Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1 вт 1 ч (3,2.2) В этом уравнении член с б(чч в правой части имеет тот же физический смысл, что н в первоначальном уравнении завихренности, и не играет особой роли. Точно так же не приобретает нового смысле член, описывающий влияние вязкости. В дальнейшем мы не будем останавливаться на рассмотрении этих двух членов, а сосредоточим внимание на влиянии кривизны траектории и силы тяжести. Для этой цели весьма удобно уравнение движения яевязкой несжимаемой жидкости, взятое в форме ч игад — '=2хвп+ хайЬ+ — йХи 1 (32.3) ч ч ГЛАВА 3 С учетом ЬХ1=1Х Ь= — (чХ )Ь= 1 ч 1 = — (пгад '/здг — 1) Ь = — пгаг) г!зд'Ь ч ч (3.2.4) получаем 2хмп + гчуйь = к~у ~ —, р пгас) г/здг+ —, г/злу' пгаб р~ Ь = ч'г ч'г = хй угад 1п ('/зри') Ь.
Если мы временно пренебрежем гравитационным членом (что оправдано при (~д и соответствует, например, течению в искривленной трубе), то (3.22) преобразуется в ч пгад — '= хд пгаг) 1. ° Ь, Ч (3.2.5) где (3.2.6) В случае когда градиенты плотности отсутствуют, можно воспользоваться соотношением (32,4), чтобы выразить в (3.2.3) член гв и. Вообще говоря, нетрудно установить, что градиенты р и гг оказывают похожее влияние на образование вторичной завихренности в случае криволинейного течения. Если жидкость горизонтально стратифицирована, то член с и должен исчезнуть еще выше по течению, так что возможность применения (3.2.5) не ограничивается случаем (~д.
Рассматривая силы, действующие на жидкость, мы видим, что силы инерции представлены членом пгад 1.. Возвращаясь к (3.2.3), отметим, что член 2яеп образовался из двух различных членов уравнения завихренности. Первая часть определяется членом (ч йтап)1. Она отражает тот факт, что при изменении направления касательной 1 вдоль траектории частицы вектор завихренности, который был первоначально направлен по главной нормали, приобретает составляющую, направленную вдоль касательной, и, таким образом, возникает вторичная завихренность.
Вторая часть получается из члена (аг пгаг()ч, который описывает перенос (адвекцию) вихревых линий вместе с жидкостью (рис. 3.2.1). На вогнутой стороне траектории скорость больше, чем на выпуклой, так что материальный отрезок АВ, первоначально перпендикулярный касательной 1, переходит в положение А'В' и перестает быть нормальным к линиям тока. Таким образом, вектор завихренности 93 ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ йй приобретает составляющую вдоль 1, если первоначально он имел составляющую по направлению и. Ускорение жидкости во внутренней (вогнутой) стороне потока является свойством безвихревого течения.
Возникновение этого ускорения можно объяснить следующим образом: чтобы плавно обогнуть препятствие, частицы жидкости должны испытывать давление в направлении центра кривизны. Таким образом, градиент давления направлен по главной нормали, и частицы жидкости, находящиеся ближе к центру кривизны, Рнс. 3.23. Завнхренность, на- правленная по потоку. Соаааетсн иа вихревых линий, направленных поперек потока, в реаультате изменения направления потака и соатветствующего поворота вихревых линий в противопо- ложном иаправленмн. смещаются в сторону меньшего давления и испытывают большее ускорение, чем те, которые находятся в процессе движения на большем от центра расстоянии.
Это же явление можно рассмотреть и другим образом, а именно с точки зрения свойства безвихревого течения: так как в плоскости изгиба течения завихренность отсутствует, относительные повороты двух жидких материальных отрезков, расположенных под прямым углом, будут равными и противоположными по знаку.
Таким образом, материальный отрезок, состоящий из определенных частиц жидкости и первоначально ориентированный вдоль касательной, должен поворачиваться в направлении, противоположном повороту аналогичного материального отрезка, первоначально ориентированного вдоль нормали, при движении их общей начальной точки вдоль криволинейной траектории. Следовательно, вектор завихренности, который до поворота также был ориентирован вдоль главной нормали и поэтому не порождал какой- либо завихренности в плоскости течения (т. е. течение можно было считать безвихревым), теперь повернется относительно нового положения касательной на угол, равный удвоенному углу поворота течения. Отсюда видно, почему обе части, составляющие член 2ноал, о котором говорилось выше, равны. Эффект вторичной завихренности можно проследить на при- мере поворота горизонтального течения в горизонтальной ГЛАВА а плоскости.
Вектор и направлен вниз, в направлении бинормали Ь, которая в первом приближении не меняет своей вертикальной ориентации, хотя вращение, обусловленное вторичной завихренностью, может вывести линии тока из первоначальной плоскости. На рис. 3.2.2 показан случай разворачивающегося течения, первоначально обладающего скоростью, возрастающей в вертикальном направлении, и вектором завихренности, ориентированным в направлении — п.
Поверхности Бернулли, содержащие вихревые линни и линии тока, ,сначала находятся В В Рнс. 3 2.2. Эффект вторичной завнхренностн разворачиваю- нгегося течения. Вектор вериуллк, который движатсл вместе с частиией жидкости. поворачкваетса вокруг линни тока иа угол Ч. когда течейие поворачи. ваетск иа угол В, ив-аа наличка направленной ио йотоку компоиеиты вектора «евихреииостк ы. в плоскости течения. Вектор Бернулли В, определяемый как вектор, нормальный к поверхности Бернулли в данной точке траектории, задается выражением В=1Х .
(3.2.7) Поворот течения на угол 0 приводит к тому, что вектор В поворачивается вокруг 1 на угол ф, а вектор йу соответствующим образом поворачивается относительно 1 и и иа угол ф. Таким образом, слои жидкости, обладающие большими скоростями, смещаются к внешней стороне поворачивающегося потока. Опыты Готорна, кратко рассмотренные ниже, обнаруживают эффект поворота вектора В при течении в изогнутой трубе вследствие появления вторичной завихренности. Отметим, что на середине широкой н медленной реки даже при ее повороте течение остается горизонтальным, а вектор  — вертикальным, так что эффект вторичной завихренности проявляется лишь втогичнля завихгенность 3.3.
Формула Сквайра Уравнение вторичной завихренности для стационарного течения невязкой жидкости с однородной плотностью имеет следующий простой вид: — — = 2хвл, Н м~ Н (3.3.1) или д вх и — — = 2хм, дх Ч (3.3.2) где индексы з и л относятся к составляющим вдоль линии тока и по нормали соответственно. Для малого изменения направ- ления потока МО, так как НО=хна, имеем Ф вЂ” ' = 2 —" х ~(з = 2 —" Ы0. Ч Ч Я Приближенно (а иногда и точно) скорость может оставаться постоянной, когда линии тока поворачиваются на угол НО.
Поэтому другой вариант этой формулы, предложенный Сквайром и Винтером, имеет вид Ых,= 2х„ИО. (3.3.3) Эта зависимость описывает появление у вектора завихренности, первоначально ориентированного по нормали, составляющей, в смещении быстротекущих поверхностных слоев жидкости к внешнему берегу н появлении вертикальных течений у берегов реки. Физический смысл члена ндК Ь теперь очевиден.
Он отражает влияние члена, содержащего градиент плотности* в правой части выражения (3.2.5), и описывает перепл наиболеее плотной жидкости к внешней стороне изгиба. Составляющая градиента плотности в направлении бинормали Ь порождает вторичное течение таким же образом, как и вектор завихренности, ориентированный в направлении нормали и (который является градиентом скорости в направлении Ь). Влияние гравитации проявляется в дополнении предыдущего эффекта тенденцией к перемещению наиболее плотных слоев жидкости в придонную часть течения. В нашем случае этот эффект описывается членом (1/д)КХ1дЬ (вектор д параллелен бинормали Ь), который равен — (д/д)Кп и характеризует тенденцию поверхностей равной плотности поворачиваться до тех пор, пока они не включат в себя вектор нормали и, ориентированный горизонтально в данном примере.
ГЛАВА а ориентированной вдоль линий тока. Смысл коэффициента 2 был разъяснен в предыдущем разделе. Сквайр, в частности, рассматривал поведение пограничного слоя при течении воздуха сквозь аэродинамическую решетку на угловых участках аэродинамической трубы замкнутого типа. На рис. З.З.! показана схема течения, поворачивающегося в го- Рнс. З.ЗЛ. Вектор завнкренноств попранвчного слоя в аэродвнамнческой трубе (направлен поперек потока). Преодолевая изгиб грубы оквозь аэродинамическую решетку, материальиыа отрезок разбивается на отдельные элементм, образуя диагональную линию. В камдов свинин решетка образуется вгорвчиое течение. Смещения, создаваемые этими вторнчнммн течениями, мали во сравнению с теин, которые имели бы место, если бы ие было решетки.
Рнс 3.3,2. Вторичные теченнн внутри решетки у внутренней стенки тракта прн его 90'-нем, изгибе. Основное течение ивнревлеио иервеидикулирио нлосюшти рисунка от чит»- тели. ризонтальной плоскости на 90' в колене трубы, снабженном системой профилей. При этом течение разделяется на несколько тонких параллельных потоков, вследствие чего удается избежать появления больших градиентов скорости, так как поворот каждого потока происходит на небольшом участке.
Материальный отрезок, выделенный в потоке перед поворотом и ориентированный поперек течения, после прохождения через решетку оказывается разделенным на несколько элементов, каждый из которых поворачивается независимо. После поворота эти элементы вновь образуют практически непрерывный поток, турбулентность которого имеет весьма малый масштаб порядка толшины элементарного профиля решетки. Однако на верхней и нижней стенках тракта существует пограничный слой с завихрениями, ориентированными поперек 97 ВТОРнчнля злвихРвнность 3.4. Течение в речных излучинах Течение реки тормозится за счет трения о ложе, а также за счет сопротивления, создаваемого отдельными препятствиями Вид влил пп лпелтлсю Рис.
3.43Ь Вторичное течение в излучине реки ирн ее повороте вправо. Рнс. 3.43. Профиль ско- ростей в реке. и всякого рода неровностями. Заметное торможение обусловлено также сопротивлением различных твердых частиц, увлекаемых течением, сталкивающихся друг с другом и оседающих на'дно. Так как обычно ширина рек много больше их глубины, можно считать, что у дна жидкость движется медленно, тогда как основная масса воды над нею движется быстрее (рис. 3.4.1). После поворота течения вектор завихренности, который был первоначально направлен поперек потока, повернется относительно касательной, и при этом образуется компонента ез,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
