Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В любом случае оно не очень велико. Поэтому обычным является приближение Бусвинеска, применимое к случаям, когда разности плотностей невелики. Существует число плавучести В= — г, (2.12.1) которое связано с конвекцией, обусловленной аномалией плотности Ар. В большинстве случаев В«1.
Ускорения, сообщаемые телам силами плавучести, согласно закону Архимеда равны дВ и, следовательно, малы по сравнению с д. Приближение Буссинеска состоит в пренебрежении аномалиями плотности, за исключением случаев, когда они комбинируются с и. Это равносильно пренебрежению 1 по сравнению с д в уравне-, нии завихренности (1.4.1) на том основании, что 1 имеет порядок дВ; однако этого нельзя делать в уравнении (1.4.4), являющемся уравнением для 1. ГЛАВА» 86 В устойчиво стратифицированной жидкости плавучесть проявляется через безразмерную величину рлж — — цгабрж — й — ~ а ьр (2.12.2) г Га« где Ь вЂ” характерная высота.
Таково значение В, если р понимается как величина разности плотностей. Число Фруда можно представить по-разному, например, как Р = — или — „» ° ЗА» кВА Д2 (2.!2.3) В тех случаях, когда существенна завихренность, большое значение имеет число Ричардсона. Оно отличается от других безразмерных величин тем, что обычно меняется в пределах поля течения и имеет лишь локальное значение, так как представляет собой отношение градиентов. Таким образом, число Ричардсона (2,12.4) является отношением стабилизирующего эффекта плотностной стратификации к дестабилизирующему эффекту градиентов скорости.
В гл. б мы увидим, что не существует простых критериев устойчивости, основанных на локальных значениях какой-либо безразмерной величины, и здесь уместно вспомнить, что в форме выражений (2.12.3) число Р содержит градиент р и, следовательно, также является локальной характеристикой. Поэтому многие решения задач с градиентами скорости и плотности являются частными и не обладают общностью, так как Р и К1 меняются в пределах поля течения в очень широких пределах. Однако в тех случаях, когда существенно число Рейнольдса Ке, заранее ясно, что характер поля течения определяется вязкостью. Таким образом, завихренность и плотностную стратификацию надо изучать, имея в виду вопрос: «Какие явления существенны в данном течении?», а не вопрос: «Каковы его безразмерные параметры?», так как последних слишком много.
Глава 3 ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ (3.1.1) Так как 1.1=1, то, дифференцируя это равенство по з, получим 1 — =О, дз (3,1.2) 3.1. Определения Основное движение в течении жидкости, называемое осредкечным,— это движение, которое переносит жидкость. В установившемся течении перемещение частиц происходит вдоль линий тока. На первый взгляд может показаться, что все движение и заключается в этом процессе; однако существуют перемещения частиц жидкости в плоскостях, перпендикулярных линиям тока, в частности вращательное движение вокруг линий тока. Это движение назывзется вторичным течением, и мерой его служит направленная по потоку компонента вектора завихренности, которая называется вторичной завихренностью.
Энергия потока весьма расточительно расходуется в завихренности на бесполезные и хаотические движения частиц или другие эффекты, ведущие к перемешиванию жидкости. Мы здесь рассмотрим механизмы образования таких побочных движений. Эти механизмы особенно интересны, поскольку вектор завихренности, возникающей у стенок вследствие вязкости, перпендикулярен направлению течения у стенки. Такое явление наблюдается в трубах и реках и в двугранных углах, образуемых стыками стенок и дна каналов. Во всех этих случаях оно связано с наличием направленной перпендикулярно потоку компоненты вектора завихренности и возникает обычно при искривлении осредненного течения.
Обозначим через з расстояние, отсчитываемое вдоль траектории жидкой частицы, ее скорость — через д, кривизну траектории — через м, величину касательной составляющей ускорения 1 — через а, а коэффициент кручения траектории — через т. Далее введем подвижную систему натуральных координат, как это принято в дифференциальной геометрии. Единичный вектор, направленный вдоль касательной к траектории частицы (орт касательной), обозначим через 1.
По определению. 1= ч(д. вв ГЛАВА 5 д1 — = хп. дх (3.1.3) Очевидно, что в случае кругового движения величина и-' представляет собой радиус окружности, поэтому во всех случаях величину и†' называют радиусом кривизны. Абсолютная величина кривизны и равна х= — и— (3.1,4) Так как 1п=О, то, дифференцируя, получим дт да и — = — 1 — = х.
д5 д5 (3.1.5) Бинормаль определяется выражением для единичного вектора Ь=1)5,' п (3.1 .6) н вместе с п определяет так называемую нормальную плоскость. Векторы 1, п и Ь образуют правую подвижную прямоугольную систему координат (натуральные координаты), рис. 3.1.1. При движении вдоль траектории касательная 1 поворачивается со скоростью х в направлении и. В то же время и и Ь поворачиваются вокруг 1 со скоростью х, которая определяет кручение траектории.
Таким образом, т есть скорость, с которой соприкасающаяся плоскость вращается вокруг 1 во время движения точки вдоль траектории. Очевидно, что для плоской кривой т=О. Когда 1 поворачивается в направлении п, и в свою очередь поворачивается в направлении — 1 со скоростью х, одновре- Это означает, что изменение касательной 1 всегда происходит в направлении, перпендикулярном самому вектору 1, поскольку этот вектор имеет по определению постоянную абсолютную величину, равную 1. Векторы 1 и д1~дз определяют плоскость, называемую соприкасающейся, так как она примыкает к пространственной кривой в данной точке. Соприкасающаяся плоскость определяется как предельное положение плоскости, проведенной либо через три последовательные точки траектории при сближении двух крайних к средней (заданной) точке, либо через две соседние касательные к траектории при сближении точек касания вдоль траектории (касательная определяется как предельное положение секущей при сближении вдоль траектории точек, через которые проведена секущая).
Единичный вектор, проведенный в направлении д1/дз, обозначается через и и называется главной нормалью. Кривизна и задается выражением 89 ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕИИОСТЬ менно вращаясь по направлению к Ь со скоростью т. Вектор Ь поворачивается в направлении — и со скоростью т и для плоской траектории (к=О) находится в фиксированном положении по нормали к плоскости кривой. Как известно, ускорение частицы лежит в соприкасающейся плоскости и может быть разложено на составляющие в направлениях 1 и и. Теперь построим математический вывод этих рассуждений. Так как нормаль и — единичный вектор, то у дп/дз нет составляющей вдоль и и дп — = — и1+ еЬ.
да (3.1,7) Коэффициент при касательной 1 должен быть равен и, чтобы равенство (3.1.7), при скалярном умножении на 1, совпало Рнс. 3 Ь!. Орты касательной, нормали и бинормали к траектории частицы. = (1 1) 1+ (1 ° и) и = = у (1 цгаб) а1 = по (3.1.1) = = да (1 цгаб) 1+ д1(1 цгаб д) = =зуав+а1, (3.1.1О» (3.1,11) (3.1.12) с (3.1.5), так что (3.1.7) можно принять за определение г. Так как 1 Ь=О, то 1. (дЬ/дз)= — Ь. (д1/дз)=О по (3.1.3), так что дЬ/дз имеет единственную ненулевую компоненту в направлении и, равную т. Это можно показать, продифференцировав выражение Ь.п=О с использованием (3,1.3). Таким образом, дЬ/дз = — сп.
(3,1.8 Равенства (3.1.3), (3.1.7) и (3.1.8) называются формулами Френе. Так как ускорение действует в плоскости 1 и п, то в установившемся течении по (1.2.6) имеем: 1= — „= (ч ° афтаб) ч = цгаб '/ да — ч»( ео = (3.1.9» ГЛАВА 3 выражение (3.1.14) п= яд' описывает центробежную силу, действующую на массу, из определения бинормали следует 1 ° »=О, 1 1=(1 н)(и 1)= 7'», м 1 га пгаб '7я7' по (3.1.9) = =в - пгаб('/,ч ч) = = ч (г» ° пгаб) ч, единичную (3.1.15) (3.1.16) (3.1.17) Вторичная завихренность равна 1 м =ы 1= — га ч А ч (3.1.18) и представляет собой половину ротации вокруг касательной 1.
Прн изучении вторичной завихренности часто более удобной характеристикой является величина угла поворота, отнесенная к единице расстояния вдоль траектории. Это особенно удобно, если соотнести такой угол поворота с какой-нибудь длиной, связанной либо с геометрией трубы илн канала, вызывающей искривление потока, либо с положением определенного препятствия. В этом случае подходящей числовой характеристикой будет отношение гз,~д.
3.2. Уравнение вторичной завихренности Хотя это несколько ограничивает общность рассуждений, в дальнейшем мы будем рассматривать только установившееся течение. Следует отметить, что определение вторичного течения теряет свои строгие рамки для неустаиовившегося потока, а трехмерное течение уже само по себе является достаточно сложным объектом. Мы покажем, что неустойчивость можно изучать и на примере стационарного течения, так как если будет установлено, что малые возмущения возрастают вниз по течению, то это эквивалентно распространению возмущений.
Тот факт, что возмущение не распространяется вверх по течению, для нас просто означает помещение начала координат поскольку 1 йгаб=д/дз, а а=ч йтаб д — тангенциальное ускорение. Таким образом, 1 1=1. 3габ '/зд'=а, (3.1.13) ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ в точке, где возникает такое возмущение, так как основное внимание мы направим на то, чтобы выяснить, как возмущение способствует превращению стационарного течения в турбулентное.
Рассмотрим уравнение завихренности в форме (ч афтаб) в — е б1ч ч + (е ° Кгаб) ч + й Х (и — 1) — о Ч хе, (3.2.1) Затем, используя результаты предыдущего раздела, получим (ч игаб) — = в [ — (ч ° агасси) 1+ 1(ч ° ятаб — )1 + + — (ч ° агап)в= в[хи — —,1(ч кгап 2 д')1+ Ф 1 1 ч чз + — 1 — в Ъч ч+ (е ° Кгаб) ч + й Х(К вЂ” т)+ч7хе1 = Ф =в [хп — — 1(1 ° 1) 1 — — б1ч ч+ — в1+ — [й Х (й — 1)+ 1 1 ет 1 чз Ф чх ! (3.1.10) +оп е) =в [хп+ — п (1 п)) — — б(ч ч— г 1 1 ет ч' Ф 1 (3.1.14) ч — й(Х1+ — йха 1+ — ч' = ч ч ! =2хвп+хайЬ+ — йХ д 1 — — б1чч+о — архе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
