М.В. Козлов, А.В. Прохоров - Введение в математическую статистику (1115302), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим другой частный случай: множество Ф то же самое, но предположим, что Р»(х~) =щЬ, где 6>0, жч — некоторые целые числа, т. е. набор вероятностей Р»(х~), 1=1, ..., й/, состоит пз соизмеримых чисел. Трансформируем эту модель, заменив каждый элемент х;ензй на л», элементов х;(1), ..., х;(ги~) н положив У=(х;(/), /=1, ..., гль 1=1, ..., У), Р»(х~(/)). б, Р, (х,(/)) Р,(х )/ть 1=1, ..., т;, !=1, ..., й/. Ясно, что исходная статистическая модель получается из транс. формированной обьедпненпсм групп элементов и сложением соот.
ветствующих вероятностей. Оптимальное множество в новой модели получается аналогично (1!) упорядочиванием иар (1, /), прн котором Р»(х, (/Д) >Р»(х~,(/»)) > ° °" (12! Поскольку вероятности 'Р~(х,(/)) равны между собой прп всех / и любом фикснросанном !, то упорядочивание (12) »южно провести с соблюдение»~ следующего свойства: вероятности Р~(х~(/)),.
/=1, 2, ..., ть расположены в (12) подрал. В таком случае всякое подмножество 1р'„~=И, включающее все пары х;(/) из ряда (12) вплоть до пары вида х;(ги,) прн некотором !, с одной стороны, является оптимальным в новой модели, а с другой стороны, после объединения групп элементов, переводится в множество 1Р.ыМ, являющееся оптимальным в исходной модели. Запишем отрезок из ряда (12): ...~Р,(хк(1))~...=Р,(хг(жч))~>Р,(х»(1))=Р,(х»(и!»))~в... (13) Так как Р»(х;) =Р»(х~(1))т;=бщь 2!7 го ыг ае; Ро (хд н, следовательно, с учетом (13) получаем, что порядок в У, порожденный соотношением (12), индуцирует в га следующий по.
рядок: Р,(хй)/Р,(х,,) ) Р, (х~,)/Ро(х(,) )..., (14) и потому образованное выше оптимальное множество )Р может быть описано так: (Р„=(х,, х;„, ..., х,), где хо определены в (14), а й таково, что соблюдается равенство (9). г)так, оптимальное множество )Р, включает точки х с наибольшим отношением правдоподобий Р,(х)/Ро(х). Поясним, что доя непрерывной модели имеет место то же самое. Полагая носитель плотности /о(х) конечным, разобьем его на конечное число областей Ьь !=1, ..., й/, с объемамн ~Ь;(-5//о(х ).
(15) где х, — некоторые точки нз Ьь !=1, ..., й/, а б выбрано настолько малым, что можно пренебречь погрешностью в равенствах Р (Ь;) —,— /~(х) ~Ь~(, Р (Ь;) =/~(х ~Ь~(, 1=1, ..., У. (16) Из (15) и (18) имеем Ро(Ь,) яв б, Ри(Ь;) яп б/ь(хю)//о(х~). (17) Используя разобранную выше дискретную модель с равновероятными исходами по мере Ро, получаем, что оптимальное множество )Р, строится из областей Ь; с наибольшим отношением правдоподобий /,(х;)//о(х~), х~евЬь Лен ма 1 (Неймана — Пирсона). Для статистической модели (га, Я, (Ро, Р~)) и гипотез Но.
Р= Ро, Н~ . Р=Р, при любом й область ят* (х: /.~(х)/Ео(х) >й) (18) (где /.;(х) — правдоподобие меры Рь !=О, 1) имеет наибольшую люи!ность среди всех областей (Р того же или меньшего размера: (!9) где Ро ( )Р) ~ (Ро ( (Р ) (20) Доказательство проведем для непрерывной модели.
Пусть (см. (5)) ~р(х), ~р"(х) — критические функции (Р н Ф* соответственно. Рассмотрим функцию (юр' (х) -<р(х) ) (/~ (х) — Цо(х) ). (21) 218 Прн х~(Р" оба сомножителя в (2!) неотрицательны: первый— так как ф" (х) =1, а второй — по определению (18). При х И(Р' первый сомножитель в (21) равен — ф(х) и, следовательно, непа. ложнтелен, а ввиду (18) и второй сомножитель неположителен. В таком случае. полагая г(х дх, ... дх„и рассматривая интеграл как л-мерный, получаем 0 ь ) (ф (х) — ф(х)) До (х) — й!о(х)) дх =" = ) ф' (х) ~, (х) г(х — ~ ф (х) ~, (х) Й~— — й Ц ф'(х) ~о(х)дх — ( ф(х) 1о(х)с(х1 = — Р1 ((Р ) -Р«((Р) — й (Ро ("" ) — Ро ("')).
Отсюда ввиду (20) следует (19). ° Л е и м а 2. Если множество У=(х: 1, (х) — к1о(х) =0) имеет меру Лебега нуль, то соотношение (18) определяет единственную с точностью до множества меры Лебега нуль наиболее мощную критическую область заданного размера. Доказательство. Из равенства Р1(йт*) =Р,(!Р) вытекает О=у(ф'() — ф())(),() — М.())д = (ф' (х) — ф (х)) (Г, (х) — Ц, (х)) с(х. аЯт Но при хгнМЭ У и таких, что !1(х) — к!о(х) >О, имеем ф'(х) =1 и, следовательно, ф" (х) — ф(х),»0, а при хонга ч«У и таких, что (, (х) — к(о(х) < О, имеем ф" (х) = 0 и, следовательно, ф' (х)— — ф(х)(0.
Таким образом, при хягв 6У подынтегральная функ- ция (ф*(х) — р(х))() (х) — й)о(х))>О, и, следовательно, на самом деле эта функция равна нулю для почти всех хенов З У по мере Лебега. Но (ь(х) — й)о(х)чьО на Ф чт У, н потому ф" (х) =ф(х) для почти всех хяМО У, а следо- вательно, и для почти всех хонга. ° Критерий (Р', определенный в (18), называют критерием огла- шения правдоподсбш!. Напомним, что в рассматриваемой статис- тической модели статистика С,(х)/Ео(х) порождает минимальное достаточное разбиение (см. подробнее п. 6 $15, п. 3 $ 16), так что статистика критерия %'" является фунцней мпнпмалыюй доста- точной статистики.
3. Примеры. Равномерно наиболее мощные критерии. (1П) В условиях примера (1), обозначая через )(, 1 инди «ц~»о катар множества (х„: х,ц>8), получаем 219 ехр( — г (х; — в,)) !» (.(хе; В!) ! 1 а(хе; Ое) е ехр à — ~ (х — Ее) ) (( ! ! (22) Если О!>Ое, то для х, таких, что Ое<х<ц<6!, отношение правдоподобий (22] равно нулю, а при х<ц>0! оно постоянно и равно е"!е-'!. Положим для любого (Р~Я! (Р=(х: х(цен(Р) (23) Тогда наилучшая критическая область Я7е„ размера а для гипотезы 6=6, против простой альтернативы 9=9!>8е получается с помощью (23) нз одномерной области (Р': У:=)Р.'ОФ;.
У.'с(о,. 6,). У:с(8,, + ), где Й"',=9, если Ре,(К) ~ )а, и в таком случае в качестве К'", берется любое подмножество из (6!. +со) такое. что Ре,(97„) =а; если же Ре,(У„)< я, то )Р",=(6!, +ее), а в качестве )Р; берется любое подмножество интервала (8е, О!), так чтобы Рр,((Р )+ + Р„,(И'„) =а. В частности, критерий (Ре, из примера (1) удовлетворяет всем перечисленным требованиям н, следовательно, является наиболее мощным. Для 9!<Ое отношение правдоподобий (22) равно + ео прн х,: 6,<х<ц<9е и равно е"'"-"' прн хгц>8е Следовательно, оптимальная область получается с помощью (23) нз одномерной области (Ра — (О! Ое) О (Ри, где Ф,„с(Ое, +со) — любое такос, что Ре.(К) =а. Обсудим полученные в атом примере результаты.
Во-первых, наилучшую критическую область против альтернативы О!>8е можно выбрать в виде (Р+,-(х,: х,ц>6е — л-' 1п(1 — а)), а против альтернативы 9!<Ое, принимая во внимание, что Ре,(х„: х!ц <6!) ==О, — в виде (Р-,=(х,: хиГ<8 )О(Р+,. (24) Таким образом, критическая область (Р+, — одна н та же против альтернативы 6!>Ое при любом 8!. То же самое верно и для ЯГ-,. Более того. область 6)'- годится как оптимальная и против любой альтернат!)вы 6!>Ое, так как левое подмножество в объединении (24) имеет меру нуль по Р!ь и Ре„О!>Ов В результате область (24) является наиболее мощной против любой простой альтериативы 8!=.Ф80 Я 0 и р е д е л е и и е. Рассмотрим статистическую модель Ф', и!. (Рв, 8я9)).
Критерий (р'", размера а для проверки гипотезы Нв '. 8=80 против альтернативы Н! . 8еи9!<=9 иазывается равнолнтрнб наиболее мощныл!, если для любого 8~9! и любой другой области Ф',ыЯ размера, ис превосходящего а, выполнено неравенство (25) Р (В'а,) >Р (Яу„), 8ав9,. ° (1У') В условиях примера П имеем в Ь (х„; р) = (2л) ехр !1 — — азы (., — «1' — — (« — р)'), -н/3 / ! Ъ$ -з и 2 Ы 2 ! ! Ь(х„; р,)/Е(х„; р,) =ехр(л(р, — ре)«-!-()и! — р!)). При р!>ив отиошеиие правдоподобий возрастает с ростом «, и позтому иаилучшая критическая об..асть для проверки гипотезы и=!!0 против простой альтериативы р=р!>из имеет вид Я7!' =(хн ! «>Й ).
(26) Из условия л ! %ч а = Р„, (ЯУв ) =- Р!, ~ х„: = ~ «! > й Ув 1 = л ! ! л =Р„, (х„: —,. Т(«! — рз) > — )/йр,+й,)/л '1 =- Уй 4ы ! ! =Р (х„:= !)~«, ) — з/л ре+Ф Уй) ! ! получаем уравнение для определения й;. — )/йрз+йв Уй=«!, (й/(О, !)), откуда Йв =ра+ «!-в (й/(О, 1))/)/й. (27) Таким образом, критическая область (26), (27) равномерно иаиболее мощиая против сложной альтериативы и!>рь Аиалогичио область %' —, (х„: «срв+«(й/(О, 1))фл) является равномерно иаиболее мощной против сложной альтернативы и <1!ь Как видно, в данком случае ие существует области, равномерно иаиболее мощной . против сложной альтернативы 221 )!!~)!в Для проверки гипотезы )!!=р» протнв сложной альтернативы )!!Ф)!» в прнмере (П) была предложена область Ж.= = 67+»!э() В'-»!ь которую можно рассматривать как некоторый компромисс. Как следует из леммы 2, область Ф', строго менее мощная, чем Яг' и В'-„против соответствующих односторонних альтернатив.
(Ч) Рассмотрим повторную выборку нз однопараметрического семейства распределений экспоненциального типа: $!(х) )!(х)ехр(а(6)Т(х)+Ь(6)). Отношение правдоподобий: » !.(х„; О!)!Ь(х„; О») =ехр ((а(0!) — а(6,)) ~)~Т(х)+ я(Ь(6,) — Ь(0,))~ зависит от выборки через достаточную статистику, и прп а(8!)— — а(8»)>0 нанболее мощная критическая область для гипотезы 6=8» против простой альтернатнвы 6=0!>6» имеет внд » 87» = (хн: ~~ Т (х!) ) Й»~ . (28) Ю-! Если функция а(6) монотонна по 6 на некотором подмножестве 6'«:-!Э, включа!ошеэ! точку 8», то область У является равномерно наиболее мошной против сложной гипотезы 0>0,, Оя8'. Вслучае, если разность а(6)-а(8,) меняет знак при прохождении точки О», равномерно наиболее мощная критическая область против гипотезы 6! -.О„будет иметь внд л Я7» =)х„: 1' Т(х!) ~! ~, ! 1 н, следовательно, не существует равномерно наиболее мощного критерия против двусторонней альтернативы ОФО».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
