К.А. Казаков - Курс теоретической механики для химиков (1115218), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Åñëè èõ ÷èñëî ðàâíî ÷èñëóñòåïåíåé ñâîáîäû, òî íåîáõîäèìîñòè â ïîñòðîåíèè óðàâíåíèé Ëàãðàíæà íåò, è ñëåäóåò ïåðåõîäèòü ê èíòåãðèðîâàíèþ íàéäåííûõ s óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ q è q̇.Åñëè æå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ìåíüøå s, ñëåäóåò âûïèñàòü íåäîñòàþùåå ÷èñëî óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òàê ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòü ñèñòåìó síåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ âåëè÷èíû q, q̇, q̈ è çàòåì åå èíòåãðèðîâàòü.1. Äâèæåíèå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäûÐàññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ(11) èìåþò âèäṙi =∂riq̇ ,∂qi = 1, ..., N ,ïîäñòàâëÿÿ êîòîðûå â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T − U, ïîëó÷è쵶NXmi ∂ri ∂rim(q)q̇ 2L=,q̇ 2 − U (r(q), t) ≡− U (q, t) .2∂q ∂q2i=1(55)(56)Äëÿ êðàòêîñòè, ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ U (r(q), t) îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòî U (q, t). Çàìåòèì, ÷òîôóíêöèÿ m(q) > 0. Çàêîí äâèæåíèÿ ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà òàêîãîâèäà, ìîæåò áûòü íàéäåí â îáùåì âèäå â ñëó÷àå, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ∂L/∂t = 0, è ïîýòîìó ñîõðàíÿåòñÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû[ñì. óðàâíåíèå (44)]E=m(q)q̇ 2+ U (q) .2(57)Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî îòíîñèòåëüíî q(t) ïóòåì ðàçäåëåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ.
Ìû èìååìsdq2=±[E − U (q)] ,(58)dtm(q)îòêóäàrm(q)dq2dt = p.± E − U (q)Èíòåãðèðîâàíèå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà äàåòrm(q)qZdqp 2t − t0 =,± E − U (q)q022(59)U (q )E1E2q1q2q3qE3Ðèñ. 3: Ñõåìàòè÷åñêèé âèä ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Ôóíêöèÿ U (q)íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè q → −∞ è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè q → +∞.ãäå q0 , q çíà÷åíèÿ îáîáùåííîé êîîðäèíàòû â ìîìåíòû âðåìåíè t0 , t ñîîòâåòñòâåííî.Çíàê + (−) ïåðåä êîðíåì áåðåòñÿ íà òåõ ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè, ãäå q̇ > 0 (q̇ < 0).Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè q(t) ñâåäåíà ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëàîò èçâåñòíîé ôóíêöèè, èëè, êàê ãîâîðÿò, çàäà÷à ðåøåíà â êâàäðàòóðàõ.
Ïîñëå âçÿòèÿèíòåãðàëà ôóíêöèÿ q(t) ïîëó÷àåòñÿ îáðàùåíèåì ôóíêöèè t(q), îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì (59).Èññëåäóåì êà÷åñòâåííî îáùèå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ãðàôèê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, èçîáðàæåííûé íà Ðèñ. 3.Ïîñêîëüêó m(q) > 0, òî èç óðàâíåíèÿ (58) ñëåäóåò, ÷òî ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè ýíåðãèèE ñèñòåìà ìîæåò äâèãàòüñÿ ëèøü â îáëàñòÿõ, â êîòîðûõU (q) 6 E. òî÷êàõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ U (q) = E, îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü îáðàùàåòñÿ âíóëü. Òàêèå òî÷êè íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè îñòàíîâêè. Íà Ðèñ. 3 òî÷êè q1 , q2 , q3 ÿâëÿþòñÿòî÷êàìè îñòàíîâêè ïðè äâèæåíèè ñ ýíåðãèåé E = E2 .
Ïðè ýòîì äîïóñòèìûìè äëÿäâèæåíèÿ îáëàñòÿìè ÿâëÿþòñÿ q ∈ [q1 , q2 ] è q > q3 . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ q(t) íåïðåðûâíà,ñèñòåìà ïðè ñâîåì äâèæåíèè íå ìîæåò ïåðåñêî÷èòü èç îäíîé äîïóñòèìîé îáëàñòè âäðóãóþ.Ïóñòü q 0 òî÷êà îñòàíîâêè. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû â ìàëîé îêðåñòíîñòèýòîé òî÷êè. ÅñëèdU 0(q ) > 0 ,dqòî îáëàñòü ñïðàâà îò òî÷êè q 0 íåäîñòèæèìà äëÿ ñèñòåìû ñ äàííûì çíà÷åíèåì E. Ïîýòîìó â òî÷êå îñòàíîâêè îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü ïåðåõîäèò îò ïîëîæèòåëüíûõ ê îòðèöàòåëüíûì çíà÷åíèÿì.
Íàîáîðîò, åñëèdU 0(q ) < 0 ,dq23òî íåäîñòèæèìîé äëÿ ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü ñëåâà îò q 0 , è â ýòîé òî÷êå îáîáùåííàÿñêîðîñòü ïåðåõîäèò îò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ê ïîëîæèòåëüíûì.Åñëè äâèæåíèå ñèñòåìû òàêîâî, ÷òî âñå ñîñòàâëÿþùèå åå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè âñåâðåìÿ îñòàþòñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, òî òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿôèíèòíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ èíôèíèòíûì.
Ïðè ôèíèòíîìäâèæåíèè îáëàñòü èçìåíåíèÿ q îãðàíè÷åíà äâóìÿ òî÷êàìè ïîâîðîòà: q ∈ [q1 , q2 ]. Ïóñòü âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 ñèñòåìà íà÷èíàåò äâèæåíèå èç òî÷êè q(t0 ) = q0 ∈ (q1 , q2 )ñ q̇(t0 ) > 0. Ïî äîñòèæåíèè òî÷êè q2 îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü èçìåíèò çíàê, è ñèñòåìàáóäåò äâèãàòüñÿ îò q2 ê q1 , ïðîéäÿ ïðè ýòîì òî÷êó q0 ñ îòðèöàòåëüíîé ñêîðîñòüþ. Âòî÷êå q1 ñêîðîñòü ñíîâà èçìåíèò çíàê íà ïîëîæèòåëüíûé, è â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ñèñòåìà îêàæåòñÿ â òî÷êå q0 , èìåÿ ïîëîæèòåëüíóþ ñêîðîñòü â ýòîé òî÷êå.Ñîãëàñíî ôîðìóëå (58) àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà îáîáùåííîé ñêîðîñòè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì q, ïîýòîìó |q̇(t0 )| = |q̇(t0 )|, à êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè, çíàêè q̇ âìîìåíòû âðåìåíè t0 è t0 òàêæå îäèíàêîâû, è ïîòîìó q̇(t0 ) = q̇(t0 ).
Äðóãèìè ñëîâàìè,â ìîìåíòû âðåìåíè t0 è t0 ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîì è òîì æå ñîñòîÿíèè (ïîíÿòèåñîñòîÿíèÿ ñì. â I 1). Èç ôîðìóëû (59) ñëåäóåò, ÷òîrrrm(q)m(q)m(q)qqqZ1Z0Z2dqdqdqp 2p 2++ p 2,t0 − t0 ≡ T =E − U (q)− E − U (q)E − U (q)q2q0q1èëèZq2 p2m(q) dqpT =.E − U (q)(60)q1Êàê ìû âèäèì, âåëè÷èíà T íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè q0 . Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êèq ∈ [q1 , q2 ], êîòîðóþ ñèñòåìà ïðîõîäèò â ìîìåíò âðåìåíè t, ìû áóäåì èìåòüq(t) = q(t + T ) ,q̇(t) = q̇(t + T ) .Ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿìè (6), (11) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû è äåêàðòîâû ñêîðîñòè òî÷åêñèñòåìû îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç q, q̇, òî îòñþäà ñëåäóåò òàêæå, ÷òîri (t) = ri (t + T ) ,ṙi (t) = ṙi (t + T ) ,i = 1, ..., N .(61)Äâèæåíèå ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì (61), íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì, à T ïåðèîäîì äâèæåíèÿ.
Ýòî îïðåäåëåíèå ïðèìåíèìî ê ñèñòåìàì ñ ëþáûì ÷èñëîì ñòåïåíåéñâîáîäû.Òàêèì îáðàçîì, ôèíèòíîå äâèæåíèå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ïåðèîäè÷íî.Âåðíåìñÿ ê Ðèñ. 3. Ïóñòü q ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâîé êîîðäèíàòîé, çàäàþùåéÏðèìåð 6.ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà ïðÿìîé, à m(q) = m åå ìàññà. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ, äâèæåíèå ñ E = E2 ÿâëÿåòñÿ ôèíèòíûì â îáëàñòè q ∈ [q1 , q2 ]. Åñëè æå q0 > q3 , òîäàæå åñëè q̇(t0 ) < 0, ñêîðîñòü ïîìåíÿåò çíàê ÷åðåç êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíèrm(q)qZ0dqp 2∆t =,E − U (q)q324ïîñëå ÷åãî áóäåò îñòàâàòüñÿ âñå âðåìÿ ïîëîæèòåëüíîé è êîíå÷íîé ïî âåëè÷èíå.
Ïîýòîìóq → ∞ ïðè t → ∞. Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè q > q3 äâèæåíèå èíôèíèòíî. Àíàëîãè÷íûåðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè E = E1 âîçìîæíî ëèøü èíôèíèòíîå äâèæåíèå, àïðè E = E3 ëèøü ôèíèòíîå.Ïðèìåð 7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê. Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññû m, ñîåäèíåííàÿ æåñòêèì íåâåñîìûì ñòåðæíåì äëèíû l ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïîäâåñà, äâèæåòñÿ ââåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè.
Òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì. Îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé ìàÿòíèêà âûáåðåì óãîë φ ìåæäóâåðòèêàëüþ è ñòåðæíåì. Òîãäà äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç φ ñîãëàñíîx = l sin φ, y = −l cos φ .Îòñþäàẋ = lφ̇ cos φ,ẏ = lφ̇ sin φ ,ẋ2 + ẏ 2 = l2 φ̇2 .Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà èìååò âèäL=ml2 φ̇2+ mgl cos φ ,2ãäå g óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè. Ïîäñòàâëÿÿ m(φ) = ml2 , U = −mgl cos φ â óðàâíåíèå (59), ïîëó÷àåìrt − t0 =ml22Zφdφ√.± E + mgl cos φφ0(62)Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàÿòíèêà ñ ýíåðãèåé E > mgl.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå U (q) = Eíå èìååò ðåøåíèé âîâñå, è ïîýòîìó îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü φ̇ èìååò ïîñòîÿííûé çíàê, ò.å.äâèæåíèå ìàÿòíèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðàùåíèå. Ýòî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì: x(t + T ) = x(t), y(t + T ) = y(t), ãäårT =ml22Z2π√0dφ.E + mgl cos φÎáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî óñëîâèå φ(t + T ) = φ(t) ïðè ýòîì íå âûïîëíÿåòñÿ: ñêàæäûì îáîðîòîì óãîë φ óâåëè÷èâàåòñÿ (èëè óìåíüøàåòñÿ) íà 2π.2. Çàäà÷à äâóõ òåëÐàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ çàâèñèò ëèøü îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè: U (|r1 − r2 |),à ñâÿçè îòñóòñòâóþò.
×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òàêîé ñèñòåìû s = 3 × 2 = 6.  êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò âûáåðåì òðè êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà öåíòðà èíåðöèèñèñòåìûm1 r1 + m2 r2R=m1 + m225è òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà r = r1 − r2 . Âûðàçèì ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû. Ìû èìååìr1 = R +m2 r,m1 + m2r2 = R −m1 r.m1 + m2(63)Äèôôåðåíöèðóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèöṙ1 = Ṙ +m2 ṙ,m1 + m2ṙ2 = Ṙ −m1 ṙ,m1 + m2(64)ïîäñòàíîâêà êîòîðûõ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äàåòL=m1 ṙ12 m2 ṙ22µṘ2 mṙ 2+− U (|r1 − r2 |) =+− U (r) ,2222(65)ãäå µ = m1 + m2 , à âåëè÷èíà m = m1 m2 /(m1 + m2 ) íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåííîé ìàññîé äâóõ÷àñòèö.
Ìû âèäèì, ÷òî â êîîðäèíàòàõ R, r ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ðàñïàäàåòñÿ íà äâàñëàãàåìûõ, çàâèñÿùèõ îò ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïåðåìåííûõ. À èìåííî, ïåðâûé ÷ëåí â(65) îïèñûâàåò ñâîáîäíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ìàññîé µ è ðàäèóñ-âåêòîðîìR, à îñòàëüíûå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ìàññîé m è ðàäèóñ-âåêòîðîì r âçàäàííîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå U (r). Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ ñóììîéôóíêöèé Ëàãðàíæà ýòèõ ñèñòåì îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ïåðâîé ñèñòåìûíå ñîäåðæàò êîîðäèíàò âòîðîé, è íàîáîðîò, è ïîòîìó èõ äâèæåíèÿ íåçàâèñèìû. Òàêèìîáðàçîì, èñõîäíàÿ çàäà÷à äâóõ òåë ñâåäåíà ê îäíî÷àñòè÷íîé.Êîìïîíåíòû R ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé(38) ∂L/∂ Ṙ åñòü ñîõðàíÿþùèéñÿ èìïóëüñ ñèñòåìû:P =∂L= µṘ ,∂ Ṙîòêóäà ñëåäóåò, ÷òîR(t) =Pt+ R(0) .µÐàññìîòðèì òåïåðü äâèæåíèå òî÷êè ñ ìàññîé m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
