К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Äëÿ ýòîãî ñîâåðøèì â óðàâíåíèè (201) ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà îò ïåðåìåííûõ q, P, t ê ïåðåìåííûìq, Q, t, íàïèñàâ òîæäåñòâåííî â åãî ïðàâîé ÷àñòèPα dQα = d (Pα Qα ) − Qα dPα .Ïîëó÷èìsXÃ(pα dqα + Qα dPα ) + (H 0 − H) dt = d F (q, Q, t) +α=1sX!Pα Qα.(205)α=1Îáîçíà÷èì âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà â ïðàâîé ÷àñòèýòîãî òîæäåñòâà ÷åðåç Φ è âûðàçèì åå ÷åðåç ïåðåìåííûå q, P, t ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé(202), (203):"#sXΦ(q, P, t) = F (q, Q, t) +Pα Qα.α=1Q=Q(q,P,t)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ýòîé ôóíêöèè¶s µX∂Φ∂Φ∂ΦdΦ(q, P, t) =dqα +dPα +dt∂qα∂Pα∂tα=1â óðàâíåíèå (205) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëàõdqα , dPα , dt, ïîëó÷èì ôîðìóëû êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â âèäå∂Φ, α = 1, ..., s ,(206)pα =∂qα∂ΦQα =, α = 1, ..., s ,(207)∂Pα∂Φ.(208)H0 = H +∂tÀíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî áûëî áû çàäàòü ïåðåõîä q, p → Q, P ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ïåðåìåííûõ p, Q èëè p, P.68Ïðèìåð 19.
Òî÷å÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåéΦ(q, P, t) =sX(209)fα (q)Pα ,α=1ãäå fα (q) íåêîòîðûå ôóíêöèè. Ïî ôîðìóëàì (206) (208) íàõîäèìpα =sX∂fβ (q)β=1sX∂qαPβ ,(210)α = 1, ..., s ,sX∂PβQα =fβ (q)=fβ (q)δαβ = fα (q) ,∂Pαβ=1β=1α = 1, ..., s ,H0 = H .(211)(212)Óðàâíåíèå (211) ïîêàçûâàåò, ÷òî êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîðîæäàåìûå ôóíêöèÿìè âèäà (209) ÿâëÿþòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê îáû÷íûìè çàìåíàìè îáîáùåííûõ êîîðäèíàòq → f (q), ñ êîòîðûìè ìû èìåëè äåëî â ëàãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå (èõ îáû÷íî íàçûâàþòòî÷å÷íûìè).Ïðèìåð 20. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.
Ñîâåðøèì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ ëèíåéíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà [ñì. ïðèìåð 14], çàäàâàåìîå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåémωx2F (x, Q, t) =ctg Q .2Ïî ôîðìóëàì (202) (204) íàõîäèìp=∂F= mωx ctg Q ,∂xÎòñþäàrx=P =−2Psin Q ,mω∂Fmωx2 1=,∂Q2 sin2 Qp=√2P mω sin Q .H0 = H .(213)Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ñòàðóþ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà (172), ïîëó÷àåì íîâóþôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà â âèäåH 0 = ωP .Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â íîâûõ ïåðåìåííûõṖ = −Èõ ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ∂H 0= 0,∂QP = P0 ,Q̇ =∂H 0= ω.∂PQ = ωt + Q0 ,ãäå P0 , Q0 íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.
Ïîäñòàâëÿÿ åãî â (213), ïîëó÷àåì çàêîí äâèæåíèÿâ èñõîäíûõ êîîðäèíàòàõr2P0sin(ωt + Q0 ) .x(t) =mω694. Áåñêîíå÷íî-ìàëûå êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿËþáîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ, â òîì ÷èñëå è êàíîíè÷åñêîå, ìîæíî ïðåäñòàâèòüêàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áîëüøîãî ÷èñëà ïðåîáðàçîâàíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ áëèçêî êòîæäåñòâåííîìó. Äëÿ òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ìíîãèå ôîðìóëû è äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ. Ðàññìîòðèì êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåésXΦ(q, P, t) =qα Pα + φ(q, P, t) .α=1Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (206) (208)∂φ,∂qα∂φQα = qα +,∂Pα∂φH0 = H +.∂tpα = Pα +α = 1, ..., s ,(214)α = 1, ..., s ,(215)Âèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ φ(q, P, t) ÿâëÿåòñÿ ìàëîé, òî ñòàðûå è íîâûå ïåðåìåííûå ìàëîîòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.
 ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû ïåðåõîäà ìîæíî ïåðåïèñàòü â êîìïàêòíîì âèäå ñ ïîìîùüþ ñêîáîê Ïóàññîíà. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó φ(q, P, t)ìàëà, òî ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà O(φ2 ) åå àðãóìåíò P ìîæíî çàìåíèòü íà p.Íàïðèìåð, ïðîèçâîäíûå ∂φ(q, P, t)/∂P ìîæíî çàìåíèòü íà ∂φ(q, p, t)/∂p . Òîãäà èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (186), ïåðåïèøåì ôîðìóëû ïåðåõîäà îò ñòàðûõ ïåðåìåííûõ ê íîâûì ââèäåPα = pα + {φ, pα }q,p ,Qα = qα + {φ, qα }q,p ,α = 1, ..., s ,α = 1, ..., s ,(216)(217)ãäå íèæíèé èíäåêñ ó ñêîáîê Ïóàññîíà óêàçûâàåò ïåðåìåííûå, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõîíè îïðåäåëåíû. Çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè F (Q, P ) òàêæåìîæíî ïðåäñòàâèòü â àíàëîãè÷íîì âèäå, à èìåííî, èìåå쵶¶s µX∂φ∂F ∂φ∂φ∂F ∂φF (Q, P ) = F q +,p −= F (q, p) +−,∂p∂q∂qα ∂pα ∂pα ∂qαα=1ò.å.F (Q, P ) = F (q, p) + {φ, F }q,p .(218)Òåîðåìà îá èíâàðèàíòíîñòè ñêîáîê ÏóàññîíàÐàññìîòðèì äâå ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ F, G.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ q, p ê Q, P ÿâëÿåòñÿêàíîíè÷åñêèì, òî çíà÷åíèå âåëè÷èíû {F, G} íå çàâèñèò îò òîãî, âû÷èñëÿåòñÿ ëè îíà ïîñòàðûì ïåðåìåííûì èëè ïî íîâûì, ò.å.{F, G}q,p = {F, G}Q,P .70Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü F è G êàê ôóíêöèè íîâûõ ïåðåìåííûõ èðàññìîòðèì ñêîáêè Ïóàññîíà {F (Q, P ), G(Q, P )}q,p . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (218) è ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà O(φ2 ), ýòè ñêîáêè ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:{F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p) + {φ, F }q,p , G(q, p) + {φ, G}q,p }q,p= {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {{φ, F }q,p , G}q,p= {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {G, {F, φ}q,p }q,p .Ñîãëàñíî òîæäåñòâó ßêîáè, ñóììà âòîðîãî è òðåòüåãî ÷ëåíîâ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèèðàâíà −{φ, {G, F }}q,p . Òàêèì îáðàçîì,{F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p), G(q, p)}q,p + {φ, {F, G}}q,p . ñèëó ôîðìóëû (218) ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà åñòü â{F (Q, P ), G(Q, P )}Q,P , ÷òî è äîêàçûâàåò èíâàðèàíòíîñòü ñêîáîê Ïóàññîíà.òî÷íîñòèÒåîðåìà îá èíâàðèàíòíîñòè ôàçîâîãî îáúåìàÐàññìîòðèì ñèñòåìó, èìåþùóþ s ñòåïåíåé ñâîáîäû è ââåäåì 2s-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî,ñíàáæåííîå äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò, ïî îñÿì êîòîðîé îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿîáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ ñèñòåìû.
Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàþòôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñèñòåìû. Êàæäàÿ åãî òî÷êà îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñîñòîÿíèåñèñòåìû. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, äàííîìó â ãëàâå I, ñîñòîÿíèå ñèñòåìûâ íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè åå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò èîáîáùåííûõ ñêîðîñòåé â ýòîò ìîìåíò, îáîáùåííûå æå ñêîðîñòè âçàèìíî-îäíîçíà÷íîñâÿçàíû ñ îáîáùåííûìè èìïóëüñàìè ñîîòíîøåíèÿìè pα = ∂L/∂ q̇α , α = 1, ..., s.Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ îáëàñòü g ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà è îïðåäåëèì åå îáúåì γ :ZsYγ = dγ , dγ =dqα dpα .(219)α=1gÐàññìîòðèì, äàëåå, ïðîèçâîëüíîå êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ q, p êíîâûì ïåðåìåííûì Q, P.
Îáëàñòü â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, îáðàçîâàííîì íîâûìè ïåðåìåííûìè, íà êîòîðóþ îòîáðàæàåòñÿ îáëàñòü g, îáîçíà÷èì ÷åðåç G. Îïðåäåëèì îáúåìΓ ýòîé îáëàñòè ôîðìóëîé, àíàëîãè÷íîé (219):ZsYΓ = dΓ , dΓ =dQα dPα .α=1GÎêàçûâàåòñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîγ = Γ.(220)Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äëÿ áåñêîíå÷íî-ìàëîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ñîãëàñíî èçâåñòíîé ôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ â êðàòíîìèíòåãðàëå,ZZdΓ = Jdγ ,gG71ãäå J åñòü ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ îò ïåðåìåííûõ q, p ê ïåðåìåííûì Q, P.
Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íîâûõêîîðäèíàò ïî ñòàðûì: ∂Q1∂Q1 ∂Q1∂Q1 ······∂q1∂qs ∂p1∂ps ........ .... ∂Qs∂Q∂Q∂Qsss······∂q∂q∂p∂pss 11J = det ∂P1 · · · ∂P1 ∂P1 · · · ∂P1 ∂q1∂qs ∂p1∂ps ..... .... ... ∂Ps∂Ps ∂Ps∂Ps· · · ∂qs ∂p1 · · · ∂ps∂q1Äëÿ áåñêîíå÷íî-ìàëîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (216), (217) ýòà ìàòðèöà îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîé íà ÷ëåíû ïîðÿäêà O(φ).
Åñëè ýëåìåíòû íåêîòîðîé ìàòðèöû A èìåþò âèäAik = δik + aik , i, k = 1, ..., n, ãäå âñå âåëè÷èíû aik ìàëû, òî, ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíàìè ïîðÿäêà O(a2 ), èìååì äëÿ åå îïðåäåëèòåëÿ:det(δik + aik ) = 1 +nXaii .i=1Ïðèìåíÿÿ ýòó ôîðìóëó ê ìàòðèöå ÿêîáèàíà ïðåîáðàçîâàíèÿ (216), (217), íàõîäèìJ =1+sX∂{φ, qα }α=1∂qα+sX∂{φ, pα }α=1∂pα=1+sXα=1sX ∂ 2φ∂ 2φ−= 1,∂qα ∂pα α=1 ∂pα ∂qα÷òî è äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (220).5. Äåéñòâèå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáèÊàê ìû âèäåëè â II 4, çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ íà äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè èìååò âàæíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë îíî îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ïåðåõîäà ñèñòåìûâ êâàçèêëàññè÷åñêîì ñëó÷àå.
Òåïåðü ìû çàéìåìñÿ áîëåå ïîäðîáíûì èçó÷åíèåì ýòîéâåëè÷èíû.Ïîëàãàÿ â q(t) = q̄(t), p(t) = p̄(t) ôóíêöèîíàëå S[q(t), p(t)], ìû ïîëó÷èì íåêîòîðóþôóíêöèþ ïàðàìåòðîâ q (1) , t1 , q (2) , t2 , êîòîðûå îïðåäåëÿþò äåéñòâèòåëüíóþ òðàåêòîðèþ.Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ÷åðåç S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ). Ñòðóêòóðó ýòîé ôóíêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü, èññëåäóÿ êàê ìåíÿåòñÿ âåëè÷èíà äåéñòâèÿ ïðè ìàëîì èçìåíåíèè êàêîãî-ëèáîèç ïàðàìåòðîâ q (1) , t1 , q (2) , t2 .Çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ îò êîîðäèíàòÐàññìîòðèì äâå áëèçêèå äåéñòâèòåëüíûå òðàåêòîðèè ñèñòåìû, îäíà èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè (46), à äðóãàÿ óñëîâèÿìèqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) + δq (2) ,72α = 1, ..., s .(221)Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ýòè òðàåêòîðèè, îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç [q̄(t), p̄(t)] è[q̄(t) + δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)].
Äðóãèìè ñëîâàìè, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìà âûõîäèò èç òî÷êèñ êîîðäèíàòàìè q (1) â ìîìåíò âðåìåíè t1 , íî â ìîìåíò âðåìåíè t2 ïðèõîäèò â òî÷êè,ðàçíîñòü êîîðäèíàò êîòîðûõ ðàâíà δq (2) . Ðàçíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ(190) äëÿ ýòèõ äâóõ òðàåêòîðèé åñòüS(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )Ã!¯¯Zt2 Xs∂H(q, p̄, t) ¯¯∂H(q̄, p, t) ¯¯=p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −¯ δ q̄α −¯ δ p̄α dt∂q∂pααq=q̄p=p̄α=1t1¯t2"!à "¯ #¯ #s Zt2¯X¯¯∂H(q̄, p, t) ¯∂H(q, p̄, t) ¯¯δ q̄α + q̄˙α −δ p̄α dt .=p̄α δ q̄α ¯ +− p̄˙α +¯¯¯∂qα∂pαq=q̄p=p̄α=1α=1sXt1t1Èíòåãðàëüíûé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó òðàåêòîðèÿ q̄(t), p̄(t) äåéñòâèòåëüíàÿ, ò.å.
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (169),(170). Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì óñëîâèé (221) íàõîäèì(1)S(q , t1 ; q(2)(2)(1)(2)+ δq , t2 ) − S(q , t1 ; q , t2 ) =sXp̄α (t2 )δqα(2) .(222)α=1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîéS(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =∂S (2)δq .∂q (2)Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â óðàâíåíèå (222) è ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåçàâèñèìûõ âàðè(2)àöèÿõ δqα , α = 1, ..., s, ïîëó÷àåì∂S(2)∂qα= p̄α (t2 ) ,α = 1, ..., s .(223)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî âûâåñòè ñîîòíîøåíèå∂S(1)∂qα= −p̄α (t1 ) ,α = 1, ..., s .(224)Çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ îò âðåìåíèÐàññìîòðèì òåïåðü äâå áëèçêèå òðàåêòîðèè, îäíà èç êîòîðûõ ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè (46), à äðóãàÿ óñëîâèÿìèqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 + δt2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s ,(225)ñíîâà îáîçíà÷àÿ ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ýòè òðàåêòîðèè, ýòè òðàåêòîðèè ÷åðåç[q̄(t), p̄(t)] è [q̄(t) + δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)], ñîîòâåòñòâåííî.
Äðóãèìè ñëîâàìè, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñèñòåìà âûõîäèò èç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè q (1) â ìîìåíò âðåìåíè t1 , íî â òî÷êó73ñ êîîðäèíàòàìè q (2) ïðèõîäèò ñ ðàçíèöåé âî âðåìåíè, ðàâíîé δt2 . Ñîîòâåòñòâóþùàÿðàçíîñòü â âåëè÷èíå äåéñòâèÿ åñòüS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )!!t2Z+δt2à sZt2 ÃXsX=(p̄α + δ p̄α )(q̄˙α + δ q̄˙α ) − H(q̄ + δ q̄, p̄ + δ p̄, t) dt −p̄α q̄˙α − H(q̄, p̄, t) dt .t1α=1α=1t1Ðàçëàãàÿ ïåðâûé èíòåãðàë ïî δt2 ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, íàõîäèìà s!XS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =p̄α q̄˙α − H̄δt2α=1t=t2!ï¯Zt2 Xs∂H(q̄, p, t) ¯¯∂H(q, p̄, t) ¯¯+p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −¯ δ q̄α −¯ δ p̄α dt ,∂q∂pααq=q̄p=p̄α=1t1ãäå H̄ ≡ H(q̄, p̄, t) åñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà íà äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè.Ïðåîáðàçóÿ èíòåãðàëüíûé ÷ëåí êàê è âûøå ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì èó÷èòûâàÿ, ÷òî q̄(t), p̄(t) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåìS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =à sX!p̄α q̄˙α − H̄α=1δt2 +t=t2" sX#t2p̄α δ q̄αα=1.t1Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû δ q̄(t2 ) çàïèøåì óñëîâèå (225) äëÿ ôóíêöèè q̄(t) + δ q̄(t) :(q̄α + δ q̄α )(t2 + δt2 ) = qα(2) ,îòêóäà, ðàçëàãàÿ ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïî ìàëîìó δt2 , íàéäåìq̄α (t2 ) + q̄˙α (t2 )δt2 + δ q̄α (t2 ) = qα(2) .Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó óñëîâèé (46) äëÿ ôóíêöèè q̄(t)q̄α (t2 ) = qα(2) ,ïîëó÷àåìδ q̄α (t2 ) = −q̄˙α (t2 )δt2 .Òàêèì îáðàçîì,S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )à s!sXX=p̄α (t2 )q̄˙α (t2 ) − H̄(t2 ) δt2 −p̄α (t2 )q̄˙α (t2 )δt2 = −H̄(t2 )δt2 ,α=1α=1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîéS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 + δt2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) =74∂Sδt2 .∂t2(226)Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â óðàâíåíèå (226) è ñîêðàùàÿ íà δt2 , ïîëó÷àåì∂S= −H̄(t2 ) .∂t2(227)∂S= H̄(t1 ) .∂t1(228)Àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ ñîîòíîøåíèåÒåîðåìà ËèóâèëëÿÐàññìîòðèì íåêîòîðóþ îáëàñòü g â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå äàííîé ñèñòåìû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
