М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Но если ограничить область изменения параметров неравенствами 1и(~сь а>с»0, где сь ст — произвольные постоянные, то бтмеченнык затр;днений уже не возникает. Так как с1 можно взять сколь угодно большим, а ст — сколь угодно малым, то сужение параметрическ й области не существенно с точки зрения приложений. Рассмотрим примеры.
(11) Для повторной выборки из нормального распределения с плотностью а 'ф((х — р)/а) получаем а(х) =1пф(х) —.— — 1п1 2л — х'/2, а' (х) = — х, й" (х) = — 1, й)азй (г',) = — 1. М..Мй" (г',) = — 1. р=х /(х)= — х~'-'е-*, х ) О, 1 Г (р) 255 Опенки максимума правдоподобия равны а а — '~;(х~ — х)' (см .пример (11) $20), а их асимптотичесС=1 кая матрица ковариаций равна по формуле (55) (л/х, (р, а))-' = л-'а' ~ Г 1 0 ~ 0 1/2 О. м. п. для ф(а) =а', равная ~р(а) =а', имеет асимптотическую дисперсию (~р'(а))' )з,„,а=4а'а'л-'2-' 2а'л-'. Асимптотнческая н точная матрицы коварнаций оценок р, аз равны соответственно (см. пример (П) $19).
0 2аф/л 0 2а~ (л — 1)/лз Отметим, что условия регулярности (А), (В), (С) в рассматриваемом случае выполняются, а для выполнения (1)) надо ограничить область изменения параметров до ~и( ась аъсь где гь сг— произвольные положительные постоянные. (111) Для повторной выборки из гамма-распределения с известным параметром формы р и плотностью /(х, р, а) = =о-'/((х — р)/а), где условия днфференцируемости плотности 1(х, и, а) могут нару- шаться в точке и=х.
Приняв р>3, обеспечим существование вто- рых производных (условие (А)) и возможность перемены поряд- ка дифференцирования по параметрам и интегрирования по х (ус- ловие (В)). Условие (С) также выполнено (см. $19, соотношения (15) и далее). Если допустить, что р>4, то прн ограничении об- ласти изменения параметров до (р~~с~<оо, аъст>0 выполняет- ся также и условие (Р). Имеем (см. (3), (4) $7) и (х) = — 1п Г (р) + (р — 1) 1п х — х, я' (х) = (р — 1)/х — 1, у' (х) == — (р — !)/х', %иа'(у ) = Ма|( — (р — 1)Л'1) = — 1/(р — 2), Ми|У,В'(У,) = — 1.
Маей (1') = — (р — 1). Асимптотпческая матрица ковариаций о.м.п. равна (л/х, (ц, а))-'= л — 'а' ! 1 р .) Ел 'ь — 1 (р — 21 Если начало отсчета перенести в центр расположения распре- деления а= Мк1У~Е" (У~)/Мк,Е" (У~) р — 2, т. е. оценивать и' и+а вместо и, то по формуле (57) находим Г(р — 2)-' 01 — ' Гр — 2 0 (л7», (и', а)) ' = л — 'о~ ~ ~ — л-~аз ~ О 2~ ~ 0 2') Как видно, асимптотическая дисперсия о.м.п.
и'(х„) в р/2 раз меньше дисперсии и(х„); нетрудно проверить, что она совпадает с асимптотической дисперсией о. м. п. и'(х„) в модели с извест. ным а. й 24. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИТЕРИЯ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ !. Скалярный параметр. Рассмотрим для повторной выборки асимптотнческие свойства критерия отношения правдоподобий, введенного в п, 5 $ 21, полагая, что нулевая гипотеза — простая, альтернативная — сложная: И,:0=0„8,:0 =Е„Е=(0,) () ()„ а параметр 0 — скалярный. Статистику критерия возьмем в виде.
Т<"~ (х„) = (.<"> (х„; Орч (х„))/П"1 (х„; 0 ) 256 где 6<">(х„) — оценка уравнения правдоподобия ччо - <> ч модели (Ф, Я, (Р„Онпз)). Будем предполагать выполненными условия регулярности (4) — (0) п. 6 $23, так что имеется единственный (с Р,-вероятностью, стремящейся к единице прп п-<.оо) состоятельный корень 8<">(х„) уравнения правдоподобия, являющийся асимптотически нормальным Ф(0, (/«,(0)п) — '). Используя формулу Тейлора, имеем ! и Тм>,(х„) = Р"> (х„; 9'> (х„)) — (<"> (х„; 6,) = = д/<и> (х,; Оо)/дО (0<а> (х„) — Оа) .<- — дЧ<и> (х„; 0„)/дйа (Фл> (х„) — Оо)з .
2 + †' ОЧ< > (х„; О,)/66а (О >(«„) — 0,)з, дРл>(х„„ 0<">(х„))/дй — д/<">(х„; Ое)/60 = <Р!<"! (х„," 0 )/дйа (6<"! (х„) — 0 ) + — дЧи! (х„; 0 )/дйа (8<"> (х„) — 0 )з, (2) где )0< — 0<>(<18<">(х„) — Ое~, <=1, 2. Используя в (2) равенство д/<"! (х„; Мл> (х„))/<УО = 0 и подставляя выражение для производной д/<">(х„; 8<>)/дО из (2) в (1), получаем 1п Т<"> (х„) = — 1/2дЧ<"> (х„; 0 )/дйз(0<"> (х„) — 0 )а+2г„(х ), (3) где для остатка 2г„(х„) имеем (ср. (37), (39) 0 23) л (г„(Х„)! < — ~~~ Ь(Х)10<">(Х„) — 0,1()/л (0<">(Х„) — 0))~ 0 (4) <-> е а.
при а-<.оо. Используя закон больших чисел н аснмптотическую нормальность оценки 6<" >(х„), выводим, что статистика — — 'Г,'(6,)ОЧ >(х„; О,)/60*и/„,(О,)(Е (х„) — 0,) (3) а по мере Ре, имеет предельное распределение Хз с одной степенью свободы, Отсюда н из (3), (4) заключаем, что статистика 2 1п Т<" >(х„) в предположении гипотезы Не имеет Х<з-распределение.
Знание, хотя н приближенное, распределения статистики критерия делает возможным его практическое использование при больших и. В критическую область включают большие значения статистики критерия: (х„: 2 1п Т<"! (х„) ) «> «(Х<)) (8) где ><,(><<а) — а-квантнль распределения Х<т. Размер критерия (6) 25? с ростом и стремится к а. Статистику критерия (6) можно заменить прн больших и статистикой (5) н получить крнтернй в форме (х„: — дЧ<" < (х,; Ое)/две (0«е (х„) — О,)' ~ х< „(Х()).
(7) В свою очередь, используя соотношения дЧ <(Х„; ве)<дв*-~ -7х,(0,), ее, 7х,(В«(Х„)) 7х,(В,), п —.о, ее. можно вместо (7) предложить любую нз следующих крнтнческих областей: (хд: <х,(0<)п(0"'(х) — 0) ) х< „(Х<)), (х„; /х,(Вее (х„)) и (О«е(х„) — В„)е ) х „(Х)1)). Используя представление (см. (37), (32) $23) 0«ч(Х„) — О = — д(<м(Х„; Ое)(дв(дЧеч(Х„; О )Удв')-< м х (1~-г„(Х„, В,)), (8) (9) где г„(Х„; О ) — О, п-<-оо, ее.
имеем lх, (Ое) и (Ом> (х„) — 0„)' = 1х, (ве) (=д1<м (хп' Ое)<дв ) а / , (' ' дЧ (,„; 0,)<две) "(1. г„( „; О,ц . « (10) Так как предпоследний множитель в правой части (10) стремптсч по мере Ре. к (хе(ве), то пз (8) получаем еще однн критерий х„'(х, (Ое)1 —.дбм(х„; Ое)(дв) )х< „(Х<)~. (111 1'' ° ('-" ' ~ )гл 258 Прантнческое удобство критерия (11) состоит в том, что для ега применения не требуется вычислять о, м. п.
8<" <(х„). Проведенные рассуждения показывают, чта критические области (6) — (9), (11) в предположении, что справедлива гипотеза Не, асимптатически эквивалентны: любые две из ннх отличаются на множестве, Ре,-мера которого стремнтся к нулю прн п- оо. Покажем, что функции мощности этих критериев в любой точке 8<, такой, что Ре,~Ре„стремятся к единице прп и-< оо. Рассмотрйм, как ведет себя статнстнка критерня (6) по мере Ре,. когда л-<.оо. Имеем 21п Т<и>(х ) 2(Ем>(х<л!, 'ОРв>(х )) Ем>(х .
О!)) + 2 (Е!"! (х„; О!) — Е!"! (х„; Ое)). (12) Как мы уже знаем, первое слагаемое в (12), в предположении, что верна гипотеза 9=0>, имеет в пределе )Е>е-распределение. Отсюда вытекает, в частности, что для любого е>0 и всех достаточно больших и Ре,(х„:Ем>(х„; 0 (х„)! — Е!">(х„; О!)) >О) ) 1 — е. (13) Далее, а (Е!" (х„; О ) — Е" (х„; Ое)) = ! Ъч!П(Е(»>~ О!)/Е(х ' Ое)) е л' ! ;! и так как (см. $22, соотношение (17а) ) а=ййе,!п(Е(Х,; 9,)ЕЕ(Х,; 0)) >О, л-! (Еи! (Х ' 8!) — Ет'! (Х„; Оо)) -+ а ) О, и -~ оо. те, Следовательно, для любого е>0 и всех достаточно больших и Ре,(х„:и — '(Ем>(х„; 0,) — Ем>(х„; О,)) >аЕ2) >1 — е.
(14) Из (13) и (14) получаем для достаточно больших и ~м~ (0,) = Ре, (х„: 2 1и Т!"! (х„) > х >, (т !)) ) > Ре, (х„: 2 (ра! (х„;9,) — Р"! (х,; 9,)) ) ла) — е > 1 — 2е. Итак, для любой простой альтернативы О>, такой, что Ре, чь Ре„ функция мощности критерия (6) стремится к единице при п-~са. Такое свойство критерия называют состоятельностью. Состоятель. ными являются и все остальные критерии (7) — (9), (11). Действительно, в случае критерия (8) запишем У (О (х„) — О,) = Уй (В ( „) — О,) + У (О, — 0,). (16) Первое слагаемое в правой части (16) асимптотическн нормально У(0, Ех,(0,)) по мере Ре,. Поэтому для любого е>0 найдется Е.>0, такое, что, начиная с некоторого л, множество (х„: Е»,(0,) л(0!">(х„) — О,) ~ Е,) (16) имеет Ре,-меру большую, чем 1 — е. Если к тому же п удовлетворяет неравенству Ех,'(Ое) 1~>~ 19>-Ое1 > (х! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
