А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям (1114447), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

+ Vn ,. . . ϕn(n−1) dϕnn ...dt......ϕn1.... . . a11 (t)ϕn1 (t) + . . . + a1n (t)ϕnn (t) ...ϕn2=.........ϕnn. . . a11 ϕn1 ...ϕn2 = a11 (t)W..........ϕnnddt W= V1 + . . . + Vn = (a11 (t) + a22 (t) + ann (t))W =‘«ãç © «¨­¥©­ëå ®¤­®à®¤­ëå ãà ¢­¥­¨© n-£® ¯®à浪 .x(n) + a1 (t)x(n−1) + . . . + an (t)x = 0(1)Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì {ϕ1, .

. . , ϕn} — ä㭪樨 ª« áá Cn, ¤¥â¥à¬¨­ ­â®¬ ‚஭᪮£® í⮣® ­ ¡®à ä㭪権 ­ §ë¢ ¥âáï äã­ªæ¨ïW [ϕ1 , . . . , ϕn ](t) = ϕ1ϕ̇1...(n−1)ϕ1ϕ2ϕ̇2...(n−1)ϕ2(n−1) . . . ϕn.........ϕnϕ̇n...‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ {ϕ1, . . . , ϕn} — «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ ï á¨á⥬ ä㭪権, â® W [ϕ1 , . . . , ϕn](t) ≡ 0.Ž¡à â­®¥ ­¥¢¥à­®!30‹¥ªæ¨ï 13http://www.mexmat.net/DZਬ¥à. DZãáâì ϕ1 = t5, ϕ2 = |t5|, ¯à¨â®¬ ϕ1 ¨ ϕ2 — «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë ­ R, ­® W [ϕ1 , ϕ2] = 0.’¥®à¥¬ 3. DZãáâì {ϕ1, .

. . , ϕn} — á¨á⥬ à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï (1). ’®£¤ ¥á«¨ W [ϕ1, . . . , ϕn](t0 ) =â® W ≡ 0, {ϕ1 , . . . , ϕn } — «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë. …᫨ W [ϕ1 , . . . , ϕn ](t0 ) 6= 0, â® {ϕ1 , . . . , ϕn } — äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï á¨á⥬ à¥è¥­¨©.’¥®à¥¬ 4 (‹¨ã¢¨«ï-Žáâà®£à ¤áª®£® ¤«ï «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©). DZãáâì {ϕ1, . . . , ϕn } —0,á¨á⥬ à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï (1). ’®£¤ Ẇ (t) = −a1 (t)W , ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, W (t) = W (t0 )e„®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ 3 ¨ 4.  áᬮâਬ á¨á⥬ã−Rt0ẋ1 = x2 ẋ = x23...ẋn = −an (t)x1 − an−1 (t)x2 − . .

. − a1 (t)xn…᫨ {ϕ1 , . . . , ϕn } — à¥è¥­¨¥ (1), â®(n−1)ϕ̄ = (ϕ1 , ϕ̇1 , ϕ̈1 , . . . , ϕ1 1..—.(n−1)ϕ̄1 = (ϕn , ϕ̇n , ϕ̈n , . . . , ϕnà¥è¥­¨¥ (3).‡ ¬¥â¨¬, çâ®W [ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n ](t) ≡ W [ϕ1 , . . . , ϕn ](t).’¥¬ á ¬ë¬ â¥®à¥¬ 3 á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 1.”®à¬ã« ‹¨ã¢¨««ï-Žáâà®£à ¤áª®£®Ẇ (t) = (Tr A(t))W.0 0 ..A(t) =  . 0−an10...01...0−an−10−an−2â. ¥.

Ẇ (t) = −a1(t)W ⇒ W (t) = W (t0 )e−Rtt000 .. . ⇒...1 . . . −a1.........Tr A(t) ≡ −a1 ,a1 (t)dτ.DZà®áâà ­á⢮ à¥è¥­¨© ®¯à¥¤¥«ï¥â «¨­¥©­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥.’¥®à¥¬ 5. DZãáâì ¤¢ ãà ¢­¥­¨ï5.x(n) + a1 (t)x(n−1) + . . . + an (t)x = 0¨x(n) + b1 (t)x(n−1) + . . . + bn (t)x = 0¨¬¥îâ ®¤­® ¨ â® ¥ ¯à®áâà ­á⢮ à¥è¥­¨©. ’®£¤ bi ≡ ai .31a1 (t)dτ.(1)‹¥ªæ¨ï 13http://www.mexmat.net/„®ª § ⥫ìá⢮.

DZãáâì {ϕ1 , . . . , ϕn } — ”‘ ¤«ï (1), â. ¥. ®­¨ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë ­ R1 . …᫨J ⊂ R1 — ¨­â¥à¢ «, â® ϕ1 |I , ϕ2 |I , . . . , ϕn |I — «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ ­ I (â. ª. ¨­ ç¥ ¡ë W = 0 ­ í⮬ I).(a1 (t) − b1 (t))x(x−1) + (a2 (t) · b2 (t))x(n−2) + . .

. + (an (t) − bn (t))x = 0(4)…᫨ a1 (t0 ) − b1 (t0 ) 6= 0, â® a1 (t) − b1 (t) 6= 0 ¢ ­¥ª®â®à®¬ ¨­â¥à¢ «¥. ’®£¤ ­ í⮬ ¨­â¥à¢ «¥ ãà ¢­¥­¨¥ (4) ¥áâì «¨­¥©­®¥ ®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ (n − 1)-£® ¯®à浪 , ­® ¬ë §­ ¥¬, çâ® ∃n «¨­¥©­®­¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥­¨©. DZà®â¨¢®à¥ç¨¥ ¨ â. ¤.

⇒ ai (t) ≡ bi(t). DZ®áâ஥­¨¥ «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ãà ¢­¥­¨ï ¯® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© á¨á⥬¥ à¥è¥­¨©.’¥®à¥¬ 6. DZãáâì {ϕ1, . . . , ϕn} — ä㭪樨 ª« áá Cn(R2), ¯à¨çñ¬ W [ϕ1, . . . , ϕn](t) 6= 0∀t ∈ R1.6.’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â «¨­¥©­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ­¥®¯à¥¤¥«ñ­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ (¢¨¤ (1)), ¤«ï ª®â®àë唑.„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì x(t) — à¥è¥­¨¥ ¨á室­®£® ãà ¢­¥­¨ï, ⮣¤ W [ϕ1 , . . . , ϕn , X](t) ≡ 0, â. ¥.{ϕ1 , . . . , ϕn } —ϕ1ϕ̇1...(n−1)ϕ1ϕ2ϕ̇2...(n−1)ϕ2.........ϕnϕ̇n...(n−1). .

. ϕn áªà®¥¬ ¯® ¯®á«¥¤­¥¬ã á⮫¡æã:=0x(n)XẊ...W [ϕ1 , . . . , ϕn ](t) · x(n) + C1 (t)x(n−1) + . . . + Cn (t)x = 0¯® ãá«®¢¨î W [ϕ1 , . . . , ϕn ](t) 6= 0∀t, à §¤¥«¨¬ ­ W [ϕ1 , . . . , ϕn ]x(n) + a1 (t)r(n−1) + . . . + an (t)x = 0 − −−¨áª®¬®¥ ãà ¢­¥­¨¥.7.DZ®­¨¥­¨¥ ¯®à浪 «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¨§¢¥áâ­® ®¤­® ¨§ à¥è¥­¨©.DZãáâì ϕ(t) — ­¥­ã«¥¢®¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (1). ’®£¤ ¬®­® ¯®­¨§¨âì ¯®à冷ª ãà ¢­¥­¨ï.

‘¤¥« ¥¬ § ¬¥­ã x = ϕ(t)y.x(n) + a1 (t)x(n−1) + . . . + an (t)x = 0x(k) =kXCkl ϕ(l) y (k−l)l=0ϕ(t)y (n) + C1 (t)y (n−1) + . . . + Cn−1 (t)ẏ + Cn (t)y = 0”ã­ªæ¨ï y ≡ 1 ¥áâì à¥è¥­¨¥, â. ¥. Cn (t) ≡ 0, â. ¥. ãà ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ϕ(t)y(n) + C1 (t)y(n−1) + . . . +Cn−1 (t)ẏ = 0. ‡ ¬¥­ z = ẏ ¯®­¨ ¥â ¯®à冷ª ãà ¢­¥­¨ï.32‹¥ªæ¨ï 14http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ14.4¤¥ª ¡àï 2002‹¨­¥©­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï1. Š®¬¯«¥ªá­ë¥ ç¨á« (­ ¯®¬¨­ ­¨¥).Š®¬¯«¥ªá­ë¥ ç¨á« — íâ® í«¥¬¥­âë ¯®«ï C — â®çª¨ R. Ž¯¥à 樨 :á«®¥­¨¥: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);㬭®¥­¨¥: (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc).’¥®à¥¬ .¨§®¬®àä­® C.DZãáâì ¯®«¥ P ¥áâì à áè¨à¥­¨¥ ¯®«ï R c ¯®¬®éìî ª®à­ï ãà ¢­¥­¨ï x2 + 1 = 0.

’®£¤ P(0, 1) = i;(0, 1)(0, 1) = i2 = −1 = (−1, 0);(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + bi.2 + y2.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Œ®¤ã«¥¬ ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« z = x + yi ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® |z| = xpŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥. €à£ã¬¥­â®¬ ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« z = x + yi ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® |z| = x2 + y2.pŽ¯¥à æ¨ï ª®¬¯«¥ªá­®£® ᮯà省¨ï x + yi = z → xy i = z̄ — ¢â®¬®à䨧¬ ¯®«ï C ®áâ ¢«ïî騩 ­ ¬¥á⥠R. ‘㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ z ¨ z̄ ⊂ R.“⢥थ­¨¥ 1. DZãáâì P (z) — ¯®«¨­®¬ á ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨. …᫨ z0 — ª®à¥­ìãà ¢­¥­¨ï P (z) = 0, â® z̄0 — ⮥ ª®à¥­ì.P (z0 ) = 0 ⇒ P (z̄0 ) = 0.“⢥थ­¨¥ 2. Œ®¤ã«ì ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥« ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¬®¤ã«¥©, à£ã¬¥­â ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¥áâì á㬬 à£ã¬¥­â®¢:|z1 z2 | = |z1 | · |z2 |,arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ).’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª ï § ¯¨áì:z = r(cos ϕ + i sin ϕ),”®à¬ã« Œã ¢à :£¤¥ r = |z|, ϕ = arg ϕ.(r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).”®à¬ã« ©«¥à :’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª ï § ¯¨áì:eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.z = |z|ei arg z .’¥®à¥¬ . „«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« z ª®à¥­ì á⥯¥­¨ n áãé¥áâ¢ã¥â.

‚ᥠª®à­¨ à ᯮ«®¥­ë¢ ¢¥à設 å ¯à ¢¨«ì­®£® n-㣮«ì­¨ª c 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â.p√ϕ + 2πkϕ + 2πknz = n |z|(cos+ i sin).nnk = 0, . . . , n − 1, £¤¥ ϕ = arg z.33‹¥ªæ¨ï 14http://www.mexmat.net/‘«¥¤á⢨¥.Š®à­¨ n-®© á⥯¥­¨ ¨§ 1 § ¤ îâáï ä㭪樥©:√n1 = cos2πk2πk+ i sin.nn“¯à ­¥­¨¥.  ©â¨ ¢á¥ k = 0, . . . , n − 1 ª®­¥ç­ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë C∗.2. Š¢ §¨¬­®£®ç«¥­ë.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Š¢ §¨¬­®£®ç«¥­®¬ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ eλt p(t), £¤¥ p(t) — ¬­®£®ç«¥­ë; áâ¥-¯¥­ìî ª¢ §¨¬­®£®ç«¥­ ­ §ë¢ ¥âáï deg p(t).DZ।«®¥­¨¥ 1. ‚ᥠª¢ §¨¬­®£®ç«¥­ë á § ¤ ­­ë¬ ¯®ª § ⥫¥¬ á⥯¥­¨ ¬¥­ì襫¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ à §¬¥à­®á⨠m.’¥®à¥¬ DZ.m®¡à §ãîâãáâì äã­ªæ¨ï ϕi (t) = tk eλ t , ¯à¨ç¥¬ (ki , λi ) 6= (kj , λj ) ¯à¨ i 6= j (â.¥.

¢á¥ ϕi à §«¨ç­ë),i 6= 1, . . . , n, λ ⊂ C, t ⊂ R. ’®£¤ {ϕi }, i = 1, . . . , n — ­ ¡®à «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå (­ ¤ C) ä㭪権.ii„®ª § ⥫ìá⢮. DZ।¯®«®¨¬ ¯à®â¨¢­®¥: α1 ϕ1 + α2 ϕ2 + . . . + αn ϕn = 0. DZ®á«¥ £à㯯¨à®¢ª¨mPä㭪権 á ®¤­¨¬ ¨ ⥬ ¥ ¯®ª § ⥫¥¬: Pi (t)eλ t = 0, Pi (t) — ¬­®£®ç«¥­ë, λ1 , . . . , λm — à §«¨ç­ë¥i=1¯®ª § ⥫¨.mPˆ­¤ãªæ¨¥© ¯® m ¯®ª ¥¬, çâ® ¥á«¨ Pi (t)eλ t ≡ 0, â® Pi ≡ 0.i=1 § . ‘«ãç © m = 1 á«¥¤ã¥â ¨§ DZ।«®¥­¨ï 1.m−1m−1PP˜ £.Pi (t)e(λ −λ )t + Pm (t) = 0. DZத¨ää¥à¥­æ¨à㥬 (deg Pm + 1) à §Qi (t)e(λ −λ )t = 0,i=1i=1⮣¤ ¯® ¯à¥¤¯®«®¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨ Qi ≡ 0, §­ ç¨â Pi = 0 ¢¥à­® DZ।«®¥­¨¥ 2.

DZ®«ãç ¥¬, çâ®iiiPm = 0.mimDZ।«®¥­¨¥ 2. DZãáâì ξ 6= 0. ’®£¤ ¥á«¨ dtd (eξt P (t)) = eξtQ(t), â® deg P = deg Q, P ≡ 0 ⇔ Q ≡ 0.„®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¥¤«®¥­¨ï 2.0 ⇔ Q ≡ 0.2.dP (t)) = eξt (ξP (t) +ξeξt P (t) + eξt ( dt= eξt Q(t), â.¥. P ≡ddt P (t))”‘ ¤«ï «¨­¥©­ëå ®¤­®à®¤­ëå ãà ¢­¥­¨© á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨.x(n) + a1 x(n−1) + a2 x(n−2) + . . . + an x = 0, ai ⊂ C.(1)DZ®¯à®¡ã¥¬ ¯®¤áâ ¢¨âì x = eλt , x(k) = λk eλt , λn eλt + λn−1 a1 eλt + . . .+ an eλt = 0. • à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ãà ¢­¥­¨¥: λn + λn−1 a1 + . .

. + an = 0.’¥®à¥¬ . DZãáâì λ∗ — ª®à¥­ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£®eλ∗ t , teλ∗ t , . . . , tk−1 eλ∗ t — à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (1).ãà ¢­¥­¨ï ªà â­®á⨠k ≥ 1. ’®£¤ ä㭪樨„®ª § ⥫ìá⢮ (1-© ᯮᮡ). ˆé¥¬ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = 0, £¤¥ L = dtd + a1 dt d +...+a .DZਬ¥­¨¬ L ª eλt ¨ ¯à®¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 k à §. dλd L(eλt ) = L(tk eλt ) = dλd (f (λ)eλt )nn−1nn−1kkkkPl=0kn=clk f (l) (λ)tk−l eλt .…᫨ λ∗ — ª®à¥­ì f (x) ªà â­®á⨠m, â® f (l) (λ∗ ) = 0 ¯à¨ l = 0, 1, . .

. , m−1, â.¥. dλd λ=λ (f (λ)eλt ) = 0¯à¨ k ≤ m − 1, á«¥¤®¢ ⥫쭮, L(tk eλ t ) = 0 ¯à¨ k = 0, 1, . . . , m − 1, â.¥. tk eλ t — à¥è¥­¨¥ (1). „®ª § ⥫ìá⢮ (II ᯮᮡ).kk∗L=dL = L1 ( dt− λ∗ )m ,∗dndn−1+ a1 n−1 + . . . + anndtdt¯à¨â®¬ λ∗ — ­¥ ï¥âáï ª®à­¥¬ L1.34∗‹¥ªæ¨ï 14http://www.mexmat.net/…᫨ λ∗ = 0, â® f (λ) = λn + a1 λn−1 + . . . + an−m λm ,x(n) + a1 x(n−1) + . . . + an−m x(m) = 0⇒ 1, t, .

. . , tm−1 — ª®à­¨.DZãáâì ⥯¥àì λ∗ 6= 0. DZ®«®¨¬ x = eλ∗ ty(t).L1 (“à ¢­¥­¨¥ Lx = 0.d− λ∗ )m (eλ∗ t y = 0dtd− λ∗ )(eλ∗ t y) = λ∗ eλ∗ t t+dtdd+eλ∗ t ( y) − λ∗ eλ∗ t y = eλ∗ t ( y)dtdt((ddm y− λ∗ )m (eλ∗ t y) = eλ∗ t ( m )dtdt“à ¢­¥­¨¥ Lx = 0 ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤ L1(eλ t y(m))¯à¨ x =,...,te . . DZãáâì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¯®«¨­®¬ ãà ¢­¥­¨ï (1) ¨¬¥¥â (à §«¨ç­ë¥) ª®à­¨ λ1 , . . . , λrªà â­®á⨠m1 , . . .

, mr ᮮ⢥âá⢥­­® (m1 + . . . + mr = m). ’®£¤ ä㭪樨∗eλ∗ t, teλ∗ t‘«¥¤á⢨¥= 0,m−1 λ∗ t¢ë¯®«­¥­® ¯à¨ y= 1, t, . . . , tm−1 â.¥.ieλi t , teλ t , . . . , tmi −1 eλi t , i = 1, . . . , r®¡à §ãî⠔‘ ãà ¢­¥­¨ï (1).4.‚¥é¥á⢥­­ë¥ à¥è¥­¨ï.DZãáâì ai∈ R. …᫨ λ = α + iβ, â® eλt = eαt (cos βt + i sin βt),e (cos βt − i sin βt). ’®£¤ tl eλt â ª¥ à¥è¥­¨¥.αt¨ λ̄= α − iβ —ª®à¥­ì, ¨ eλt=DZãáâìϕ1 = u1 + iv1ϕ̄1 = u1 − iv1ϕ2 = u2 + iv2ϕ̄2 = u2 − iv2...ϕr = ur + ivrϕ̄r = ur − ivr£¤¥ ϕ2r+1 , ϕ2r+2 , . . . , ϕn — ¢¥é¥á⢥­­ë¥ à¥è¥­¨ï — ”‘ («¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë ­ ¤ C).‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ϕ = u + iv — à¥è¥­¨¥, â® u ¨ v — à¥è¥­¨ï.„¥©á⢨⥫쭮, Lϕ = 0, L(u + iv) = 0, Lu + iLv = 0, â. ¥.‹¥¬¬ .­ ¤ R.”㭪樨Lu = 0Lv = 0{u1 , v1 , u2 , v2 , . .

. , ur , vr , ϕ2r+1 , ϕ2r+2 , . . . , ϕn }35ïîâáï «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨‹¥ªæ¨ï 14http://www.mexmat.net/„®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë. DZ।¯®«®¨¬ ¯à®â¨¢­®¥:C1 u1 + C2 v1 + C3 u2 + C4 v2 + . . . + Cn ϕn = 0u1 =ϕ1 +ϕ̄1,2v1 =ϕ1 −ϕ̄12i ,¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¯®«ã稬1111( C1 + C2 )ϕ1 + ( C1 − C2 )ϕ̄1 + . . . + Cn ϕn = 022i22i⇒ C1 = 0, â.¥.á¨á⥬ ä㭪権 «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ .‘«¥¤á⢨¥.ä㭪樨DZãáâì ãà ¢­¥­¨¥(1), ai ∈ R¨¬¥¥â ª®à¥­ìeα∗ t cos β∗ t,λ∗ªà â­®á⨠m,eα∗ t sin β∗ tteα∗ t cos β∗ t, eα∗ t sin β∗ t...tm−1 eα∗ t cos β∗ t,ïîâáï à¥è¥­¨ï¬¨ (1).36eα∗ t sin β∗ tλ∗ = α∗ + iβ∗ .’®£¤ ‹¥ªæ¨ï 15http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ15.11¤¥ª ¡àï 2002 £.‹¨­¥©­ë¥ ­¥®¤­®à®¤­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨1. ¯®¬¨­ ­¨¥.‹¨­¥©­®¥ ­¥®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨:x(n) + a1 (t)x(n−1) + .

Характеристики

Список файлов лекций