К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Çàìå(k)òèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ôóíêöèé ui (t) èõ ñóììà ui (t) óæå íå îáÿçàíà ïðîõîäèòü ÷åðåçòî÷êó ui = 0, ò.å. ÷åðåç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.43 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè, äàííûìè â ãëàâå I, óðàâíåíèÿ (117) è (120) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé øåñòü èäåàëüíûõ ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà ìîëåêóëó. Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû N -àòîìíîé ìîëåêóëû ðàâíî3N − 6.
Ñëåäóÿ àëãîðèòìó, óêàçàííîìó â íà÷àëå ãëàâû III, ìû ïðèíèìàåì êàêèå-ëèáî3N − 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ui çà îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, âûðàæàåì÷åðåç íèõ îñòàëüíûå 6 êîìïîíåíò èç ñîîòíîøåíèé (117), (120) è, ïîäñòàâëÿÿ èõ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà (116), ðàçëîæåííóþ ïî ñòåïåíÿì u, u̇, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà,îïèñûâàþùóþ ìàëûå êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû.Ïðèìåð 8.
Êîëåáàíèÿ òðåõàòîìíîé ëèíåéíîé ìîëåêóëû. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ïðîèçâîëüíîé òðåõàòîìíîé ìîëåêóëû. Äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé òàêîé ìîëåêóëû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü åå äâèæåíèå â êàêîé-ëèáî îäíîé ïëîñêîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìîëåêóëà íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, òî êîëåáàíèÿ àòîìîâ ìîëåêóëû äîëæíûïðîèñõîäèòü â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ àòîìîâ.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîçíèêëî áû âðàùåíèå ìîëåêóëû.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ è ïðîñòûì ïîäñ÷åòîì ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåéñâîáîäû íåëèíåéíîé òðåõàòîìíîé ìîëåêóëû ðàâíî 3 × 3 − 6 = 3. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèäâèæåíèè â ïëîñêîñòè èìååòñÿ äâå ïîñòóïàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû è îäíà âðàùàòåëüíàÿ, ïîýòîìó ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû â ýòîì ñëó÷àå òàêæå ðàâíî òðåì[2 × 3 − (2 + 1) = 3]. Òàêèì îáðàçîì, ïëîñêèìè êîëåáàíèÿìè èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå êîëåáàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû ðàññìàòðèâàåìîé ìîëåêóëû. Åñëè æå ìîëåêóëà ëèíåéíà, òî÷èñëî åå êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî 3 × 3 − 5 = 4, ò.ê. ÷èñëî âðàùàòåëüíûõñòåïåíåé ñâîáîäû â ýòîì ñëó÷àå íà åäèíèöó ìåíüøå ïî ñðàâíåíèþ ñ íåëèíåéíîé ìîëåêóëîé (äëÿ çàäàíèÿ îðèåíòàöèè ëèíåéíîé ìîëåêóëû òðåáóåòñÿ ëèøü äâà ïàðàìåòðà,ò.ê.
ïîâîðîò ìîëåêóëû âîêðóã åå îñè íå ìåíÿåò ïîëîæåíèé àòîìîâ). Ýòî ñîîòâåòñòâóåòòîìó, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ìîëåêóëû âîçìîæíî íàëîæåíèå êîëåáàíèé, ïðîèñõîäÿùèõ âäâóõ ïëîñêîñòÿõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî îñè ìîëåêóëû. Ïðè ýòîì ÷àñòîòû òàêèõ êîëåáàíèé äîëæíû ñîâïàäàòü â ñèëó ñèììåòðèè ìîëåêóëû îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ âîêðóã ååîñè. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé ëèíåéíîé ìîëåêóëû, ïðè êîòîðûõàòîìû îòêëîíÿþòñÿ îò îñè ìîëåêóëû, ÿâëÿþòñÿ äâóêðàòíî âûðîæäåííûìè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ æå âñåõ íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ êîëåáàíèé ëèíåéíîé ìîëåêóëû ïî-ïðåæíåìóäîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü êàæäîå òàêîå êîëåáàíèå êàê ïëîñêîå.Ïðèìåíèì èçëîæåííóþ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ñõåìó ê îïðåäåëåíèþ ìàëûõ êîëåáàíèé ëèíåéíîé ìîëåêóëû òèïà ìîëåêóëû CO2 .
Ñîâìåñòèì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ àòîìàóãëåðîäà ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, à àòîìîâ êèñëîðîäà ñ îñüþ x. Ïåðåíóìåðóåì àòîìûñëåâà íàïðàâî è îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè C è O â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ÷åðåç l (ñì. Ðèñ. 7). Òîãäàr10 = (−l, 0, 0) ,r20 = (0, 0, 0) ,r30 = (l, 0, 0) ,è óñëîâèÿ (117), (120) ïðèíèìàþò âèäm(u1 + u3 ) + M u2 = 0 ,[r10 , u1 − u3 ] = 0 ,(121)(122)ãäå m è M îáîçíà÷àþò ìàññû àòîìîâ êèñëîðîäà è óãëåðîäà, ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæåó÷òåíî, ÷òî r30 = −r10 . Ïóñòü êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò â ïëîñêîñòè x, y. Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòüóñëîâèÿ (121) òàêæå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè, è óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî44Ðèñ. 7: Êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû CO2 â ïëîñêîñòè x, y.
Æèðíûå òî÷êè íà îñè x îáîçíà÷àþò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ àòîìîâ.äâèæåíèÿ ìîëåêóëû ñâîäèòñÿ ê äâóì óðàâíåíèÿìm(x1 + x3 ) + M x2 = 0 ,m(y1 + y3 ) + M y2 = 0 .(123)(124)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó âñå òðè âåêòîðà r10 , u1 , u2 ëåæàò â ïëîñêîñòè x, y, òî ëåâàÿ÷àñòü óñëîâèÿ (122) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè z, ïîýòîìó óñëîâèåîòñóòñòâèÿ âðàùåíèÿ ìîëåêóëû êàê öåëîãî äàåò ëèøü îäíî óðàâíåíèåy1 − y3 = 0 .(125)Çàïèøåì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè àòîìîâ ìîëåêóëû U (r). Ýòàýíåðãèÿ ìåíÿåòñÿ êàê ïðè èçìåíåíèè ðàññòîÿíèé ìåæäó àòîìàìè (ñîîòâåòñòâóþùèåêîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ âàëåíòíûìè), òàê è ïðè èçìåíåíèè óãëîâ ìåæäó ðàçëè÷íûìèâàëåíòíûìè ñâÿçÿìè (òàêèå êîëåáàíèÿ íàçûâàþò äåôîðìàöèîííûìè).
Ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìîëåêóëû CO2 U (r) èìååò âèäU (r) = U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) ,ãäå α åñòü óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r1 −r2 è r2 −r3 .  îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿôóíêöèÿ U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) êâàäðàòè÷íà ïî ìàëûì ïðèðàùåíèÿì åå àðãóìåíòîâ.Ïîýòîìó ñàìè ýòè ïðèðàùåíèÿ äîñòàòî÷íî íàéòè â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàëûì âåëè÷èíàìui . Èìååìq00|r1 − r2 | = |(r1 − r2 ) + (u1 − u2 )| = [(r10 − r20 ) + (u1 − u2 )]2r2(r10 − r20 , u1 − u2 )(r10 − r20 , u1 − u2 )≈l 1+≈l+= l + x2 − x1 .(126)l2lÀíàëîãè÷íî,|r2 − r3 | = l + x3 − x2 .45Äàëåå, ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ ìîëåêóëû óãîë α ìàë, è ïîýòîìóα≈y1 − y2 y3 − y2+.llÐàçëîæåíèå ôóíêöèè U ïî ìàëûì xi , yi , α ñîäåðæèò, âîîáùå ãîâîðÿ, âñåâîçìîæíûå ïðîèçâåäåíèÿ: (x1 −x2 )2 , (x1 −x2 )(x2 −x3 ), (x1 −x2 )α è ò.ä. Îäíàêî äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïîòåíöèàëüíûå ýíåðãèè âàëåíòíûõ ñâÿçåé C − O íåçàâèñèìû äðóã îòäðóãà, à òàêæå îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äåôîðìàöèîííûõ êîëåáàíèé.
Ýòî îçíà÷àåò,÷òî â ðàçëîæåíèè ôóíêöèè U (r) = U (|r1 − r2 |, |r3 − r2 |, α) îòñóòñòâóþò ïåðåêðåñòíûå÷ëåíû (x1 − x2 )(x2 − x3 ) è ò.ä., ò.å.kkκl2 α2U = U (l, l, 0) + (x1 − x2 )2 + (x3 − x2 )2 +,222ãäå k, κ íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.Òàê êàê èìååòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçåé (123) (125), òî èç øåñòè ïåðåìåííûõx1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 òîëüêî òðè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò x1 , x3 è y1 . Òîãäà îñòàëüíûå ïåðåìåííûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îáîáùåííûåêîîðäèíàòû èç óðàâíåíèé ñâÿçè:x2 = −m(x1 + x3 ),My3 = y1 ,y2 = −2my1.MÏîäñòàâëÿÿ èõ â ôóíêöèþ ËàãðàíæàL=m(ẋ21 + ẏ12 + ẋ23 + ẏ32 ) M (ẋ22 + ẏ22 )+−U,22ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, îïèñûâàþùóþ ìàëûå êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû:µ¶µ¶2m³m´ 2m22m2m22L =1+(ẋ1 + ẋ3 ) +ẋ1 ẋ3 + m 1 +ẏ1 − 2κ 1 +y122MMMM½¾k2m ³m´m´2km ³−1+1+1+x1 x3 .(127)(x21 + x23 ) −2MMMMÊàê âèäíî, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé äâóõ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ ëèáîòîëüêî îò y1 è ẏ1 , ëèáî îò x1 , x3 , ẋ1 , ẋ3 .
Ýòî ñëåäñòâèå ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòèâàëåíòíûõ è äåôîðìàöèîííûõ êîëåáàíèé. Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿïî ýòèì äâóì íàáîðàì ïåðåìåííûõ ìîæíî èñêàòü íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Ðàññìîòðèìñïåðâà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïî ïåðåìåííîé y1 . Èìååìµµ¶¶22m2m∂L∂L= 2m 1 += −4κ 1 +y1 ,ẏ1 ,∂ ẏ1M∂y1Mïîýòîìó óðàâíåíèå Ëàãðàíæà èìååò âè䵶2mmÿ1 + 2κ 1 +y1 = 0 .MÎáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòüy1 (t) = C (1) cos(ω1 t + φ(1) ) ,46ãäå C (1) è φ(1) ïðîèçâîëüíûå àìïëèòóäà è ôàçà, àsµ¶2κ2mω1 =1+mM ÷àñòîòà êîëåáàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, îïèñûâàþùåå äåôîðìàöèîííîå êîëåáàíèå ìîëåêóëû CO2 , èìååò âèä x1 (t)0x3 (t) = C (1) 0 cos(ω1 t + φ(1) ) .y1 (t)1Ðàññìîòðèì òåïåðü âàëåíòíûå êîëåáàíèÿ.
Ìàòðèöû êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèé èìåþò ñëåäóþùèé âè䵶µ¶mρ m2 /Mk(1 + 2mρ/M )2kmρ/Mmαβ =, kαβ =,m2 /M mρ2kmρ/Mk(1 + 2mρ/M )ãäå ρ = 1 + m/M. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âè䵶−mρω 2 + k(1 + 2mρ/M ) −m2 /M ω 2 + 2kmρ/Mdet= 0,−m2 /M ω 2 + 2kmρ/M −mρω 2 + k(1 + 2mρ/M )èëè−mρω 2 + k(1 + 2mρ/M ) = ±(−m2 /M ω 2 + 2kmρ/M ) .Îòñþäà íàõîäèì ñîáñòâåííûå ÷àñòîòûrrkk(2m + M )ω2 =, ω3 =.mmMÝòè ÷àñòîòû ðàçëè÷íû, ò.å.
ñèñòåìà íåâûðîæäåíà. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (108), íàõîäèì÷àñòíûå ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòàì ω2,3 x1 (t)1x1 (t)1x3 (t) = C (2) −1 cos(ω2 t + φ(2) ) , x3 (t) = C (3) 1 cos(ω3 t + φ(3) )y1 (t)0y1 (t)0ñ ïðîèçâîëüíûìè àìïëèòóäàìè C (2) , C (3) è ôàçàìè φ(2) , φ(3) . Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, îïèñûâàþùåå êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû CO2 â ïëîñêîñòè x, yèìååò âèä x1 (t)011x3 (t) = C (1) 0 cos(ω1 t + φ(1) ) + C (2) −1 cos(ω2 t + φ(2) ) + C (3) 1 cos(ω3 t + φ(3) ) .y1 (t)100Êàê áûëî óêàçàíî âûøå, ëèíåéíàÿ ìîëåêóëà ìîæåò ñîâåðøàòü îäíîâðåìåííî êîëåáàíèÿ â äâóõ ïëîñêîñòÿõ, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ àòîìîâ.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÷åòâåðòûì íåçàâèñèìûì íîðìàëüíûì êîëåáàíèåì ÿâëÿåòñÿ äåôîðìàöèîííîå êîëåáàíèå â ïëîñêîñòè x, z. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèåïîëó÷èòñÿ, åñëè â âûøåïðèâåäåííûõ ôîðìóëàõ çàìåíèòü y íà z.473.
Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëàÅñëè â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òàêîâî, ÷òîèçìåíåíèåì âçàèìíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî òàêóþñèñòåìó íàçûâàþò òâåðäûì òåëîì. Èññëåäóåì äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, ñëåäóÿ îáùåìóàëãîðèòìó ïðèìåíåíèÿ ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà, óêàçàííîìó â íà÷àëå ãëàâû III.A. Îïðåäåëèì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà. Çàôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî åãîòî÷êó. Äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ çàäàòü òðè åå ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû (íàïðèìåð,äåêàðòîâû). Ïîñëå ýòîãî çàôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî äðóãóþ òî÷êó òåëà. Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó âñåìè òî÷êàìè òåëà ôèêñèðîâàíû, òî äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ çàäàòü äâååå êîîðäèíàòû (íàïðèìåð, äâà óãëà, îïðåäåëÿþùèå íàïðàâëåíèå âåêòîðà, ñîåäèíÿþùåãî âûáðàííûå òî÷êè).
Íàêîíåö, åñëè â òâåðäîì òåëå èìåþòñÿ òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèåïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïåðâûå äâå òî÷êè, òî îñòàþùèéñÿ ïðîèçâîë â èõ ïîëîæåíèèñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîòàì âîêðóã óêàçàííîé ïðÿìîé, äëÿ ôèêñàöèè êîòîðîãî íåîáõîäèìîçàäàòü îäèí ïàðàìåòð, íàïðèìåð, óãîë ïîâîðîòà. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ÷èñëîñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà s = 3 + 2 + 1 = 6.
Åñëè æå âñå òî÷êè òâåðäîãî òåëàëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òàêîãî òåëà s = 3 + 2 = 5.B. Âûáåðåì òåïåðü îáîáùåííûå êîîðäèíàòû òâåðäîãî òåëà. Äëÿ îïèñàíèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà óäîáíî ââåñòè ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà èíåðöèè òåëà, R.Çà ïåðâûå òðè îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ìû ïðèìåì äåêàðòîâû êîìïîíåíòû R â íåêîòîðîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (êîòîðóþ ìû òàêæå áóäåì íàçûâàòü íåïîäâèæíîé).Äëÿ îïèñàíèÿ æå åãî âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëèì òðè óãëîâûõ êîîðäèíàòûñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ââåäåì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, æåñòêî ñâÿçàííóþ ñ òâåðäûì òåëîì, à â íåé äåêàðòîâó êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó, íà÷àëî êîòîðîé ïîìåñòèì âöåíòðå èíåðöèè òåëà, à íàïðàâëåíèÿ êîîðäèíàòíûõ îñåé âûáåðåì ïîêà ïðîèçâîëüíî.Îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû áóäåì îòëè÷àòü øòðèõîì, (x0 , y 0 , z 0 ). Ëþáóþ äàííóþ îðèåíòàöèþ òâåðäîãî òåëà ìîæíî ïîëó÷èòü èç íåêîòîðîé èñõîäíîé, ïîâîðà÷èâàÿ ïîäâèæíóþñèñòåìó êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
