М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Другое замечание в отношении критерия с фиксированным объемом выборки состоит в том, что неравенство (9) могло иметь место прн меньшая значениях и н, следовательно, проведены «лишние» набзюдення. Определим последовательный критерий отношения правдопо. добий, выбрав два числа А>1>В>0 п задав момент Ь'(х) оста. павки наблюдений следующим образом: Н(х) =л«=ь (Р~(х)ен(В, А), 1=1, ..., и — 1; В,(х)Ы(В, А), (10) Иначе говоря, значения отношения правдоподобий иэ интервала (В, А) относятся к области «неуверенности» в принятии решений. Но как только Я„вышла иэ этого интервала, решение принимается: при Яхоч(х) >А гипотеза Н, отвергается, ири Вх„,~х! <В гипотеза Но принимается. Критическая область имеет, таким образом, вид (!11 Ф':=(х: Яхм (х) >А) Вообще говоря, остается возможность неограниченного продолжения испытаний для выборок х, для которых В<!1»(х) <А при всех и.
Покажем, что множество таких х при несовпадающих Р,, Р, имеет меру нуль по каждой иэ этих мер, т. е. Л'(х) удовлетворяет требованию конечности (6). Рассмотрим для определенности случай, когда распределение вероятностей отдельного иабзюдеиия задается плотиасзыа 1„(х1 прн Н» и )~(х) при Нь Положим а 1а9А>0, Ь=)а9В<0, л Ь (х) = 1ой (г, (х)ф, (х)), 8„(х) = 1ап !т'„(х) = ) й (х~).
1 ! Мы покажем, что (12) — оо<М Ь(Х,) <О, 0<М й(Х )<+оо, откуда будет следовать, что (см. конец п. 1) Р«(х: М(х) <оо) Р~(х: Н(х) <оо) =1. (13) Для доказательства неравенств (12) применим неравенства Йенсена для выпуклых функций: если 9(х) такова, что для любого 0<а<! н любых хчьу а~р(х)+ (! — и)ср(у) «р(ах+ (1 — а)у), то М р(г) «р(МХ), (14) в предположении, что МХ конечно и у'(Я=МУ) <1.
[Докажем (14), предполагая дополнительно, что 9(х) имеет непрерывную вторую производную ф«(х) <О. По формуле Тейлора имеем ~р(х) — ~р(У) =~р'(У) (х — у)+1/2~р«(х+9(х, у) (х — у)) (х — у)2, (15) 229 где 0<0(х, у)<1. Подставляя в (16) у МХ, х=Х, запишем Р(Х) — р(МХ) =Р'(Мг) (г — Мг)+а(г), (16) где у(х)<0 при всех хчьМУ. Взяв математическое ожидание от обеих частей равенства (16), получаем в случае конечного Мч.(Х): М4 (Х) — в(МХ) =Му(Л) <О, что н дает (14).
Если Мв (Я1 бесконечно, то, отбрасывая в (16) неположительное слагаемое д(Х), получаем, что М~р(Х) = — ао, н неравенство (14) установлено]. Запишем неравенство (14) для ~р(Х) =й (Х~) =!оп/1 (Х~)//0(Х~). М,й(Х,)=-~!оа '(х) /„(х)ох<!ой( '(х /„(х)дх=.О. (17) /е(х) ,) /р(х) аналогично М,й (Х1) =-~ !ой — ' /1(х) их = — 11оа / (х) Ых ) О. (17а) /ю(х),3 /1(х) Если в (17) на множестве положительной Р0-меры /,(х) =О, то Мой(Х~) — оо, и аналогично М~й(Х~)=+со, если /е(х) О на множестве положительной Р~-меры, так что неравенства (12) установлены и тем самым доказано, что й/(х) конечно.
° Последовательный критерий (Р задается двумя параметрамн А, В, А>!>В>0; его размер а и мощность 6 в принципе могут быть рассчитаны по формулам а = Р, (х: У(ям! (х) > А), () = Р, (х: Ялм1 (к) > А) . Такой расчет представляет в общем случае сложную задачу, решение которой в явном виде не находится. Однако возможен простой приближенный расчет. Мы покажем, что, выбрав А'=6/а, В'= (1 — 6)/(1 — а), (16) мы получим последовательный критерий )Р' = (х: 1Ь пч (х) > А'), значения а', ()' которого связаны с а, 6 неравенствами а'~(а/(), (1 — ()') <(1 — 6)/(! — а), а'+ (1 — (1') ~~а+ (1 — 6). (19) Обычно прн использовании последовательного критерия задаются вероятностями ошибок первого и второго рода порядка 0,1+0,01.
В таком случае неравенства (19) показывают, что каждая из вероятностей а' и (1 — 6') для критерии (у' может лишь незначительно превысить о н (1 — ()) соответственно, а нх сумма ие превосхо. дит и+ !! — ()). Покажем сначала, что (20) и — А-ф~О, 1 — 6-В(1 — а) «О. 230 По формуле полной вероятности имеем а — А-ф=~ (Р,(х: й„(х) >А, й/(х) =и)— ю ! — Р, (х: й„(х) ) А, й/ (х) = и) А — ') = — ~ (/,(х,)... /р(х„) — А-' /,(х,)...
/,(х„)) с!хд... с(х,г (21) л! е„ Е.=Цк).:/,(х,) .../,(х,) )~А/„(х,)... /,(х„), й/(х) =и). Поскольку подыитегральная функция в (21) неположительна на множестве Е„то получаем отсюда первое нз неравенств (20). Ис. пользуя соотношения 1 — а =- Ра (х: йл оч (х) < В), 1 — ~.=Р, (х: ЗЬм! (х) < В), аналогично получаем второе пз неравенств (20): (1 — (3) — В(1 — а)=-.~~' ) ~(/,(х,).../,(х„) — В/а(х,).../,(х„)) х и 1 бд х дх,...дх,<0, 0л =(Ха ' / (ха) ° ° ° /г (хп) < В/о (ха) ° ° ° /ф (х4 3~ (к) = п) Неравенства (20) перепишем в виде А~~)3/а, В~)(1 — р)/(1 — а).
(22) Значения вероятностей а', (3' для критерия )Р' подчиняются неравенствам того же вида: А'(ф'/а', В') (1 — р') (1 — а') . Подставляя сюда значения А', В' пз (19), находим р/а(ф'/а', (1 — р)/(1 — а),в (!†)3')/(! — и'). (23) или а'~~а(3/(3<а/р, (1 — р')<(1 — (3) (1 — а')/(1 — а)~((1 — р)/(1 — а), что приводит к первым двум неравенствам в (19).
Далее, нз (23) имеем р/а — 1к (3'/а' — 1, (1 — а)/(1 — (3) — 1к (1 — а')/(1 — (3') — 1, или а/ф — а)-ва'/(ф' — а'), (! †(3)/(ф — а) в(1 — ф')/(ф' — а'). (24) Складывая неравенства (24), получаем (а+ 1 — р) /(р — а) «> (а'+ 1 — (3') /(р' — а'). (25) 231 Прн () — и, ()' — и'>О перепишем (2т) в и .,",. 1/ ( — 1+ 1/(а+ 1 — ()) ) ~1/( — 1+ 1/(и'+ 1 — (1') ), илн — 1+1/(а+ 1 — ()) - — 1+ 1/(а'+ 1 — ()'), откуда и получаем третье нз неравенств (19).
3, Среднее число наблюдений в последовательном критерии. Случайный момент времени М(Х) является моментом первого выхода траектории случайного блуждания л 5„(Х) = 1од й„(Х) =- ~~' й (Х!), л = 1, 2, ..., / 1 из интервала (Ь, а), а=!од А, Ь=(од В. Докажем следующее тояг- дество Вальда: И,5«!ю(Х) =Мй(Х!)йй,М(Х), -О, !.
Проверим сначала, что й!!!М(Х) конечно. Заметим, что М!М(Х) -.~ «р!(М(Х) =л) =у «(!у!(М(Х) >и) (26) л ! — Р!(М(Х) » )л+1)) ~ (и — 1+1)Р!(М(Х) »и)— л !. — ~ лд;(М(Х)) »и+ ц=~(' Х'!(М(Х) ~»л). (2у) л Далее, Ф!(М(Х) ) 2«) =Р!(5,(Х) ен(Ь,а)„ /.=1,...,2л) ( < Ф! (5! (Х) ы (Ь,'а), 5„ь! (Х) — 5„(Х) ен (Ь вЂ” а, а — Ь), !,Ь=1„...,«). (28) Но вероятность в правой части (29) меньше единицы при некотором и, поскольку, как было доказано выше, момент выхода М(Х) из любого интервала (а, Ь) конечен с вероятностью единица.
Таким образом, прп некотором л, У! (М(Х) ~2«ь) ау', 0<у(1, Так как сл.в. 5 +ь(Х) — 5~(Х) й(Ха+!) +...+Ь(Хе+ь), й='1, 2, ..., л, не зависят от 5!(Х), ! 1,..., и, то нз (28) получаем Яю(М(Х))2«)~Рю(5!(Х)~(Ь-а, а-Ь), ! 1, ..., и))з. (29) н. аналогично, при любом Ь У! (/>/ (Х) Мл>>Ку>'. Учитывая монотонность членов ряда (27), заключаем, что этот ряд сходится. Введем сл. в. 1, если Ь< 5„(а, //=О, 1, ...,/ — 1, Зэ=О, У/ —— О, в противном случае. Легко видеть, что />/(Х) =~! У/, 5л>х> =Ь (Х!) +...
+ Ь (Хз/!х!) =)Г Ь (Х/) У/. (30) / ! / ! Из (30) получаем М!л/(л) = 7 М/У/. / ! а, используя независимость Ь(Х/) и У/, имеем л в л М,~ Ь(Х/) У,-~ М!Л(Х/) М!У/=М!Л(Х!) ~ М,У,. / ! / ! /-! (31) Переходя в (31) к пределу при л->-ео, приходим к (26). ° Перепишем тождество (26) в виде М//>/(Х) = М/5//!х>IМ//> (Х), 1 =0, 1 ° Воспользуемся приближенными равенствами Зн!х> на либо Зл!х> ав Ь, (32) (33) пренебрегая тем, что в момент выхода из интервала (Ь, а) статистика 5» выходит, вообще говоря, не на границу интервала, а за его пределы. Понятно, что для обеспечения малых вероятностей а и ! — р границы а н Ь по модулю должны быть велики по сравнению со средней длиной шага блуждания М;Ь(Х!), что и служит основанием для приближений (33).
В результате получаем М/Зл!х> т аР! (Зл!х> ) а) + ЬР/(5//!х> < Ь), (36) М!5>т!х> ~ (Я+ Ь (1 — и))/Мдй (Х!), 233 9 и. В. Козлок А. а. прохоров или МзЗл!х> яв аа+ Ь (1 — а), Ы!5//!х> т и(1+ Ь (1 — ()). (34) Подставляя (34) в (32), получаем приближенные значения для среднего числа наблюдений в последовательном критерии; М,З//!х> яа (оп+ Ь (1 — и))/М,Ь (Х,), Рассмотрим пример.
Пусть /о(х) 9(х — )о), ! 1, 2, где ~р(х)- плотность закона )т'(О, 1) и ро<рь Имеем Мй (Х,) =Ма )п (/1 (Х1)//о (х1)) = Мо ( — 1/2 (х,— р1)о+ + 1/2 (Ха-Ро)о) = (Р~ — Ро)о/2, М й (Х1) = — (Р, — Ро)о)2. Границы последовательного критерия выбираются из условия (18): а=!п (8/и), Ь 1п((1 †())/(! — и)).
Подставляя их в (35), получаем Май/ю — 2(аа+Ь(1 — а))/()о~ — ро)'. М,В/т2(п~+Ь(1 †()))/()о, †)'. Сравним среднее значение объема выборки в последовательном критерии с числом наблюдений и а в критерии отношения правдоподобий с фиксированным объемом выборки и тем же размером и и ыошностью (). Из примера (!!) $21 выпишем уравнение для определения л=п,,: р=()+()о~) Ф()й(р~ — )оо — х~- /) и) ) (36) где х, — и-квантнль закона Ь/(О, !), Ф(х) ф. р. Ь/(О, 1). Из (36) получаем ха = )/л (р1 — ро) — Х!-а, ла,з .= ((ха + х1-а)/(р1 ро)) В результате М,)т 2(аи ~- Ь(1 — а)) М| Ч 2(ар+ Ь() — р) "а, — (37) (ха'» "~ «) аа,а ("В+ "~-'а) При а=1 — р 0,06 находим а 2.94; Ь= — 2,94.
и правые части соотношений (37) равны 0,4897, что указывает на экономию последовательного критерия в числе наблюдений. Последовательный критерий отношения правдоподобий минимизирует средний объем выборки по отношению к любому другому последовательному критерию с теми же или меньшпмн ве. роятностями ошибок первого и второго рода (см. (!1, гл. '!. разд. 12) и (7, с. 429)). гллвл ч БОЛЬШИЕ ВЫБОРКИ й зз. лсимитотичвскив своиствл оцвиок 1. Состоятельность. Различные методы оцеиивания, с которыми мы познакомились в предшествующих главах, позволяют строить оценки Т(х„) при любом объеме выборки и.
Свойства оценок при возрастаияи л систематически нами ие рассматривались. В данном параграфе мы остановимся вкратце иа некоторых общих свойствах оценок, проявляющихся в модели повторной независимой выборки при л оо. Чтобы подчеркнуть зависимость статистики Т(х„) от и как от параметра, будем употреблять ниже обозиачеяне Т~"~(х„) вместо Т(х„), Пусть при каждом л статистика Тоо(х„) определена на измеримом пространстве ()с", Я„), я=1, 2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
