. ного уровня значимости 0,005, принятого в статнстическях таблипах, и гипотезу На следует отвергнуть.
Рассчитаем для тех же данных значение статистики К . Имеем (»1 — 20)9 225 16 25 9 ! 81 100 (»1 — 20)9 »1 6,43 1,00 1,66 0,53 0,53 0,05 7,36 1,0 3,33 1,О Значение статистики равно 22,55, вероятность наблюдать такое же или большее значение равна 0,0074. Для статистики 971"' имеем 9.99~ 1,75 »$(аР) 0,8 0,75 0,55 0,8 1,5 1,2 — 9,99) — 9.»! — 0,16 0,56 1а (»;,'л(4.) — 0,22 0,405 — 0,22 0,182 — 0,05 — 2,72 994~ 19,59 »1 1И (»1 4Л)41) — 4,35 12,15 — 3,52 — 0,5 4,Зг Значение статистики равно !8,39, вероятность наблюдать такое же нли большее значение равна 0,030.
Если считать, что наблюдатель не имеет предпочтений, то мы имеем дело с повторной выборкой объема л=200 из полнномиального распределения с 10 равновероятными исходами: гипотеза Нь Рассчитаем значение статистики (19): ЛИТЕРАТУРА 1. Большев Л. Н., Смирнов Н. В.
Таблицы математической статистики, М,: Наука, 1983. 2. Феллср В. Введение в теорию вероятностей и ее пряложсния, т, 1, 2, М Мнр, 1984. 3. А ил ° рсен Т. Статистический анализ временных рядов. Мл Мир, 1976. 4. Кокс Д., Льюис П. Статнстяческнй анализ последовательностей событий. М,: Мир, 1969. 5. Х а л ьд А. Математяческаи статистика с техническими прнлолсеняямя, Мл ИЛ, 1956.
6. Ш с фф е Г. Днсперснонный аналяз. Мл Наука, 1980. 7. Рао С. Р. Линейные статястнческне методы н ях применение. Мл Наука, 1968. 8. Сархан А., Гринберг Б. Введеняе в теорию порядковых статяствк, Мс Статистика, 1970. 9. Дед вид Г. Порядковые статистики. Мл Наука, 1979. 10. В ан дер В арлен Б. Л, Математическая статнсгнка. Мл ИЛ, 1960. 11. Л е и а н Э. Проверка статнстяческях гипотез. Мл Наука, 1979.
12, Боровков А. А. Математическая статястика. М. Наука, 1984. 13. 3 а к с Ш, Теория статястнческих выводов. Мл Мяр, 1975. 14. К о к с Д., Х я н к л и Д. Теоретяческая статястнка, Мл Мяр, 1978. 15. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей, язд. 2. М: Наука, 1974. 1б. Ш н р я е в А. Н. Вероятность. Мо Наука, 1980. 17, Г н елен к о Б.
В. Курс теория вероятяостей, Мл Наука, 1969. 18. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные пронессы я математяческая статястнка. Мл Наука, 1985. 19. Сева стьннон Б. А. Курс теории вероятностей я математической ста. тнстикн. Мл Наука, 1982. 20. К р а ч е р Г. Математяческне методы статистики. Мл Мяр, 1975. 21. Тутубалин В. Н. Теоряя вероятностей.
Мл Изд-во МГУ, 1972. 22. Ивченко Г, И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. Мл Высшая школа, 1984. 23. Барра Ж.-Р. Осяовные понятия математической статистики. Мл Мвр, 1974. 24. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теории распределеняй. Мл Наука, 1966. 25. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы н связи. Мл Наука, 1973. 26. Кендалл М. Дхс., Стьюарт А. Многомерный статястическнй анализ н временные ряды. М.: Наука, 1976. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
