К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 4
Текст из файла (страница 4)
 ñèëó ýòîé îäíîðîäíîñòèôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå ìîæåò çàâèñåòü îò âðåìåíè ÿâíî, ò.å. äîëæíî áûòü∂L= 0.∂tÂû÷èñëèì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî âðåìåíè, ó÷èòûâàÿ ýòî óñëîâèå,à òàêæå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (16)¾ X¾ X¾½s ½s ½s∂Ld ∂L∂Ld ∂LdL X ∂L=q̇α +q̈α =q̇α +q̈α =q̇α ,dt∂q∂q̇dt∂q̇∂q̇dt∂q̇αααααα=1α=1α=1èëèddt()sX∂Lq̇α − L = 0 .∂ q̇αα=116Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíàsX∂LE=q̇α − L ,∂ q̇αα=1(41)íàçûâàåìàÿ îáîáùåííîé ýíåðãèåé, ñîõðàíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû. Ýòî åñòü íàèáîëåå îáùåå âûðàæåíèå äëÿ îáîáùåííîé ýíåðãèè, ïðèìåíèìîå ê ôóíêöèè Ëàãðàíæàïðîèçâîëüíîãî âèäà. Ïðèìåíèì åãî ê ñëó÷àþ êîãäà ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèäL = T + V − U, ãäå V îáîçíà÷àåò ÷ëåíû, ëèíåéíûå ïî ñêîðîñòÿì ÷àñòèö (ñì. I 4).
Äëÿýòîãî ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ. Ïóñòüôóíêöèÿ f (x1 , ..., xn ) äèôôåðåíöèðóåìà è òàêîâà, ÷òîf (ax1 , ..., axs ) = ad f (x1 , ..., xs ),(42)ãäå a ïðîèçâîëüíîå, à d íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òîôóíêöèÿ f (x1 , ..., xs ) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ, à ÷èñëî d íàçûâàþò ñòåïåíüþ îäíîðîäíîñòè. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ îïðåäåëåíèå (42) ïî a è ïîëîæèâçàòåì a = 1, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåsXα=1xα∂f (x1 , ..., xs ) = d f (x1 , ..., xs ),∂xα(43)êîòîðîå è ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Ýéëåðà. Ïðè ïðèìåíåíèè ýòîé òåîðåìû êâûðàæåíèþ (41) ïåðåìåííûìè xα ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå ñêîðîñòè q̇α .
Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (13) äåêàðòîâû ñêîðîñòè ṙ ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè ôóíêöèÿìèîáîáùåííûõ ñêîðîñòåé q̇α ïåðâîé ñòåïåíè, òî ïðè èõ ïîäñòàíîâêå â ôóíêöèþ Ëàãðàíæàìû ïîëó÷èì, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé îáîáùåííûõñêîðîñòåé âòîðîé ñòåïåíè, îáîáùåííûé ïîòåíöèàë V îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ïåðâîéñòåïåíè, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîé ñòåïåíè, ïîñêîëüêó U îò ñêîðîñòåé âîîáùå íå çàâèñèò. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ýéëåðà, ìû ïîëó÷èìsX∂Tq̇α= 2T ,∂q̇αα=1sX∂Vq̇α=V ,∂q̇αα=1sXα=1q̇α∂U= 0.∂ q̇αÏîäñòàíîâêà â (41) äàåòE =T +U.(44)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü îáîáùåííóþ ýíåðãèþ, â ôóíêöèè Ëàãðàíæàñëåäóåò îïóñòèòü ÷ëåíû, ëèíåéíûå ïî îáîáùåííûì ñêîðîñòÿì è ïîìåíÿòü çíàê ïåðåä÷ëåíàìè, îò íèõ íå çàâèñÿùèìè.Ïðèìåíÿÿ ñôîðìóëèðîâàííîå ïðàâèëî, ïîëó÷àåì îáîáùåííóþ ýíåðãèþ,Ïðèìåð 4.ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà (22) äëÿ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëåE=mṙ 2+ qϕ(r, t) .2Îíà ñîõðàíÿåòñÿ, åñëè ïîòåíöèàëû A, ϕ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè ÿâíî.17(45)Ðèñ.
2: Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è îäíîé èçáëèçêèõ ê íåé âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ).Ïðèìåð 5.Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (28) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïîä äåéñòâèåìñèëû òðåíèÿ, ÿâíî çàâèñèò îò âðåìåíè, ïîýòîìó åå îáîáùåííàÿ ýíåðãèÿ íå ñîõðàíÿåòñÿ.3. Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿÏóñòü äâèæåíèå äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L(q, q̇, t), t1 , t2 íåêîòîðûå ìîìåíòû âðåìåíè (t1 < t2 ), èqα (t), α = 1, ..., s íàáîð äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé âðåìåíè, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿìqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) ,α = 1, ..., s ,(46)ãäå q (1) è q (2) çàäàííûå çíà÷åíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû â ìîìåíòû âðåìåíèt1 è t2 , ñîîòâåòñòâåííî. Ëþáîé òàêîé íàáîð íàçîâåì âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìû.Ñðåäè ìíîæåñòâà âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé èìååòñÿ îäíà òðàåêòîðèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿóðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà, êîòîðóþ ìû íàçîâåì äåéñòâèòåëüíîé.Äëÿ äàííîé âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè q(t) ïîñòðîèì èíòåãðàëZt2S[q(t)] =L(q(t), q̇(t), t)dt .(47)t1Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó íàáîðó ôóíêöèé q(t) ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÷èñëî S[q(t)].
Òàêèå îáúåêòû, ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè îò ôóíêöèé, íàçûâàþò ôóíêöèîíàëàìè. ÔóíêöèîíàëS[q(t)] íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì ñèñòåìû.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (16) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ñëåäóþùåãîâàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà, íàçûâàåìîãî ïðèíöèïîì íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ: Íà ëþáîìâðåìåííóì îòðåçêå t ∈ [t1 , t2 ] ñèñòåìà äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî åå äåéñòâèåïðèíèìàåò íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå, ïðè÷åì ñðàâíèâàþòñÿ âñå âèðòóàëüíûåòðàåêòîðèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (46).Äîêàçàòåëüñòâî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç q̄(t) âèðòóàëüíóþ òðàåêòîðèþ, íà êîòîðîé äåéñòâèå ñèñòåìû ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, è ðàññìîòðèì áëèçêèå ê íåé òðàåêòîðèè q(t) = q̄(t) + δq(t), ãäå δq(t) ìàëûå ôóíêöèè âðåìåíè (ñì. Ðèñ. 2). Ïðè ïåðåõîäåîò q̄(t) ê q̄(t) + δq(t) äåéñòâèå âîçðàñòàåò.  ïåðâîì ïîðÿäêå ïî ìàëûì δq(t) èçìåíåíèå18äåéñòâèÿ áóäåò ðàâíîδS ≡ S[q̄(t) + q(t)] − S[q̄(t)]Zt2Zt2˙ + δ q̇(t), t)dt − L(q̄(t), q̄(t),˙=L(q̄(t) + δq(t), q̄(t)t)dtt1t1Zt2s ½Xt1α=1=¾∂L∂Lδqα (t) +δ q̇α (t) dt ,∂qα∂ q̇α(48)ãäå ïðîèçâîäíûå ∂L/∂q, ∂L/∂ q̇ âû÷èñëÿþòñÿ íà òðàåêòîðèè q̄(t).
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî(29), êîòîðîå äëÿ âàðèàöèé âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé âûâîäèòñÿ â òî÷íîñòè òàê æå, êàêâ II 1, ïðîèíòåãðèðóåì âòîðîé ÷ëåí â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ïî ÷àñòÿìZt2 Xst1α=1sX∂Lδ q̇α dt =∂ q̇αα=1Zt2t1¯ t2ss Zt2¯XX∂L d∂Ld ∂L¯δqα (t)dt =δqα (t)¯ −δqα (t)dt .¯∂ q̇α dt∂ q̇αdt ∂ q̇αα=1α=1t1t1Ïåðâûé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè îáðàùàåòñÿ â íóëü, ïîñêîëüêó êàê ôóíêöèÿ q̄(t),òàê è ôóíêöèÿ q̄(t) + δq(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (46), è ñëåäîâàòåëüíî, δq(t1 ) =δq(t2 ) = 0. Ïîýòîìó âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ïðèíèìàåò âèäs ZX½t2δS =α=1 tδqα (t)∂Ld ∂L−∂qα dt ∂ q̇α¾dt .(49)1Ïî ïðåäïîëîæåíèþ, δS > 0.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî δS íà ñàìîì äåëå äîëæíî áûòü ðàâíîíóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ âèðòóàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ q̄(t) +δq(t), äëÿ êîòîðîé δS > 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (49) ñëåäîâàëî áû, ÷òî äëÿ âèðòóàëüíîéòðàåêòîðèè q̄(t) − δq(t) âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ δS < 0, â ïðîòèâîðå÷èè ñ ìèíèìàëüíîñòüþâåëè÷èíû S[q̄(t)].
Òàêèì îáðàçîì,s ZX½t2δS =α=1 tδqα (t)∂Ld ∂L−∂qα dt ∂ q̇α¾dt = 0 .(50)1Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è ïðîèçâîëüíîñòè èõ âàðèàöèé, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî áóäåò óäîâëåòâîðÿòüñÿ, òîëüêî åñëè êîýôôèöèåíòû ïðè âñåõ δq íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò.å.
ôóíêöèè q̄(t) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿìËàãðàíæàd ∂L∂L−= 0,∂qα dt ∂ q̇αα = 1, ..., s ,à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî q̄(t) äåéñòâèòåëüíàÿ òðàåêòîðèÿ.194. Îòñòóïëåíèå â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó: ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ è àìïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû ðàìêàõ ñàìîé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè äåéñòâèå íå èìååò êàêîãî-ëèáî íàãëÿäíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà.  äåéñòâèòåëüíîñòè, îäíàêî, ýòîò îáúåêò èãðàåò â ôèçèêåôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.  ÷àñòíîñòè, ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ âîçíèêàåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðè ðàññìîòðåíèè êëàññè÷åñêèõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ òî÷êè çðåíèÿêâàíòîâîé ôèçèêè.Ðàññìîòðèì ñíîâà ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé è ñîñòàâèì ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó¾½Xi(1)(2)Ψ(q , t1 ; q , t2 ) = CS[q(t)] ,(51)exp~q(t)ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì âèðòóàëüíûì òðàåêòîðèÿì, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì (46), ~ = 1, 055 · 10−27 ã·ñì2 /ñ åñòü òàê íàçûâàåìàÿ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, à C íîðìèðîâî÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ.
 êà÷åñòâå àðãóìåíòîâ ââåäåííîé ôóíêöèè Ψ óêàçàíû ïàðàìåòðû, çàäàþùèå ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ òðàåêòîðèé â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì, äàííûì â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Êîíå÷íî, ïîñêîëüêó ñêîëü óãîäíî ìàëàÿ äåôîðìàöèÿäàííîé âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè ïåðåâîäèò åå â äðóãóþ âèðòóàëüíóþ òðàåêòîðèþ, òîäëÿ ïðèäàíèÿ ðåàëüíîãî ñìûñëà âûðàæåíèþ (51) òðåáóåòñÿ óêàçàòü, êàê èìåííî âû÷èñëÿåòñÿ ñóììà ïî òðàåêòîðèÿì, ò.å. çàäàòü ïëîòíîñòü òðàåêòîðèé â êàæäîì ó÷àñòêå ïðîñòðàíñòâà. Îäíàêî ïîñêîëüêó â äàëüíåéøåì ýòè äåòàëè íàì íå ïîíàäîáÿòñÿ, ìûëèøü óêàæåì, ÷òî ýòó ïëîòíîñòü ñëåäóåò ñ÷èòàòü îäèíàêîâîé âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà è íåçàâèñÿùåé îò âðåìåíè.Ôóíêöèÿ Ψ(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ) íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ïåðåõîäà è èãðàåò öåíòðàëüíóþðîëü â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
Êâàäðàò åå ìîäóëÿ, |Ψ|2 , îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü íàéòèñèñòåìó â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè q (2) â ìîìåíò âðåìåíè t2 , åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t1 îíàíàõîäèëàñü â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè q (1) . Âûðàæåíèå (51) ïîêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäàïåðåõîäà èç q (1) â q (2) ñêëàäûâàåòñÿ èç ýëåìåíòàðíûõ àìïëèòóä, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó ïî êàêîé-ëèáî âèðòóàëüíîé òðàåêòîðèè, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî äåéñòâèå S[q(t)] ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìå, ò.å. ñèñòåìå, äâèæåíèå êîòîðîé õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ìåõàíèêîé Íüþòîíà,íàïðèìåð, ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó. Äëÿ òàêîé ñèñòåìû âåëè÷èíà S íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ïðåâîñõîäèò ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà,S À ~.(52)Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñïîíåíòà, ñòîÿùàÿ ïîä çíàêîì ñóììû â (51), èìååò áîëüøîé ïî ìîäóëþ ìíèìûé ïîêàçàòåëü.
Ïîýòîìó óæå ñðàâíèòåëüíî ìàëàÿ âàðèàöèÿ òðàåêòîðèè δqïðèâîäèò ê áîëüøîìó èçìåíåíèþ ïîêàçàòåëÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýêñïîíåíòà ÿâëÿåòñÿáûñòðî îñöèëëèðóþùåé ôóíêöèåé òðàåêòîðèè. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè âêëàäû ñîñåäíèõ òðàåêòîðèé ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, àíàëîãè÷íî òîìó êàê èíòåãðàë îò ñèíóñà äàåò òåì ìåíüøåå çíà÷åíèå, ÷åì áûñòðååñèíóñ îñöèëëèðóåò. Òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå âêëàäû ñîñåäíèõ òðàåêòîðèé íå áóäóò êîìïåíñèðîâàòü äðóã äðóãà, à èìåííî â òîì, êîãäà äåéñòâèå S[q(t)] ìåäëåííî ìåíÿåòñÿ âîêðåñòíîñòè êàêîé-ëèáî òðàåêòîðèè q̄(t) :S[q̄(t) + δq(t)] ≈ S[q̄(t)] ,20ò.å.S[q̄(t) + δq(t)] − S[q̄(t)] ≡ δS ≈ 0 .(53) ýòîì ñëó÷àå âêëàäû ñîñåäíèõ òðàåêòîðèé áóäóò ñêëàäûâàòüñÿ, òàê ÷òî âñÿ ñóììà ââûðàæåíèè (51) ñâåäåòñÿ ê îäíîìó ÷ëåíó:½¾i(1)(2)(54)Ψ(q , t1 ; q , t2 ) ≈ a expS[q̄(t)] ,~ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé a.
 ïðåäåëå S/~ → ∞ ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà â ïðèâåäåííûõ âûøå ñîîòíîøåíèÿõ çàìåíÿþòñÿ òî÷íûìè, â ÷àñòíîñòè, óñëîâèå (53) ïåðåõîäèò âóðàâíåíèå (50). Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ïåðåõîäà êâàçèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû ýôôåêòèâíî âûãëÿäèò òàê, êàê åñëè áû ýòà ñèñòåìà äâèãàëàñü ëèøü ïî îäíîé òðàåêòîðèèq̄(t), îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà.III. ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈßÎáùèé âèä ôóíêöèè Ëàãðàíæà îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è â ïîñòîÿííîì ïîòåíöèàëå. Òèïû îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Ïåðèîä ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ.Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê. Çàäà÷à äâóõ òåë. Ñâåäåíèå ê îäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷å, è îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è â êâàäðàòóðàõ.
Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë. Êóëîíîâî ïîëå. Êëàññèôèêàöèÿ âîçìîæíûõ òèïîâ äâèæåíèÿ â êóëîíîâîì ïîëå. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè.Çàêîíû Êåïëåðà. Çàäà÷à ðàññåÿíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ. Ôîðìóëà Ðåçåðôîðäà.Ïåðåõîäÿ ê ïðèëîæåíèÿì ôîðìàëèçìà Ëàãðàíæà ê èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì, ñôîðìóëèðóåì ñïåðâà îáùèé àëãîðèòì ïðèìåíåíèÿ ýòîãîôîðìàëèçìà:A. Îïðåäåëèòå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû, s. Äëÿ ñèñòåìû N ìàòåðèàëüíûõòî÷åê s = 3N − n, ãäå n ÷èñëî ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà ñèñòåìó.B. Âûáåðèòå îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ñèñòåìû, qα , α = 1, ..., s è âûðàçèòå ÷åðåç íèõäåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷åê ñèñòåìû, ri = ri (q), i = 1, ..., N.
Îáîáùåííûå êîîðäèíàòû äîëæíû ðåøàòü óðàâíåíèÿ ñâÿçåé, ò.å. âûðàæåíèÿ ri (q) äîëæíû òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì (5). Êðîìå òîãî, ýòè êîîðäèíàòû ñëåäóåòâûáèðàòü òàê ÷òîáû ïî âîçìîæíîñòè ìàêñèìàëüíî ïîëíî ó÷åñòü ñèììåòðèè ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèé ÷àñòèö.C. Âû÷èñëèòå ïîëíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò ôóíêöèé ri (q) è çàòåì ñîñòàâüòåôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû L(r(q), ṙ(q, q̇), t).D. Èññëåäóéòå ñèñòåìó íà íàëè÷èå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.
Åñëè âíåøíèå ñèëû, äåé-ñòâóþùèå íà ñèñòåìó, íå ìåíÿþòñÿ ïðè òðàíñëÿöèè â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè èëèïîâîðîòå âîêðóã íåêîòîðîé îñè, ïðè÷åì ñâÿçè, íàëîæåííûå íà ñèñòåìó, äîïóñêàþò òàêîå ïåðåìåùåíèå, çàïèøèòå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîåêöèéèìïóëüñà èëè ìîìåíòà èìïóëüñà [ñì. óðàâíåíèÿ (33), (36)]. Åñëè îáîáùåííûå êîîðäèíàòû âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî èçìåíåíèå êàêîé-ëèáî èç íèõ ïðè ôèêñèðîâàííûõ îñòàëüíûõ îïèñûâàåò óêàçàííîå ïåðåìåùåíèå, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ21ñîõðàíÿþùóþñÿ âåëè÷èíó ìîæíî ïîëó÷èòü ïî ôîðìóëàì (38), (40). Íàêîíåö, åñëè ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, ñîñòàâüòå çàêîí ñîõðàíåíèÿîáîáùåííîé ýíåðãèè [ñì. ôîðìóëó (41)].E. Èç ïîëó÷èâøèõñÿ óðàâíåíèé âûáåðèòå íåçàâèñèìûå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
