К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Åñëèïðè q = q (0) U (q) èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì, òî ïðè ìàëîì îòêëîíåíèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû îò q = q (0) , q̇ = 0 îíà áóäåò ñòðåìèòüñÿ âåðíóòüñÿ îáðàòíî. Äðóãèìè ñëîâàìè,ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè ðàçíîñòè E − U (q (0) ) äâèæåíèå â îêðåñòíîñòè q (0) áóäåòôèíèòíûì. Òàêîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íàçûâàþò óñòîé÷èâûì.Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé (100) ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ êîìïëåêñíûõ ôóíêöèé ηα (t) :sX(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) = 0 ,(101)α = 1, ..., s.β=1Ñèñòåìû óðàâíåíèé (100) è (101) ýêâèâàëåíòíû. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîå ðåøåíèå (100)ÿâëÿåòñÿ òàêæå ðåøåíèåì (101). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû mαβ , kαβïî îïðåäåëåíèþ âåùåñòâåííû, òî áåðÿ âåùåñòâåííóþ ëèáî ìíèìóþ ÷àñòè óðàâíåíèé(101), ïîëó÷èìs µX¶d2Re(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =mαβ 2 Re ηβ + kαβ Re ηβ = 0 ,dtβ=1β=1¶ss µXXd2Im(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =mαβ 2 Im ηβ + kαβ Im ηβ = 0 ,dtβ=1β=1sXα = 1, ..., s,α = 1, ..., s.Òàêèì îáðàçîì, âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû Re η è Im η ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû(100).
Èòàê, ëþáîå ðåøåíèå ξ(t) ñèñòåìû (100) ïðåäñòàâèìî â âèäåξα (t) = Re ηα (t) ,α = 1, ..., s,ãäå η(t) ðåøåíèå ñèñòåìû (101).Áóäåì èñêàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (101) â âèäåηα (t) = Aα eiωt ,α = 1, ..., s,(102)ñ ïîñòîÿííûìè êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè Aα è ÷àñòîòîé ω. Ñîîòâåòñòâóþùèé íàáîðξα (t), α = 1, ..., s îïèñûâàåò íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñèñòåìû ñ ÷àñòîòîé ω. Ïîäñòàâëÿÿâûðàæåíèÿ (102) â (100), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèésX¡¢−mαβ ω 2 + kαβ Aβ = 0 ,α = 1, ..., s.(103)β=1Óñëîâèåì ñîâìåñòíîñòè ýòîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå â íóëü îïðåäåëèòåëÿ, ñîñòàâëåííîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè Aβ :det(−mαβ ω 2 + kαβ ) = 0 .(104)Óðàâíåíèå (104) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Îíî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà s îòíîñèòåëüíî ω 2 , è ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû èìååò sêîðíåé ωk2 , k = 1, ..., s.
ωk íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ñèñòåìû. Íåêîòîðûå èç38êîðíåé ωk2 ìîãóò îêàçàòüñÿ êðàòíûìè.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû íàçûâàþò âûðîæäåííûìè. Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïîî÷åðåäíî â(k)ñèñòåìó (103), íàéäåì s ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ Aα , k = 1, ..., s. Îáùåå ðåøåíèåóðàâíåíèé (100) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé âñåõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé:( s)Xiωk tξα (t) = ReA(k), α = 1, ..., s .(105)α ek=1Íåâûðîæäåííûé ñëó÷àéÊàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, â ñëó÷àå êîãäà âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íû, ñèñòåìà (103) èìååò äëÿ êàæäîãî ωk ðîâíî îäíî ëèíåéíî(k)íåçàâèñèìîå ðåøåíèå Aα .
Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòü çàêîí äâèæåíèÿ â ÿâíî âåùåñòâåí(k)(k)íîì âèäå, îïðåäåëèì âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû Cα è φα ñîãëàñíî(k)(k)A(k)α = Cα exp{iφα } ,φ(k)α ∈ [0, π) .(106)Ýòà çàïèñü àíàëîãè÷íà ïðåäñòàâëåíèþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ÷åðåç åãî ìîäóëü è ôàçó, çà(k)èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âåëè÷èíà Cα ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé,(k)òàê è îòðèöàòåëüíîé, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåì, ÷òî ôàçà φα ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ(k)òîëüêî èç ïîëóîòêðûòîãî îòðåçêà [0, π).  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ âñå ôàçû φαñ äàííûì k ðàâíû:(k)φ(k), α = 1, .., s.α = φÄåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, ñèñòåìà (103) èìåëà áû äëÿ äàííîãî k äâà ðàç(k)(k)(k)(k)(k)(k)ëè÷íûõ ðåøåíèÿ Re Aα = Cα cos φα è Im Aα = Cα sin φα . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå(106) â óðàâíåíèå (105), ïåðåïèñûâàåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â âèäåξα (t) =sXCα(k) cos(ωk t + φ(k) ) ,α = 1, ..., s .(107)k=1(k)Çàìåòèì, ÷òî â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû Cα ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåçýëåìåíòû ìàòðèöû (−mαβ ωk2 + kαβ ) ÿâíî:Cα(k) = C (k) Mα(k),kαα = 1, ..., s,(108)(k)ãäå C (k) ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à Mαk α ìèíîðû ýëåìåíòîâ αk -îéñòðîêè ìàòðèöû (−mαβ ωk2 + kαβ ).
Íîìåð ñòðîêè αk ìîæåò áûòü ëþáûì, ëèøü áû ýòàñòðîêà ñîäåðæàëà õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ìèíîðîì (òàêîé ýëåìåíòñóùåñòâóåò â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î íåâûðîæäåííîñòè ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò). Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèäξα (t) =sXC (k) Mα(k)cos(ωk t + φ(k) ) ,kαα = 1, ..., s .(109)k=1Ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò 2s ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ C (k) , φ(k) , k = 1, ..., s, îïðåäåëÿåìûõ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.39Âûðîæäåííûé ñëó÷àé ñëó÷àå íàëè÷èÿ êðàòíûõ ÷àñòîò ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (103), ñîîòâåòñòâóþùèå íåâûðîæäåííûì ÷àñòîòàì, ïî-ïðåæíåìó èìåþò âèä (108), òîãäà êàê äëÿ âûðîæäåííûõ ÷àñòîò ÷èñëî ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå (103) ðàâíî s − r, ãäå r > 1 êðàòíîñòü äàííîãî êîðíÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, è ïîòîìó âñå ìèíîðû s − 1ãî ïîðÿäêà Mαβ = 0, òàê ÷òî ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå (108).
Ñîâïàäåíèåíåêîòîðûõ ÷àñòîò îçíà÷àåò íàëè÷èå ïðîèçâîëà â âûáîðå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé ñèñòåìû (103). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ êàêèõ-ëèáî äâóõ ðåøå(1)(2)íèé Aα , Aα ñèñòåìû (103) ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòû ω12 = ω22 , òî è ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ(1)(2)êîìáèíàöèÿ c1 Aα + c2 Aα ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (103) ñ òîé æå ÷àñòîòîé. Êîíêðåòíûé âûáîð ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé â âûðîæäåííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿñîîáðàæåíèÿìè óäîáñòâà, â îñòàëüíîì æå àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è òîò æå, ÷òî è âíåâûðîæäåííîì ñëó÷àå.
 ÷àñòíîñòè, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èìååò âèä(k)(107), ãäå âåùåñòâåííûå àìïëèòóäû Cα óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèésX¡¢ (k)−mαβ ωk2 + kαβ Cβ = 0 ,(110)α = 1, ..., s.β=1Äëÿ óÿñíåíèÿ ïðèðîäû âûðîæäåíèÿ óêàæåì, ÷òî åãî ïîÿâëåíèå ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåìòîé èëè èíîé íåïðåðûâíîé ñèììåòðèè â ñèñòåìå. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, äâóìåðíûéîñöèëëÿòîð, îïèñûâàåìûé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà22m1 ξ˙1m2 ξ˙2k1 ξ12 k2 ξ22L=+−−.2222(111)Ýòà ñèñòåìà âûðîæäåíà, åñëè ω12 = k1 /m1 = k2 /m2 = ω22 . Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõµ¶µ r¶rm2 0m1 000ξ1 = ξ1 cos γ +ξ sin γ , ξ2 = −ξ sin γ + ξ2 cos γ ,(112)m1 2m2 1ãäå γ ïðîèçâîëüíî, íå ìåíÿåò âèäà ôóíêöèè Ëàãðàíæà:22m1 ξ˙10m2 ξ˙20k1 ξ102 k2 ξ202L=+−−.2222(113)Ïîýòîìó åñëè ïàðà ôóíêöèé ξ10 (t), ξ20 (t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òîðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ è èõ êîìáèíàöèÿ (112). Ñèñòåìà (110) èìååò â ðàññìàòðèâàåìîìñëó÷àå âèä(k)(−m1 ωk2 + k1 )C1 = 0 ,(k)(−m2 ωk2 + k2 )C2 = 0 .(114)(k)Ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè (112) îïðåäåëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå àìïëèòóä Cα :¶µ r¶µrm2 0m1 000C sin γ , C2 = −C sin γ + C2 cos γ .C1 = C1 cos γ +m1 2m2 140(115)Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåâîäèò ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (114)äðóã â äðóãà.
Íàïðèìåð, ðåøåíèåÃ!µ ¶(1)C1(1) 1=C(1)0C2ïåðåõîäèò âî âòîðîå ëèíåéíî-íåçàâèñèìîå ðåøåíèåÃ!µ ¶(2)C1(2) 0=C(2)1C2ïðè γ = π/2.2. Êîëåáàíèÿ ìîëåêóë ñèëó ìàëîñòè ìàññû ýëåêòðîíà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé ïðîòîíà ñêîðîñòè ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿò ÿäåðíûå ñêîðîñòè.
Äåéñòâèòåëüíî, êàê ñëåäóåòèç ôîðìóëû (64), â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ äâóõ ÷àñòèö (Ṙ = 0) îòíîøåíèå èõ ñêîðîñòåé|ṙ1 |m2=.|ṙ2 |m1Îöåíèâàÿ ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëû çàäà÷è äâóõ òåë ïîðÿäîê îòíîøåíèÿ ñêîðîñòåéýëåêòðîíîâ è ÿäåð â ñëîæíûõ àòîìàõ, ìû âèäèì, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ≈ 103 . Ýòîò ôàêòèìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ ìîëåêóë. Îí îçíà÷àåò, ÷òî ïðèâîçìóùåíèè ìîëåêóë èçìåíåíèå ýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèè ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíîáûñòðåå, ÷åì ÿäåðíîé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êàæäûé äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíîâ òàêîâî, êàêèì îíî áûëî áû åñëè áû ÿäðà ïîêîèëèñü.
Ïîýòîìó ñóììàðíûå êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âñåõ ýëåêòðîíîâ â ìîëåêóëå ÿâëÿþòñÿôóíêöèÿìè ëèøü ðàäèóñ-âåêòîðîâ ÿäåð ri , i = 1, ..., N, íî íå èõ ñêîðîñòåé, óñêîðåíèéè ò.ä.:Ee = Te + Uee + Uen = Ee (r) ,ãäå Uee è Uen îáîçíà÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî, ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿýëåêòðîíîâ äðóã ñ äðóãîì è ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ÿäðàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëûE = Tn (ṙ) + Unn (r) + Ee (r) ,ãäå Tn åñòü ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿäåð, à Unn ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èõâçàèìîäåéñòâèÿ äðóã ñ äðóãîì.
Ìû âèäèì, ÷òî ñóììó Unn (r) + Ee (r) ≡ U (r) ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê ýôôåêòèâíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÿäåð. Îíàíàçûâàåòñÿ ýëåêòðîííûì òåðìîì ìîëåêóëû. Òàêèì îáðàçîì, â ïðèáëèæåíèè, â êîòîðîì ìàññîé ýëåêòðîíà ïðåíåáðåãàåòñÿ âîâñå, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ÿäåð ìîëåêóëû èìååòâèäL(r, ṙ) =NXmi ṙ 2ii=1412− U (r) .(116)Ïóñòü ri0 , i = 1, ..., N îáîçíà÷àþò ðàäèóñ-âåêòîðû ÿäåð â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Âýòîì ïîëîæåíèè U (r) èìååò íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå. Ýòî, îäíàêî, íå îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå r 0 U (r) èìååò ìèíèìóì. Äåëî â òîì, ÷òî ëþáîé ïåðåíîñ èëè ïîâîðîòìîëåêóëû êàê öåëîãî íå ìåíÿåò âåëè÷èíû U (r).
Ïîýòîìó äëÿ òîãî ÷òîáû èññëåäîâàòüñîáñòâåííî êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû, íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî èñêëþ÷èòüåå ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñïåðâà ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû êàê öåëîãî. Èíòåãðèðóÿ ïîâðåìåíè çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñàNNX∂L XP ==mi ṙi = P0 ,∂ ṙii=1i=1íàõîäèìNXmi ri = P0 t + R0 .i=1Çäåñü P0 , R0 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå âåêòîðû.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ ìîëåêóëûN1XR=m i ri ,µ i=1ãäåµ=NXmii=1åñòü ñóììàðíàÿ ìàññà ÿäåð ìîëåêóëû, äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ P0 /µ. Òàêèìîáðàçîì, óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû òðåáóåò ðàâåíñòâàíóëþ åå èìïóëüñà: P0 = 0. Äàëåå, ðàñïîëîæèì öåíòð ìàññ êîëåáëþùåéñÿ ìîëåêóëûâ òîé æå òî÷êå, â êîòîðîé îí íàõîäèëñÿ äî âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, ò.å. êîãäà ÿäðàçàíèìàëè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ýòî äàåòNN1X1Xmi ri =mi ri0 ,µ i=1µ i=1èëèNXm i ui = 0 ,(117)i=1ãäå ui = ri − ri0 , i = 1, ..., N .Ðàññìîòðèì òåïåðü âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû.  îòëè÷èå îò çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñàM=NX[ri , pi ] =NXmi [ri , ṙi ] = M0i=1i=1íå ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàí â îáùåì ñëó÷àå, ò.ê. âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè êàêîé-ëèáî ôóíêöèè êîîðäèíàò. Îíî ÿâëÿåòñÿ42òàêîâîé, îäíàêî, â ñëó÷àå ìàëûõ êîëåáàíèé.  ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíû ui , îïðåäåëÿþùèå îòêëîíåíèÿ ÿäåð îò èõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, îñòàþòñÿ âñå âðåìÿ ìàëûìè âîòñóòñòâèå âðàùåíèÿ ìîëåêóëû êàê öåëîãî.
Ïåðåïèñûâàÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòàèìïóëüñà ÷åðåç ui è ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èìNXNmi [ri0 , u̇i ]i=1d X=mi [ri0 , ui ] = M0 ,dt i=1îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîNXmi [ri0 , ui ] = M0 t + N0 ,(118)i=1ãäå N0 åñòü íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåêòîð. Ïîñêîëüêó îòêëîíåíèÿ ui îñòàþòñÿ âñå âðåìÿ ìàëûìè, òî ëèíåéíûé ïî âðåìåíè ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ äîëæåíîòñóòñòâîâàòü.
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå îòñóòñòâèÿ âðàùåíèÿ ìîëåêóëû êàê öåëîãî òðåáóåò îáðàùåíèÿ â íóëü åå ìîìåíòà èìïóëüñà: M0 = 0. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî è âåêòîðN0 òàêæå ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ. Êàê ìû çíàåì, ïðîèçâîëüíîå ìàëîå êîëåáàíèå ëþáîé ñèñòåìû, â òîì ÷èñëå è ìîëåêóëû, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íîðìàëüíûõêîëåáàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó ÷ëåíó ñóììû â ðåøåíèè (107).Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ωk :ξα (t) = Cα(k) cos(ωk t + φ(k) ) ,α = 1, ..., s.Âèäíî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíèφ(k)π+ωk2ωkâñå ÷àñòèöû ñèñòåìû ïðîõîäÿò ÷åðåç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ò.ê.(k)t0 = −(k)ξα (t0 ) = 0 ,α = 1, ..., s.(k)Ïóñòü íàáîð ôóíêöèé ui (t), i = 1, ..., N îïèñûâàåò k -å íîðìàëüíîå êîëåáàíèå ìîëåêóëû. Ïðè ýòîì ôîðìóëà (118) èìååò âèäNX(k)(k)mi [ri0 , ui ] = N0 ,(119)k = 1, ..., s.i=1(k)(k)(k)Ïîñêîëüêó ui (t0 ) = 0, i = 1, ..., N, òî èç ýòèõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî N01, ..., s. Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ (119), ïîëó÷àåìNXmi [ri0 , ui ] = 0 ,= 0, k =(120)i=1ãäå ui =sPk=1(k)ui , i = 1, ..., N îïèñûâàåò óæå ïðîèçâîëüíîå êîëåáàíèå ìîëåêóëû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
