К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ïîäñòàâëÿÿ åãî â ñîîòíîøåíèÿ (232), íàõîäèì çíà÷åíèÿ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ pr pθ â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè:rrC3C22pr = ± −2mC1 − 2 , pθ = ± C3 − 2md cos θ −.rsin2 θÑ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (245) çíàêè ýòèõ èìïóëüñîâ ñîâïàäàþò ñî çíàêàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â èíòåãðàëå ïî r â ôîðìóëå (247) ñëåäóåò áðàòü ñ âåðõíèì (íèæíèì) çíàêîì,åñëè íà äàííîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ṙ > 0 (ṙ < 0), è àíàëîãè÷íî äëÿ èíòåãðàëà ïî θ.Âûÿñíèì òåïåðü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòîÿííûõ C1 , C2 , C3 . Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå(247) â óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè íàõîäèìC1 + H(q, p, t) = 0 ,ò.å.
ïîñòîÿííàÿ C1 åñòü âåëè÷èíà îáîáùåííîé ýíåðãèè òî÷êè, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ìèíóñ.Ïîäñòàíîâêà æå ðåøåíèÿ â ñîîòíîøåíèÿ (232) äàåòpφ =∂S= C2 .∂φÒàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííàÿ C2 åñòü âåëè÷èíà ñîõðàíÿþùåéñÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà òî÷êè íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà d.Òî, ÷òî âåëè÷èíû E, pφ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ñîõðàíÿþòñÿ, ìîæíî áûëî óòâåðæäàòü çàðàíåå, ïîñêîëüêó âðåìÿ â íåé îäíîðîäíî, à ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ ñèñòåìû (ìàòåðèàëüíîé òî÷êè) âîêðóã íàïðàâëåíèÿ d [ôóíêöèÿËàãðàíæà (244) íå çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ t, φ ÿâíî]. Ñîõðàíåíèå æå êîìáèíàöèè(C22 / sin2 θ + p2θ + 2md cos θ) íèêàê íå ñâÿçàíî ñ ïîäîáíûìè ñèììåòðèÿìè è ÿâëÿåòñÿñïåöèôè÷åñêèì äëÿ äàííîé çàäà÷è.  òîì, ÷òî ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ïîçâîëÿåò ðåãóëÿðíûì îáðàçîì íàõîäèòü òàêèå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ, çàêëþ÷àåòñÿ åãî ñóùåñòâåííîåïðåèìóùåñòâî ïî ñðàâíåíèþ ñ ëàãðàíæåâûì ìåòîäîì.Íàêîíåö, íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Äèôôåðåíöèðóÿ ðåøåíèå(247) ïî ïîñòîÿííûì C1 ≡ −E, C2 ≡ Mz , C3 è ïðàðàâíèâàÿ ðåçóëüòàò íîâûì ïðîèçâîëüíûì ïîñòîÿííûì, ïîëó÷àåìZrmdr= Q1 ,(248)= Q2 ,Mz2θ0 ± sin θC3 − 2md cos θ −sin2 θZθZrdθdrrr= Q3 .+−CMz23r0 ±r 2θ0 ±2mE − 2C3 − 2md cos θ −rsin2 θ(249)r−t+r0Zθrφ−±Mz dθC32mE − 2r281(250)Óðàâíåíèå (248) îïðåäåëÿåò â íåÿâíîì âèäå çàâèñèìîñòü r(t), à óðàâíåíèÿ (249), (250) çàâèñèìîñòè φ(θ) è θ(r). Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿìàòåðèàëüíîé òî÷êè â êâàäðàòóðàõ. Îíî ñîäåðæèò 6 íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ E, Mz , C3 , Q1 , Q2 , Q3 , êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.6. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè êàê êâàçèêëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ ØðåäèíãåðàÊàê áûëî óêàçàíî â II 4, âåëè÷èíà ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ íà äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè S[q̄(t)] ≡ S(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ïåðåõîäà Ψ(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû èç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè q (1) â òî÷êó q (2) íà èíòåðâàëå âðåìåíèîò t1 äî t2 [ñì.
ôîðìóëó (54)]. Ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòîâ q (2) , t2 , âåëè÷èíà S(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (231). Àíàëîãè÷íîýòîìó, áóäåì ðàññìàòðèâàòü âåëè÷èíó Ψ(q (1) , t1 , q (2) , t2 ) êàê ôóíêöèþ àðãóìåíòîâ q (2) , t2 ,íå èíòåðåñóÿñü ïîëîæåíèåì ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t1 . Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ÷åðåç Ψ(q, t). Ôóíêöèè S(q, t), Ψ(q, t) ïî-ïðåæíåìó ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (54)½¾iΨ(q, t) = a expS(q, t) .(251)~Ïðåîáðàçóåì òåïåðü óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (231) ê âèäó, â êîòîðîì íåèçâåñòíîéôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ψ(q, t), ðàññìàòðèâàÿ äëÿ ïðîñòîòû ñëó÷àé îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m, äâèæóùåéñÿ â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r, t). Äåêàðòîâû êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà r òî÷êè îáîçíà÷èì ÷åðåç (x1 , x2 , x3 ) è ïðèìåì èõ çà îáîáùåííûåêîîðäèíàòû. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä¶23 µ∂S1 X ∂S++ U (r, t) = 0 .(252)∂t2m∂xkk=1Äèôôåðåíöèðóÿ ñîîòíîøåíèå (251) îäèí ðàç ïî âðåìåíè è äâàæäû ïî êîîðäèíàòàì,ïîëó÷àåì½ ¾∂Ψii ∂Si ∂S=a expS =Ψ,(253)∂t~ ∂t~~ ∂t½ ¾¸·33Xi∂ 2Ψ X ∂i ∂S=a expS4Ψ ≡2∂xk∂xk ~ ∂xk~k=1k=1"½ ¾µ¶2½ ¾#3X1 ∂Sii ∂ 2Si=− 2a expS +Sa exp2~∂x~~∂x~kkk=1"#µ¶23Xi ∂ 2S1 ∂S+=− 2Ψ.~ ∂xk~ ∂x2kk=1 ñèëó óñëîâèÿ êâàçèêëàññè÷íîñòè ñèñòåìû (52) âòîðîé ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõâ ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì.
Ïîýòîìó ìîæíî ïðèáëèæåííîíàïèñàòü¶23 µ1 X ∂SΨ.(254)4Ψ = − 2~∂xkk=182Äîìíîæàÿ óðàâíåíèå (252) íà Ψ, ïåðåïèñûâàåì åãî ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (253), (254)â ñëåäóþùåì âèäåi~∂Ψ~2=−4Ψ + U (r, t)Ψ ,∂t2m(255)Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì óðàâíåíèåìêâàíòîâîé ìåõàíèêè. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìû ïîëó÷èëè åãî ïðèáëèæåííî èç óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, èìåííî óðàâíåíèå (255) îêàçûâàåòñÿ òî÷íûì, ò.å. îïèñûâàþùèì ëþáûå ñèñòåìû, à íå òîëüêî òå, ÷òî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (52).
Òàêèì îáðàçîì,ïðîäåëàííûé âûøå âûâîä óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê äåìîíñòðàöèþ òîãî, ÷òî óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ÿâëÿåòñÿ êâàçèêëàññè÷åñêèì ïðåäåëîìóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.83.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
