К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Êàê ìûçíàåì, êàæäàÿ òî÷êà ýòîé îáëàñòè îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ýòè ñîñòîÿíèÿ çàäàíû â ìîìåíò âðåìåíè t1 è ðàññìîòðèì èõ ýâîëþöèþçà ôèêñèðîâàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t2 − t1 = t. Ïî åãî èñòå÷åíèè êàæäîå ñîñòîÿíèå (q (1) , p(1) ) ∈ g ïåðåéäåò â íåêîòîðîå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (q (2) , p(2) ), òàê ÷òî îáëàñòüg îòîáðàçèòñÿ íà íåêîòîðóþ íîâóþ îáëàñòü G ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû (ñì.Ðèñ.
10). Âûÿñíèì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ ôàçîâûå îáúåìû ýòèõ îáëàñòåé. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (223), (224), (227), (228) ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþäëÿ ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà äåéñòâèÿ êàê ôóíêöèè êîîðäèíàò è âðåìåíè:(1)(2)dS(q , t1 ; q , t2 ) =sX£¤p̄α (t2 )dqα(2) − p̄α (t1 )dqα(1) − H̄(t2 )dt2 + H̄(t1 )dt1 . (229)α=1Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì tdt2 = dt1 ,ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (229) â âèäåsXα=1p̄α (t1 )dqα(1)− H̄(t1 )dt1 =sXp̄α (t2 )dqα(2) − H̄(t2 )dt1 − dS(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) .α=1(230)Ïîñêîëüêó êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì, ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè îáëàñòåé g, G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò (q (1) , p(1) ) → (q (2) , p(2) ). Ñðàâíåíèå óðàâíåíèé (201) (230) ïîêàçûâàåò òîãäà, ÷òîýòî ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåéF (q (1) , q (2) , t1 ) = −S(q (1) , t1 ; q (2) , t1 + t) ,ïðè÷åì q (1) , p(1) èãðàþò ðîëü ñòàðûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ,à q (2) , p(2) íîâûõ.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ôàçîâûé îáúåì èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì êâûâîäó, ÷òî îáúåìû îáëàñòåé g è G ðàâíû, ò.å. ôàçîâûé îáúåì ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû. Ýòîò ðåçóëüòàò, íàçûâàåìûé òåîðåìîé Ëèóâèëëÿ, èãðàåò âàæíåéøóþðîëü â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå.75Ðèñ. 10: Ýâîëþöèÿ îáëàñòè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå â ñëó÷àå îäíîìåðíîé ñèñòåìû.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáèÑîîòíîøåíèÿ (223), (227) ïîçâîëÿþò çàïèñàòü çàìêíóòîå óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèèS(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ).
Äëÿ ýòîãî çàôèêñèðóåì ìîìåíò âðåìåíè t1 è íà÷àëüíûå êîîðäèíàòûq (1) è áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿ ëèøü îò ïàðàìåòðîâ t2 , q (2) , îáîçíà÷àÿèõ äëÿ êðàòêîñòè ïðîñòî t, q. Ñîîòâåòñòâåííî, îáîçíà÷åíèå S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) ñîêðàòèì äîS(q, t). Ïîñêîëüêó â äàëüíåéøåì âñå âåëè÷èíû âû÷èñëÿþòñÿ íà äåéñòâèòåëíîé òðàåêòîðèè, ÷åðòà íàä q, p, H áóäåò îïóñêàòüñÿ. Âûðàæàÿ àðãóìåíòû p ôóíêöèè Ãàìèëüòîíàâ ïðàâîé ÷àñòè (227) ÷åðåç ïðîèçâîäíûå îò äåéñòâèÿ ñ ïîìîùüþ (223), ïðèõîäèì êóðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîá赶∂S∂S+ H q,,t = 0.(231)∂t∂qÓðàâíåíèå (231) ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ äåéñòâèÿ S(q, t), ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé îò s + 1íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ: s êîîðäèíàò qα è âðåìåíè t.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèåÃàìèëüòîíà-ßêîáè âïîëíå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (èëè Ëàãðàíæà), âòîì ñìûñëå ÷òî ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è çàêîí äâèæåíèÿñèñòåìû. Îäíàêî äëÿ ýòîãî ïîäõîäèò äàëåêî íå âñÿêîå ðåøåíèå. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå(231) èìååò òàêîå ìàëîèíòåðåñíîå ðåøåíèå: S(q, t) = A ñ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé A.Âûäåëèì íóæíûé íàì êëàññ ðåøåíèé ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì: ïîëíûì èíòåãðàëîìóðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ñèñòåìû ñ s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ åãî ðåøåíèå, ñîäåðæàùåå ðîâíî s + 1 íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ.Îäíîé èç ýòèõ ïîñòîÿííûõ áóäåò àääèòèâíàÿ ïîñòîÿííàÿ, ïîñêîëüêó S âõîäèò â óðàâíåíèå (231) òîëüêî ÷åðåç ñâîè ïðîèçâîäíûå, òàê ÷òî åñëè íåêîòîðîå S(q, t) ÿâëÿåòñÿåãî ðåøåíèåì, òî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ è S 0 (q, t) = S(q, t) + A.
Ïîëíûé èíòåãðàë áóäåìîáîçíà÷àòü ÷åðåç S(q, C, t) + A, ãäå C = {Cα } , α = 1, ..., s åñòü íàáîð s íåçàâèñèìûõïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.Ïîêàæåì òåïåðü êàêèì îáðàçîì ìîæíî íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû, åñëè èçâåñòåí ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Äëÿ ýòîãî ñîâåðøèì êàíîíè÷å76ñêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ q, p → Q, P, âûáðàâ â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Φ(q, P, t) = S(q, P, t). Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü äåéñòâèÿîò Cα , α = 1, ..., s ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê çàâèñèìîñòü îò íîâûõ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâPα , α = 1, ..., s.
Òàêîå ðàññìîòðåíèå äîïóñòèìî, ò.ê. ïîñòîÿííûå C ïî óñëîâèþ íåçàâèñèìû è ïðîèçâîëüíû. Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëàì ïåðåõîäà (206) (208) áóäåì èìåòü∂S, α = 1, ..., s ,∂qα∂SQα =, α = 1, ..., s ,∂Pα∂SH0 = H +.∂tpα =(232)(233)(234)Ïîñêîëüêó S óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (231), òî íîâàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H 0 ≡ 0.Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â íîâûõ ïåðåìåííûõ Q, P èìåþò ñëåäóþùèé ïðîñòîéâèä∂H 0= 0,∂Qα∂H 0Q̇α == 0.∂CαṖα = −(235)(236)Èç óðàâíåíèÿ (235) ñëåäóåò ïîñòîÿíñòâî íîâûõ èìïóëüñîâ Pα , α = 1, ..., s (ýòè ïîñòîÿííûå ìû áóäåì ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àòü ÷åðåç Cα ), à èç óðàâíåíèÿ (236) ïîñòîÿíñòâî íîâûõ êîîðäèíàò Qα , α = 1, ..., s . Ó÷èòûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, âåðíåìñÿ ñíîâà êóðàâíåíèÿì (232) (233). Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé âîñïðîèçâîäèò ñîîòíîøåíèå (223),îïðåäåëÿþùåå îáîáùåííûå èìïóëüñû â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè ïî äåéñòâèþ ñèñòåìû.Âòîðîå æå ñâÿçûâàåò îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ñèñòåìû è âðåìÿ, ò.å.
îïðåäåëÿåò çàêîíäâèæåíèÿ ñèñòåìû.Èòàê, ñôîðìóëèðóåì îáùèé àëãîðèòì ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è ìåõàíèêè â ìåòîäåÃàìèëüòîíà-ßêîáè.a. Ïî ôóíêöèè Ëàãðàíæà ñèñòåìû ïîñòðîèòü åå ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà [ñì. V 1].b. Ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà çàïèñàòü óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíàßêîáè (231).c. Íàéòè ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ S(q, C, t) + A, ñîäåðæàùåå íåçàâèñèìûå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå C (ïîìèìî àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé A) â ÷èñëå, ðàâíîì ÷èñëóñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû.d. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü íàéäåííóþ ôóíêöèþ S(q, C, t) ïî ïðîèçâîëüíûì ïîñòîÿííûì C, ïðèðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íîâûì ïðîèçâîëüíûì ïîñòîÿííûì Q :∂S(q, C, t)= Qα α = 1, ..., s .∂Cα77Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáèÏîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ìîæåò áûòü íàéäåí â êâàäðàòóðàõâ ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûõ ðàçäåëÿþùèõñÿ ïåðåìåííûõ. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (231) ñõåìàòè÷åñêè â âèä嵶∂S∂S ∂SF q1 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(237)∂q1∂qs ∂tÏóñòü êàêàÿ-ëèáî èç íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ñêàæåì q1 , âõîäèò â ýòî óðàâíåíèå âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîèçâîäíîé ∂S/∂q1 â íåêîòîðîé êîìáèíàöèè, íå ñîäåðæàùåéÿâíî äðóãèõ ïåðåìåííûõ (íåÿâíî â S âõîäÿò âñå ïåðåìåííûå).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå (237) èìååò ñïåöèàëüíûé âèäµ µ¶¶∂S∂S∂S ∂SF f q1 ,, q2 , ..., qs , t,, ...,,= 0.(238)∂q1∂q2∂qs ∂t ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííàÿ q1 îòäåëÿåòñÿ. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿÃàìèëüòîíà-ßêîáè ìîæíî èñêàòü â âèäåS(q, t) = S1 (q1 ) + S 0 (q2 , ..., qs , t) .Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (238), ïîëó÷àåìµ µ¶¶dS1∂S 0∂S 0 ∂S 0F f q1 ,, q2 , ..., qs , t,, ...,,= 0.dq1∂q2∂qs ∂t(239)(240) ðåçóëüòàòå â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè âûäåëèëàñü êîìáèíàöèÿ f (q1 , dS1 /dq1 ) ,êîòîðàÿ íè ÿâíî, íè íåÿâíî íå ñîäåðæèò ïåðåìåííûå q2 , ..., qs , t.
Ïîñêîëüêó æå âñå ïåðåìåííûå q1 , ..., qs , t â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî ðàâåíñòâî (240) ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòà êîìáèíàöèÿ òîæäåñòâåííîðàâíà íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé:µ¶dS1f q1 ,= C1 .(241)dq1Óðàâíåíèå (241) ÿâëÿåòñÿ óæå îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãîïîðÿäêà, êîòîðîå ìîæåò áûòü ðåøåíî â êâàäðàòóðàõ. Óðàâíåíèå æå (240) ïðèíèìàåòâè䵶∂S 0∂S 0 ∂S 0, ...,,F C1 , q2 , ..., qs , t,= 0.(242)∂q2∂qs ∂tÝòî óðàâíåíèå èìååò òîò æå âèä, ÷òî è èñõîäíîå óðàâíåíèå (237), íî ñîäåðæèò íà îäíóíåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ìåíüøå. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî â óðàâíåíèè (242) íåêîòîðàÿèç ïåðåìåííûõ q2 , ..., t ñíîâà îòäåëÿåòñÿ.
Òîãäà ê íåé ñëåäóåò ïðèìåíèòü îïèñàííóþâûøå ïðîöåäóðó. Åñëè òàêèì îáðàçîì óäàåòñÿ îòäåëèòü âñå ïåðåìåííûå, òî â ðåçóëüòàòåìû ïîëó÷àåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè â âèäåS = A + S0 (t) +sXSα (qα , C) ,(243)α=1ñîäåðæàùåå s+1 íåçàâèñèìûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ A, Cα , α = 1, ..., s, ò.å. ïîëíûéèíòåãðàë óðàâíåíèÿ.78Ïðèìåð 21. Äâèæåíèå â ïîëå ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ.
Ðàññìîòðèì çàðÿæåííóþ ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, äâèæóùóþñÿ â ïîëå ñèñòåìû çàðÿäîâ íà ðàññòîÿíèÿõ, áîëüøèõ ïîñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè ñèñòåìû. Äàæå åñëè ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ â öåëîìýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé, íà òî÷êó áóäåò äåéñòâîâàòü íåêîòîðàÿ ñèëà áëàãîäàðÿ òîìó,÷òî êóëîíîâû ïîëÿ ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìó, íå âïîëíå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Íàïðèìåð, ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ïîëå ìîëåêóëû H Cl ýëåêòðîí áóäåò ïðèòÿãèâàòüñÿ ê ìîëåêóëå, îáëåòàÿ åå ñî ñòîðîíû àòîìà âîäîðîäà, è îòòàëêèâàòüñÿ ñî ñòîðîíûàòîìà õëîðà. Îïðåäåëèì ïîòåíöèàë ïîëÿ òàêîé ñèñòåìû.
Âûáåðåì íà÷àëî äåêàðòîâîéñèñòåìû êîîðäèíàò ãäå-íèáóäü âíóòðè ñèñòåìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç ri , i = 1, ..., n ðàäèóñâåêòîðû ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö, à ÷åðåç r ðàäèóñ-âåêòîð ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ïîóñëîâèþ,|r| À |ri | , i = 1, ..., n .Äëÿ êóëîíîâà ïîòåíöèàëà i-îé ÷àñòèöû â òî÷êå r ìîæíî ïðèáëèæåííî íàïèñàòü (qi åå çàðÿä)ϕi =qiqiqiqq (r, r )qi¶≈ i+ i 3 i .=p≈ r≈ µ(r, ri )|r − ri |rr(r − ri )22(r, ri )r 1−r 1−r2r2Ñóììèðóÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì è ó÷èòûâàÿ íåéòðàëüíîñòü ñèñòåìû (ϕ=(d, r),r3d=nXnPi=1qi = 0), ïîëó÷àåìqi ri .i=1Âåêòîð d íàçûâàåòñÿ äèïîëüíûì ìîìåíòîì ñèñòåìû. Íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êèâ ñëó÷àå, êîãäà d íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Âûáåðåì ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñíà÷àëîì â òî÷êå r = 0 è ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâëåííîé ïàðàëëåëüíî âåêòîðó d.
Òîãäàôóíêöèÿ Ëàãðàíæà òî÷êè áóäåò èìåòü âèä´ d cos θm³ 2L=ṙ + r2 sin2 θ φ̇2 + r2 θ̇2 −, d ≡ |d| .(244)2r2Îòñþäà íàõîäèì îáîáùåííûå èìïóëüñû è îáîáùåííóþ ýíåðãèþ òî÷êè∂L∂L∂L= mṙ , pφ == mr2 sin2 θ φ̇ , pθ == mr2 θ̇ ,∂ ṙ∂ φ̇∂ θ̇³´m 2d cos θE =ṙ + r2 sin2 θ φ̇2 + r2 θ̇2 +.2r2pr =(245)Âûðàæàÿ îáîáùåííûå ñêîðîñòè ÷åðåç îáîáùåííûå èìïóëüñû è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò âîáîáùåííóþ ýíåðãèþ, íàõîäèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíඵp2φp2θd cos θ12.H=pr + 2 2 + 2 +2mr2r sin θ rÍàêîíåö, ïî ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà çàïèñûâàåì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè(µ ¶µ ¶2µ ¶2 )211∂S1 ∂Sd cos θ∂S∂S++ 2 2+ 2+= 0.∂t2m∂rr∂θr2r sin θ ∂φ79(246)Ïåðåìåííûå t, φ âõîäÿò â ýòî óðàâíåíèå ëèøü ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ∂S/∂t, ∂S/∂φ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ èùåì ðåøåíèå â âèäåS = S0 (t) + S1 (φ) + S 0 (r, θ)è ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿìdS0= C1 ,dtdS1= C2 ,dφ(µ¶2µ¶2 )1∂S 0C221 ∂S 0d cos θC1 ++ 2 2 + 2+= 0.2m∂r∂θr2r sin θ rÏåðâûå äâà èç ýòèõ óðàâíåíèé èíòåãðèðóþòñÿ òðèâèàëüíî:S0 = C 1 t ,S1 = C2 φ .Ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå#"µ 0 ¶2µ 0 ¶21∂SC22∂S+ 2+ 2md cos θ = 0 .2mC1 ++∂rr sin2 θ∂θÈç ýòîé çàïèñè âèäíî, ÷òî ïåðåìåííàÿ θ îòäåëÿåòñÿ, ïîýòîìó ìû ïîëàãàåìS 0 = S3 (θ) + S4 (r)è ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿC22+sin2 θµdS3dθ¶2+ 2md cos θ = C3 ,µ¶2dS4C32mC1 ++ 2 = 0.drrÈõ ðåøåíèÿ èìåþò âèärZθ±S3 =θ0ZrS4 =C3 − 2md cos θ −r±−2mC1 −C22dθ ,sin2 θC3dr .r2r0Èòàê, ìû íàøëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè â âèäårZθS = A + C1 t + C2 φ +±C22dθ +C3 − 2md cos θ −sin2 θθ0rZr±−2mC1 −C3dr .
(247)r2r0Ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò, ïîìèìî ïðîèçâîëüíîé àääèòèâíîé ïîñòîÿííîé A, ïðîèçâîëüíûåïîñòîÿííûå C1 , C2 , C3 , θ0 , r0 . Îäíàêî èçìåíåíèå θ0 , r0 ýêâèâàëåíòíî ïåðåîïðåäåëåíèþ A,80òàê ÷òî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ëèøü ïîñòîÿííûå C1 , C2 , C3 . Èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëóñòåïåíåé ñâîáîäû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (247) ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (246). Îïðåäåëèì çíàêè, ñ êîòîðûìè ñëåäóåò áðàòüêîðíè â ýòîì ðåøåíèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
