К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 ïðåäåëå ∆t → 0 ìû ïîëó÷èìds1M= r2 (t)φ̇ == const .dt22m(90)Òàêèì îáðàçîì, ïðè äâèæåíèè â ëþáîì öåíòðàëüíîì ïîëå ñåêòîðèàëüíàÿ ñêîðîñòü ïîñòîÿííà.  ïðèìåíåíèè ê äâèæåíèþ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ïîñòîÿíñòâî ñåêòîðèàëüíîé ñêîðîñòè íàçûâàåòñÿ âòîðûì çàêîíîì Êåïëåðà. Îïðåäåëèì òåïåðü ïîëíóþ ïëîùàäü S, çàìåòàåìóþ ðàäèóñ-âåêòîðîì çà ïåðèîä. Ýòî åñòü ïëîùàäü ýëëèïñà, ðàâíàÿπab. Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (89) åå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàêsµ¶3|α|πM|α|MπM 3/2pS=π=pa .=p2|E| 2m|E|2|E|m|α|m|α|Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èíòåãðèðóÿ ðàâåíñòâî (90) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èìZTS=MTdsdt =.dt2m0Èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ïåðèîäà äâèæåíèÿsma3.T = 2π|α|32(91)Ðèñ. 6: Òðàåêòîðèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè ðàññåÿíèè â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì ïîëå.Øòðèõîâàííûå ëèíèè îáîçíà÷àþò àñèìïòîòû òðàåêòîðèè ïðè t → ±∞.Åñëè U (r) åñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òÿãîòåþùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî α =−Gm1 m2 , è ìû èìååìsa3T = 2π.G(m1 + m2 ) ñëó÷àå ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ìàññà îäíîé èç òî÷åê (Ñîëíöà) íàìíîãî ïðåâîñõîäèò ìàññóäðóãîé (ïëàíåòû)m1 ≡ M¯ À m2 ,è ïîýòîìó ïðèáëèæåííîsa3.GM¯T = 2πÈç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ìåæäó îòíîøåíèåì a/a0 áîëüøèõ ïîëóîñåé îðáèò äâóõïëàíåò è îòíîøåíèåì T /T 0 ïåðèîäîâ èõ îáðàùåíèÿ âîêðóã Ñîëíöà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ñâÿçü, íàçûâàåìàÿ òðåòüèì çàêîíîì ÊåïëåðàµTT0¶2=³ a ´3a0.4.
Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. Ôîðìóëà ÐåçåðôîðäàÐàññìîòðèì îäíîðîäíûé ïîòîê îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, íàëåòàþùèõ íà íåïîäâèæíûéñèëîâîé öåíòð èç áåñêîíå÷íîñòè, ãäå âñå îíè èìåþò îäèíàêîâóþ ñêîðîñòü v0 . Ïóñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö åñòü U (r). Íàçîâåì ÷àñòèöó, ïðîøåäøóþ ïîëå è óøåäøóþñíîâà íà áåñêîíå÷íîñòü, ðàññåÿííîé.
Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòüðàñïðåäåëåíèå ðàññåÿííûõ ÷àñòèö ïî óãëó ðàññåÿíèÿ, ïîä êîòîðûì ïîíèìàþò óãîë ìåæäó íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû.33Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è äâóõ òåë, è ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ îáùåé ôîðìóëû (76). Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèìåíèòü ýòó ôîðìóëó, íóæíî âûðàçèòüâõîäÿùèå â íåå ïàðàìåòðû E, M ÷åðåç íà÷àëüíûå äàííûå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 èòàê íàçûâàåìîå ïðèöåëüíîå ðàññòîÿíèå ρ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå ìåæäóàñèìïòîòîé òðàåêòîðèè ÷àñòèöû â íà÷àëå åå äâèæåíèÿ è öåíòðîì ïîëÿ (ñì. Ðèñ.
6).Äðóãèìè ñëîâàìè, ρ åñòü ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì ÷àñòèöà ïðîøëà áûîò òî÷êè r = 0 â îòñóòñòâèå ïîëÿ. Äîãîâîðèìñÿ, äàëåå, îòñ÷èòûâàòü óãîë φ îò íà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöû, ò.å. ïîëîæèì φ0 = 0, r0 = ∞. ÒîãäàM = |[r, mv]| = mrv sin φ.  íà÷àëå äâèæåíèÿ, ò.å. ïðè φ → 0, r → ∞, èìååì, ïîîïðåäåëåíèþ ïðèöåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ, r sin φ = ρ.
ÏîýòîìóM = mρv0 .Ó÷èòûâàÿ òàêæå, ÷òî E = mv02 /2, ïîëó÷àåìZrφ=∞ρdrr2s.2U (r) ρ2± 1−− 2mv02rÄëÿ ðàññåÿííîé ÷àñòèöû r → ∞, à çíà÷åíèå óãëà φ â êîíöå äâèæåíèÿ ðàâíîrminZφ̃ =∞ρρZ∞drdr2rr2ss+,222U (r) ρ2U (r) ρ− 1−− 2 rmin + 1 −− 22mv0rmv02rèëèZ∞φ̃ =rmin2ρdrr2s.2U (r) ρ21−− 2mv02r(92)Íàïîìíèì, ÷òî rmin åñòü íóëü êîðíÿ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Êàê âèäíî èçÐèñ. 6, óãîë ðàññåÿíèÿ χ = π − φ̃.Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññåÿííûõ ÷àñòèö ïî óãëó χ èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, dσ, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷èñëî ÷àñòèö,ðàññåÿííûõ â èíòåðâàë óãëîâ [χ, χ + dχ] â åäèíèöó âðåìåíè ïðè åäèíè÷íîé ïëîòíîñòèïîòîêà íàëåòàþùèõ ÷àñòèö (ïëîòíîñòüþ ïîòîêà íàçûâàþò ÷èñëî ÷àñòèö, ïðîëåòàþùèõâ åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè ÷àñòèö).
Ïóñòü èíòåðâàë [ρ, ρ + dρ] åñòü òîò èíòåðâàë ïðèöåëüíûõ ðàññòîÿíèé,êîòîðûå èìåþò ÷àñòèöû, ðàññåèâàåìûå â èíòåðâàë óãëîâ [χ, χ + dχ]. Òîãäà ÷èñëî ýòèõ÷àñòèö ðàâíî 2πρdρ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ýôôåêòèâíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, ýòî÷èñëî ñëåäóåò âûðàçèòü ÷åðåç χ è dχ. Äëÿ ýòîãî íàïèøåìdρ =dρdχ .dχ34Îáû÷íî óãîë ðàññåÿíèÿ óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ïðèöåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ, ò.å. ïðîèçâîäíàÿ dρ/dχ îòðèöàòåëüíà. Ïîýòîìó äëÿ òîãî ÷òîáû ïðè ïîëîæèòåëüíîì dχ ÷èñëî÷àñòèö òàêæå áûëî ïîëîæèòåëüíûì, äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ çàïèñûâàþòâ âèäå¯ ¯¯ dρ ¯dσ = 2πρ ¯¯ ¯¯ dχ .(93)dχ×èñëî ðàññåÿííûõ ÷àñòèö òàêæå ìîæíî îòíîñèòü íå ê dχ, à ê èíòåðâàëó òåëåñíûõ óãëîâdo ìåæäó äâóìÿ êîíóñàìè ñ óãëàìè ðàñòâîðà χ è χ + dχ, îáðàçóþùèìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòû òðàåêòîðèé ðàññåÿííûõ ÷àñòèö.
Âåëè÷èíîé òåëåñíîãî óãëà ñ íà÷àëîì âíåêîòîðîé òî÷êå íàçûâàþò ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, âûðåçàåìîé ýòèì óãëîì íà åäèíè÷íîéñôåðå ñ öåíòðîì â äàííîé òî÷êå, ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå do = 2π sin χdχ, èôîðìóëà (93) ïðèíèìàåò âèä¯ ¯ρ ¯¯ dρ ¯¯dσ =do .(94)sin χ ¯ dχ ¯Íàéäåì äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ â êóëîíîâîì ïîëå.
Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿýòîãî óðàâíåíèåì (85).  ýòîé ôîðìóëå óãîë φ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò íàïðàâëåíèÿ ðàäèóñâåêòîðà òî÷êè â ìîìåíò, êîãäà r = rmin . Ïîýòîìó óãîë φ̃ ðàâåí óäâîåííîé âåëè÷èíå óãëàφ ïðè r = ∞, à èìåííαφ̃ = 2 arccos,e|α|èëè, ïîäñòàâëÿÿ φ̃ = π − χ,e sinÓ÷èòûâàÿ, ÷òîsre=αχ=.2|α|1+2EM 2mα2íàõîäèìµ2ρ ==αmv02µ1+¶2ctg2mρv02α¶2,χ,2ïîýòîìó äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ (94)¯ 2¯¯ ¯µ¶2 cos χ¯ dρ ¯ doρ ¯¯ dρ ¯¯α2 do ,¯dσ =do = ¯¯=χ2¯¯¯sin χ dχdχ 2 sin χmv0sin3 2 sin χ2èëèµdσ =α2mv02¶2dosin4Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ðåçåðôîðäà.35χ.2(95)IV.
ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß (ÏÐÎÄÎËÆÅÍÈÅ)Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ñèñòåìû ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñîâåðøàþùåé ìàëûåêîëåáàíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è îáùèé âèä ðåøåíèÿ çàäà÷è. Êîëåáàíèÿ ìîëåêóë.Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãîäâèæåíèé. Óãëû Ýéëåðà. Äâèæåíèå ñèììåòðè÷åñêîãî âîë÷êà.1.
Êîëåáàíèÿ ñèñòåì ñî ìíîãèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäûÐàññìîòðèì ñèñòåìó ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíÿìè ñâîáîäû s. Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû V = 0, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U (q) ñèñòåìû íå çàâèñèò îò âðåìåíè è ïðèq = q (0) èìååò ýêñòðåìóì∂U (0)(q ) = 0 , α = 1, ..., s .∂qαÈññëåäóåì äâèæåíèå ñèñòåìû â ìàëîé îêðåñòíîñòè q (0) . Äëÿ ýòîãî, âî-ïåðâûõ, çàïèøåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (6) äëÿ äåêàðòîâûõ ñêîðîñòåé òî÷åêñèñòåìû â L = T − U :à s!NssXXXmi X ∂ri∂rimαβ (q)L=q̇α ,q̇β − U (q) =q̇α q̇β − U (q) ,(96)2 α=1 ∂qα∂qβ2i=1β=1α,β=1ãäåmαβ (q) =NXµmii=1∂ri ∂ri,∂qα ∂qβ¶.(97)Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûåξα = qα − qα(0) ,α = 1, ..., s.ξ îïðåäåëÿþò âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìàëû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 ñîîòâåòñòâóþùèåñêîðîñòè q̇ = ξ˙ òàêæå ìàëû, è áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû íà ïðè òàêèõt, ïðè êîòîðûõ ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ. Òîãäà ìîæíî ðàçëîæèòü ôóíêöèþ˙ Ðàçëîæåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèËàãðàíæà (96) ïî ñòåïåíÿì ìàëûõ âåëè÷èí ξ, ξ.èìååò âèäU (q(0)ssX∂U (0)1 X ∂2U+ ξ) = U (q ) +(q )ξα +(q (0) )ξα ξβ + O(ξ 3 )∂qα2 α,β=1 ∂qα ∂qβα=1(0)s1 X= U (q ) +kαβ ξα ξβ + O(ξ 3 ) ,2 α,β=1(0)ãäåkαβ∂ 2U=(q (0) )∂qα ∂qβ36(98)åñòü ìàòðèöà ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Çàìåòèì, ÷òî kαβ = kβα , â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íîñòè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ. ×ëåí U (q (0) ) â âûðàæåíèè (98) ìîæåò áûòü îïóùåí.Ïîñêîëüêó â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âõîäÿò òîëüêî ïðîèçâîäíûå îò L, äîáàâëåíèå ïîñòîÿííîé ê ôóíêöèè Ëàãðàíæà íå ìåíÿåò ýòèõ óðàâíåíèé.
Äàëåå, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ˙ ïîýòîìó â íèçøåì ïîðÿäêå â êîýôôèÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ïî ìàëûì ñêîðîñòÿì ξ,(0)öèåíòàõ m(q) ìîæíî ïîëîæèòü q = q : ó÷åò çàâèñèìîñòè m(q (0) + ξ) îò ξ ïðèâåë áûê ÷ëåíàì ñëåäóþùåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Òàêèì îáðàçîì, â íèçøåì ïîðÿäêå ïî ìàëûìξ, ξ˙ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèíèìàåò âèässXmαβ ˙ ˙1 XL=kαβ ξα ξβ ,ξα ξβ −22α,β=1α,β=1(99)ãäå mαβ = mαβ (q (0) ). Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Ìû èìååìÃ!sX˙β∂Lmαβ ∂ ξ˙α ˙∂ξ=ξβ + ξ˙α, γ = 1, ..., s.2∂ ξ˙γ∂ ξ˙γ∂ ξ˙γα,β=1 ñèëó íåçàâèñèìîñòè îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé ξ˙∂ ξ˙α= δαγ .∂ ξ˙γÏîýòîìósss´ XXXmγβ ˙∂Lmαβ ³mαγ ˙˙˙δαγ ξβ + ξα δβγ =ξβ +ξα ,=22∂ ξ˙γ α,β=1 2α=1β=1γ = 1, ..., s.Èç îïðåäåëåíèÿ (97) ñëåäóåò, ÷òî mαβ = mβα .
Ó÷èòûâàÿ ýòî è çàìåíÿÿ èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè íà α, ïîëó÷èìsX∂L=mγα ξ˙α ,˙∂ ξγα=1Àíàëîãè÷íî,γ = 1, ..., s.sX∂L=−kγα ξα ,∂ξγα=1γ = 1, ..., s.Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èìåþò ñëåäóþùèé âèäs ³X´mαβ ξ¨β + kαβ ξβ = 0 ,α = 1, ..., s.(100)β=1Íàïîìèíàíèå.  âûâîäå óðàâíåíèé (100) èñïîëüçîâàëàñü ñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèö mαβ ,kαβ .
Ïîýòîìó ïîñëå ñ÷èòûâàíèÿ ýòèõ ìàòðèö ñ ôóíêöèè Ëàãðàíæà èõ ñëåäóåò ñèììåòðèçîâàòü, ò.å. çàìåíèòü mαβ → (mαβ + mβα )/2, kαβ → (kαβ + kβα )/2.Çàìåòèì, ÷òî ξα (t) = 0, α = 1, ..., s ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé (100). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ñîñòîÿíèè q = q (0) ,37q̇ = 0, òî îíà áóäåò îñòàâàòüñÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè íåîãðàíè÷åííî äîëãî. Ïîýòîìó ïîëîæåíèå ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîå íàáîðîì q (0) , íàçûâàåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
