К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ðîòîðà äàííîãî âåêòîðàîáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî ñèìâîëîì rot, òàê ÷òî H = rotA. Ñ ïîìîùüþ âåêòîðà ∂/∂rîïðåäåëåíèå âåêòîðà E = (Ex , Ey , Ez ) òàêæå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êîìïàêòíî êàêE=−1 ∂A ∂ϕ−.c ∂t∂rÂî ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ óðàâíåíèå (24) ïðèíèìàåò âèäqmẍ = qEx + [ṙ, H]x ,c(26)ãäå [ṙ, H]x = ẏHz − żHy . Âìåñòå ñ àíàëîãè÷íûìè óðàâíåíèÿìè äëÿ êîîðäèíàò y, zïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå îäíîãî âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿqmr̈ = qE + [ṙ, H] .c(27)Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèëó Ëîðåíöà, ïðè÷åì E è H ÿâëÿþòñÿ íàïðÿæåííîñòÿìè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, ñîîòâåòñòâåííî, à c åñòüñêîðîñòü ñâåòà. Ìû âèäèì, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (22) îïèñûâàåò äâèæåíèå ÷àñòèöû ñ ìàññîé m è çàðÿäîì q â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.
Âåëè÷èíû A è ϕíàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðíûì è ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëàìè ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ.Ïðèìåð 2. Äâèæåíèå â ïîëå òÿæåñòè ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé ñ òðåíèåì. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m ïî ïàðàáîëå, ðàñïîëîæåííîé âåðòèêàëüíî â ïîëåòÿæåñòè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äåéñòâóþùàÿ íà òî÷êó ñèëà òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà åå ñêîðîñòè (êîýôôèöèåíò òðåíèÿ k ). Íàïðàâèì îñü z âåðòèêàëüíî ââåðõ, è ïóñòü óðàâíåíèåìïàðàáîëû áóäåòax2, y = 0 , a = const .z=2Ïðèìåì x çà îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó òî÷êè. Ìû èìååìż = axẋ ,è ïîýòîìóṙ 2 = ẋ2 + a2 x2 ẋ2 .11Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè U = mgax2 /2, ãäå g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (21), ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà â âèä婪mL(x, ẋ, t) = ekt/m (1 + a2 x2 )ẋ2 − gax2 .(28)2Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà. Èìåå쩪∂L∂L= mekt/m (1 + a2 x2 )ẋ ,= mekt/m a2 xẋ2 − gax .∂ ẋ∂xÏîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (16), ïîëó÷àåì ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà ekt/m(1 + a2 ẋ2 )(mẍ + k ẋ) + max(g + aẋ2 ) = 0 .II.ÇÀÊÎÍÛ ÑÎÕÐÀÍÅÍÈß. ÏÐÈÍÖÈÏ ÍÀÈÌÅÍÜØÅÃÎ ÄÅÉÑÒÂÈßÇàêîíû ñîõðàíåíèÿ îáîáùåííûõ ýíåðãèè, èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà è èõ ñâÿçüñî ñâîéñòâàìè îäíîðîäíîñòè âðåìåíè è îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà.Òåîðåìà Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ è âûðàæåíèå äëÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè.
Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ è ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà èçïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ è àìïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû. ïðèìåðå 1 (ãëàâà I) ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à î äâèæåíèè òî÷êè â àêñèàëüíîñèììåòðè÷íîì ïîëå. Ìû íàøëè, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå çàâèñèò ÿâíîîò êîîðäèíàòû φ, çàäàþùåé óãîë ïîâîðîòà âîêðóã îñè ñèììåòðèè ïîëÿ, à èç óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïî ýòîé êîîðäèíàòå [ñì.
óðàâíåíèå (20)] ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà pφ = ρ2 φ̇îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû. Âîîáùå, ëþáàÿ êîìáèíàöèÿ îáîáùåííûõêîîðäèíàò è îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé, ñîõðàíåíèå êîòîðîé ñëåäóåò èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Êàê âèäíî, pφ ÿâëÿåòñÿ ïåðâûìèíòåãðàëîì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Ïîñêîëüêó äëÿ ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷èìåõàíèêè òðåáóåòñÿ èíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ìåòîäû íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ çàíèìàþò â íåé öåíòðàëüíîå ìåñòî.Âàæíåéøåé êàòåãîðèåé èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, ïîä êîòîðûìè ïîíèìàþò âåëè÷èíû, ïîñòîÿíñòâî êîòîðûõ ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòîé ñèñòåìû, ò.å.
ñèñòåìû, íà êîòîðóþ íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ ñèñòåìû êàê öåëîãî â ïðîñòðàíñòâå (ò.å. ïåðåìåùåíèÿõ, ñîõðàíÿþùèõ âçàèìíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè ñèñòåìû). Ëþáîå òàêîå ïåðåìåùåíèå ìîæíîïðåäñòàâèòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ (òðàíñëÿöèé) ñèñòåìû âíåêîòîðîì íàïðàâëåíèè è åå ïîâîðîòîâ âîêðóã íåêîòîðîé îñè. Íåèçìåííîñòü ñâîéñòâ ñèñòåì ïðè òàêèõ ÷àñòíîãî âèäà ïåðåìåùåíèÿõ íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îäíîðîäíîñòüþè èçîòðîïèåé ïðîñòðàíñòâà. Àíàëîãè÷íî, ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà çàìêíóòûõ ñèñòåìîêàçûâàþòñÿ îäíèìè è òåìè æå íåçàâèñèìî îò òîãî, íà êàêîì èíòåðâàëå âðåìåíè ðàññìàòðèâàåòñÿ èõ ýâîëþöèÿ.
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò îäíîðîäíîñòüþ âðåìåíè.Ïîñêîëüêó ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì ååôóíêöèè Ëàãðàíæà, òî ýòè ñâîéñòâà áóäóò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûìè ïðè ëþáîì èç óêàçàííûõ ïåðåìåùåíèé â ïðîñòðàíñòâå èëè âî âðåìåíè, åñëè äàííîå ïåðåìåùåíèå íå ìåíÿåò ôóíêöèè Ëàãðàíæà ñèñòåìû.121. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñàÐàññìîòðèì ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà. Ïîëó÷èìñïåðâà îáùåå âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïðè ïåðåìåùåíèè ñèñòåìûâ ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó, à òàêæå íàëîæåííûå íà íåå ñâÿçèòàêîâû, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìåíÿåòñÿ ïðè âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò âèäàδqα = Qα (q)², ãäå Qα (q) åñòü íåêîòîðûå çàäàííûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, à ² ìàëûé ïîñòîÿííûé ïàðàìåòð (íåçàâèñÿùèé îò q, t).
Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèåîáîáùåííûõ ñêîðîñòåé:¶µdqαqα (t + ∆t) − qα (t)δ= δ lim∆t→0dt∆tqα (t + ∆t) − qα (t)(qα + δqα )(t + ∆t) − (qα + δqα )(t)− lim= lim∆t→0∆t→0∆t∆tδqα (t + ∆t) − δqα (t)= lim,∆t→0∆tò.å.δdqαd= δqα ,dtdt(29)è ñëåäîâàòåëüíî, δ q̇α = Q̇α ² . Èñïîëüçóÿ ýòîò ðåçóëüòàò, à òàêæå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà(16), âàðèàöèþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå¾¾ Xs ½s ½X∂L∂Ld ∂L∂LδL =δqα +δ q̇α =Qα ² +Q̇α ² ,∂qα∂ q̇αdt ∂ q̇α∂ q̇αα=1α=1èëèsd X ∂LδL = ²Qα .dt α=1 ∂ q̇α(30)Òàêèì îáðàçîì, èç óñëîâèÿ íåèçìåííîñòè ôóíêöèè Ëàãðàíæà, δL = 0, âûòåêàåò ñëåäóþùèé çàêîí ñîõðàíåíèÿsX∂LQα = const .∂q̇αα=1(31)Åñëè âñïîìíèòü, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ ïîëó÷àåòñÿ èçôóíêöèè Ëàãðàíæà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ñîãëàñíî L = L(r(q), ṙ(q, q̇), t), òî, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, à òàêæå ñîîòíîøåíèå (13), ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (31) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàêÃ!¶s XNssN µXXXX∂ri δqα∂L∂L ∂ ṙi∂LQα =,Qα =,,∂ q̇α∂ ṙi ∂ q̇α∂ ṙi α=1 ∂qα ²α=1 i=1α=1i=1èëè, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (8),¶sN µXX∂L∂L δriQα =,.∂ q̇α∂ ṙi ²α=1i=113(32)Ðèñ.
1: Ê âûâîäó ôîðìóëû (34).Ðàññìîòðèì òåïåðü îòäåëüíî òðàíñëÿöèè è ïîâîðîòû ñèñòåìû. Ïóñòü âíåøíèå ïîëÿ èñâÿçè, íàëîæåííûå íà ñèñòåìó, íå íàðóøàþò îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëÿåìîì åäèíè÷íûì âåêòîðîì n. Ïðè òðàíñëÿöèè ñèñòåìû â íàïðàâëåíèèâåêòîðà n íà ðàññòîÿíèå δr = ² ðàäèóñ-âåêòîðû âñåõ ÷àñòèö ñèñòåìû ïîëó÷àþò îäíî èòî æå ïðèðàùåíèå δri = n².
Ïî ôîðìóëàì (31), (32) íàõîäèì çàêîí ñîõðàíåíèÿà N!X ∂L, n = const.(33)∂ ṙii=1Ìû âèäèì, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñëåäñòâèåì îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà ïî íåêîòîðîìóíàïðàâëåíèþ ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè íà ýòî íàïðàâëåíèå âåêòîðàP =NXpi ,pi =i=1∂L,∂ ṙiíàçûâàåìîãî èìïóëüñîì ñèñòåìû. Îòíîñèòåëüíî çàìêíóòîé ñèñòåìû ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, è ïîýòîìó èìïóëüñ òàêîé ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ.Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîâîðîò ñèñòåìû êàê öåëîãî íà óãîë δϕ = ² îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îñè, íàïðàâëåíèå êîòîðîé çàäàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì n ïî ïðàâèëó ïðàâîãîâèíòà. Âûáåðåì íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ãäå-íèáóäü íà îñè ïîâîðîòà è îïðåäåëèì,êàê ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîð r.
Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó âåêòîðàìè n è r ÷åðåçβ (ñì. Ðèñ. 1). Âåêòîð δr îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåêòîðû n, r, à åãîâåëè÷èíà|δr| = (|r| sin β)δϕ .Åñëè ââåñòè âåêòîð δϕ = nδϕ, òî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ìîäóëü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ δϕ è r : |δr| = |[δϕ, r]|. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàïðàâëåíèåâåêòîðà [δϕ, r] ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì δr, ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî âåêòîðíîå ðàâåíñòâîδr = [δϕ, r] .(34)Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîâîðîòå ñèñòåìû íà óãîë δϕ ðàäèóñ-âåêòîðû ÷àñòèö ñèñòåìûïîëó÷àþò ïðèðàùåíèå δri = [δϕ, ri ], i = 1, ..., N. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (32) è öèêëè÷åñêè14ïåðåñòàâëÿÿ ñîìíîæèòåëè ñêàëÿðíî-âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåì¶ XN µNNXX∂L δri,=(pi , [n, ri ]) =(n, [ri , pi ]) .∂ṙ²ii=1i=1i=1Çàêîí ñîõðàíåíèÿ (31) ïðèíèìàåò âèä!ÃNXn,[ri , pi ] = const .(35)(36)i=1Òàêèì îáðàçîì, èç èçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé âîêðóã íàïðàâëåíèÿ n ñëåäóåò ñîõðàíåíèå ïðîåêöèè íà ýòî íàïðàâëåíèå âåêòîðàM=NXmi ,mi = [ri , pi ] ,i=1íàçûâàåìîãî ìîìåíòîì èìïóëüñà ñèñòåìû.
Îòíîñèòåëüíî çàìêíóòîé ñèñòåìû ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, è ïîòîìó ìîìåíò èìïóëüñà òàêîé ñèñòåìûñîõðàíÿåòñÿ.Íà âåëè÷èíû, ñòîÿùèå â ëåâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (33) è (36) ìîæíî ïîñìîòðåòü òàêæåè ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ.
Âåðíåìñÿ ê çàïèñè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ â ôîðìå (31). Îáîçíà÷èì ÷åðåç x äåêàðòîâó êîîðäèíàòó, îïðåäåëÿþùóþ ïîëîæåíèå ñèñòåìû êàê öåëîãî ïîîñè, ïàðàëëåëüíîé âåêòîðó n. Åñëè ìû ïðèìåì x çà îäíó èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò,ñêàæåì x ≡ q1 , òî ïðè òðàíñëÿöèè â íàïðàâëåíèè n âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàòáóäóò èìåòü âèä½½δq1 = ²,Q1 = 1,⇒δqα = 0, α = 2, ..., s,Qα = 0, α = 2, ..., s,Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (31) ïðèâîäèò ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ∂L= const .∂ ẋ(37)Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü òîæäåñòâà (32) íå çàâèñèò îò âûáîðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò,òî âåëè÷èíà const òà æå, ÷òî è â óðàâíåíèè (33), ò.å.∂L= (P , n) .∂ ẋ(38)Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî x äàåò âåëè÷èíó ïðîåêöèè èìïóëüñà ñèñòåìû íà íàïðàâëåíèå n. Àíàëîãè÷íî, åñëè ìû âûáåðåì óãîë ïîâîðîòà ϕ ñèñòåìû êàê öåëîãî âîêðóã íåêîòîðîé îñè çà îäíó èç îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, ñêàæåì,ϕ ≡ q2 , òî âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðè ïîâîðîòå âîêðóã äàííîé îñè áóäóòèìåòü òîò æå âèä, ÷òî è âûøå, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîõðàíÿþùàÿñÿ âåëè÷èíà∂L= const∂ ϕ̇15(39)â ñèëó òîæäåñòâà (32) ñîâïàäàåò ñ âåëè÷èíîé ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû íàýòó îñü:∂L= (M , n) .∂ ϕ̇(40)Êàê ìû âèäèì, â äàííîé ôîðìóëèðîâêå îáà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåìòîãî, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñäâèãàõ êàêîé-ëèáî îáîáùåííîé êîîðäèíàòû qα íà ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó, qα → qα + ², ïðè ôèêñèðîâàííûõîñòàëüíûõ qβ ñ β 6= α.
Òàêèå îáîáùåííûå êîîðäèíàòû íàçûâàþò öèêëè÷åñêèìè. Åñëèêîîðäèíàòà qα öèêëè÷åñêàÿ, òî ïðè îïèñàííîì ñäâèãå∂L∂L∂Lδqα +δ q̇α =²,∂qα∂ q̇α∂qα0 = δL =òàê ÷òî êðèòåðèåì öèêëè÷íîñòè êîîðäèíàòû qα ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå∂L= 0.∂qαÑîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé êîîðäèíàòå âåëè÷èíà pqα = ∂L/∂ q̇α , íàçûâàåìàÿ îáîáùåííûìèìïóëüñîì, ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû:pqα = const .Òî, ÷òî pqα ñîõðàíÿåòñÿ, âèäíî òàêæå íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà (16).Ïðèìåð 3. ïðèìåðå 1 (ãëàâà I) ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (19) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íåçàâèñèò îò óãëîâîé ïåðåìåííîé φ (φ öèêëè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà). Ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿïðîåêöèÿ åå ìîìåíòà èìïóëüñà íà îñü z :∂L= mρ2 φ̇ = const.∂ φ̇2. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèÏåðåéäåì ê âûÿñíåíèþ ñëåäñòâèé îäíîðîäíîñòè âðåìåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
