А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям (1114447), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

ã. áãé¥áâ¢ã¥â, ­®, ¢®§¬®­®, ­¥ ¥¤¨­á⢥­­®.ˆ­â¥£à¨à㥬®áâì £« ¤ª®£® ¯®«ï ­ ¯à ¢«¥­¨©.’¥®à¥¬ . DZãáâì ¢ ®¡« á⨠U ⊂ R(n+1) § ¤ ­® £« ¤ª®¥ ¯®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨©.3.â®çªã ®¡« á⨠¯à®å®¤¨â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï.’®£¤ ç¥à¥§ ª ¤ãª § ⥫ìá⢮. ‚롥६ ª®®à¤¨­ âë: ®áì Ot ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ § ¤ ­­ãî â®çªã ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á¢ë¡à ­­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬. DZ® ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠O ¯®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ­¥¢¥à⨪ «ì­®, â® ¥áâì ï¥âáï ¯®«¥¬ ­ ¯à ¢«¥­¨© ­¥ª®â®à®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤ ẋ = v(t, x),v ∈ C 1 (V (0)),20V (0) ⊂ R(n+1) .‹¥ªæ¨ï 6http://www.mexmat.net/‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯® ⥮६¥ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­® à¥è¥­¨¥ãà ¢­¥­¨ï ẋ = v(t, x) á ­.

ã. x(0) = 0, ¨ ¥£® £à 䨪 ¥áâì ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï.Ž¡à â­®, ¥á«¨ ¥áâì ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï, â® ®­ ®¡ï§ ­ ¡ëâì £à 䨪®¬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ẋ =v(t, x).4.’¥®à¥¬ ”஡¥­¨ãá .DZãáâì § ¤ ­® ¯®«¥ ¤¢ã¬¥à­ëå ¯«®áª®á⥩ ¢ ®¡« á⨠U ⊂ R3 (≡ ¢ ª á ⥫쭮¬ ¯à®áâà ­á⢥ αª ¤®© â®çª¥ ¢ U ¢ë¡à ­® ¤¢ã¬¥à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮). „¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ ï 1-ä®à¬ α = a(x, y, z)dx +b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz § ¤ ¥â ¯®«¥ ¤¢ã¬¥à­ëå ¯«®áª®á⥩ ¢ U ⊂ R3 .’¥®à¥¬ .

DZ®«¥ ¤¢ã¬¥à­ëå ¯«®áª®á⥩, § ¤ ­­®¥ ä®à¬®© α, ¨­â¥£à¨à㥬® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤ α ∧ dα = 0.5.‡ ¢¨á¨¬®áâì à¥è¥­¨© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ®â ¯ à ¬¥âà . áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤ £¤¥ a ∈ Rm , x ∈ Rn , v(x0 , t0 ).ẋ = v(t, x, a),∈ C 1 (U ), U ⊂ R1 × Rn × Rm . x(t0 ) = x0 —’¥®à¥¬ . ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (∗∗) á ­.ã.£« ¤ª®, ­® íâ® ¡ã¤¥¬ ¤®ª §ë¢ âì ¯®§¥).x(t0 ) = x0(∗∗)à¥è¥­¨¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ­.ã.­¥¯à¥à뢭® § ¢¨á¨â ®â a ( á ¬®¬ ¤¥«¥ ¤ ¥„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ á¨á⥬ã:ẋ = v(t, x, a)ȧ = 0 xv(t, x, a)DZãáâì y = a , F == F (t, y).

’®£¤ , á¨á⥬㠬®­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ẏ = F (t, y).0  áᬮâਬ à¥è¥­¨¥ á ­.ã. y(t0 ) = xa0 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ ® ­¥¯à¥à뢭®© § ¢¨á¨¬®á⨠à¥è¥­¨© ®â ­. ã. y ­¥¯à¥à뢭® § ¢¨á¨âa, â® ¥áâì x(t) ­¥¯à¥à뢭® § ¢¨á¨â ®â a. 6.®âƒ« ¤ª ï § ¢¨á¨¬®áâì à¥è¥­¨© Ž„“ ®â ­.ã. (¡ã¤¥â ¤®ª § ­® ¢ á«¥¤ãî饬 ᥬ¥áâà¥). áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ ẋ = v(t, x). DZãáâì ϕ(t) — à¥è¥­¨¥, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ­.ã.DZ®«®¨¬ Φ(t0 , x0 , t) — §­ 祭¨¥ ¢ ¬®¬¥­â t à¥è¥­¨ï á ­.ã. (t0 , x0 ).ϕ(t0 ) = x0 .’¥®à¥¬ .…᫨ v ∈ C r , â® à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ẋ = v(t, x) £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â ­.ã.

(â® ¥áâì äã­ªæ¨ïΦ(t0 , x0 , t) ®¯à¥¤¥«¥­ ¨ ¨¬¥¥â ª« áá £« ¤ª®á⨠C r ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (t0 , x0 , t0 ), ¥á«¨ v ∈ C r ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (t0 , x0 )).7.DZத®«¥­¨¥ à¥è¥­¨©: ¯à®¤®«¥­¨¥ ¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå. áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤ ẋ = v(t, x), £¤¥ x ∈ Rn , v ∈ C 1 (U ), U ⊂ Rn+1 .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì Γ ⊂ U . ¥è¥­¨¥ ϕ(t) á ­.ã.

(t0, x0 ) ¯à®¤®« ¥âáï ¢¯¥à¥¤ (­ § ¤) ¤® Γ , ¥á«¨áãé¥áâ¢ã¥â à¥è¥­¨¥ á ⥬ ¥ ­.ã. â ª®¥, çâ® (t, ψ(t)) ∈ Γ ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ t > t0 (t 6 t0 ).’¥®à¥¬ . DZãáâì K ⊂ U — ª®¬¯ ªâ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, (t0 , x0 ) ∈ K.¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ẋ = v(t, x) á ­.ã. ¬®­® ¯à®¤®«¨âì ¢¯¥à¥¤ (­ § ¤) ¤® ∂K (£à ­¨æë ª®¬¯ ªâ ),¯à¨ç¥¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥ (¤¢ à¥è¥­¨ï ᮢ¯ ¤ îâ ¢áî¤ã, £¤¥ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥­ë).„®ª § ⥫ìá⢮.1) …¤¨­á⢥­­®áâì. DZãáâì ¥áâì ¤¢ à¥è¥­¨ï ϕ(t)ϕ(τ ) = ψ(τ ) ¯à¨ τ ∈ [t0 , t)}.

DZ® ­¥¯à¥à뢭®áâ¨, ¥á«¨21¨ ψ(t) c ­.ã. (t0 , x0 ). DZãáâì T = sup{t > t0 |¢ T ®¡ à¥è¥­¨ï ®¯à¥¤¥«¥­ë, â® ϕ(T ) = ψ(T ).‹¥ªæ¨ï 6http://www.mexmat.net/ áᬮâਬ ­.ã. (τ, ϕ(τ )). DZ® ⥮६¥ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠ϕ ¨ ψ ᮢ¯ ¤ î⠯ਠt ∈[T, T +ε) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ε, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã T , §­ ç¨â T ¥áâì £à ­¨æ ¨­â¥à¢ « ®¯à¥¤¥«¥­¨ï®¤­®£® ¨§ à¥è¥­¨©.2) ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥.‹¥¬¬ . „«ï «î¡®© â®çª¨ (t0, x0 ) ∈ K áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì V ¨ ε(V ) > 0 â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®©â®çª¨ (t1 , x1 ) ∈ V à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ­ ¨­â¥à¢ «¥ (t1 − ε, t1 + ε).(‘¬®âਤ®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨.)‚롥६ â ªãî ®ªà¥áâ­®áâì ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (ª ª ¢ «¥¬¬¥). ‚롥६ ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥:K ⊂ V1 ∪ V2 ∪ . .

. Vk . DZ®«®¨¬ ε = min ε(Vi ).16i6k…᫨ (t0 , x0 ) ∈ K, â® à¥è¥­¨¥ á ­. ã. (t0 , x0 ) ®¯à¥¤¥«¥­® ­ ¨­â¥à¢ «¥ (t0 − ε, t0 + ε). ‚®§ì¬¥¬à¥è¥­¨¥ ¢ â®çª¥ t0 + 2ε (¥£® ¬®­® ¯à®¤®«¨âì ¢¯¥à¥¤ ¤® t0 + 3ε2 ).  ª ¤®¬ è £¥, ¥á«¨ ¯®«ã祭 â®çª (ϕ(t0 + lε2 ), lt2 ) ⊂ K, â® à¥è¥­¨¥ ¯à®¤®« ¥âáï ¥é¥ ­ 2ε ¢¯¥à¥¤.Š®¬¯ ªâ ®£à ­¨ç¥­, §­ ç¨â ­ ª ª®¬-â® è £¥ £à 䨪 à¥è¥­¨ï ¯¥à¥á¥ç¥â £à ­¨æã ª®¬¯ ªâ K.

22‹¥ªæ¨ï 7http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ1.7.16®ªâï¡àï 2002 £.DZத®«¥­¨¥ à¥è¥­¨©.ẋ = v(t, x),v ∈ C 1 (V ),V ⊂ Rn+1 ,ª®¬¯ ªâ.€¢â®­®¬­ë© á«ãç ©: ẋ = v(x).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì v ∈ C 1 (U ), U ⊂ Rn — ®¡« áâì ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, K ⊂ U , K —ª®¬¯ ªâ. ¥è¥­¨¥ ϕ(t) ãà ¢­¥­¨ï x = v(x) á ­. ã. x0 ∈ K ¯à®¤®« ¥âáï ¤® £à ­¨æë ∂K, ¥á«¨ ∃à¥è¥­¨¥ á ⥬ ¥ ­. ã., ¯à¨­¨¬ î饥 §­ 祭¨¥ ­ ∂K ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ t ≥ t0 (t ≤ t0 ).K ⊂V, K —’¥®à¥¬ .‹î¡®¥ à¥è¥­¨¥ á ­. ã.ϕ(t0 ) = x0 ∈ K„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ 樫¨­¤à¯à®¤®« ¥âáï «¨¡® ­¥®£à ­¨ç¥­­®, «¨¡® ¤® ∂K.–A = K × [t0 − A, t + A]∂ –A = ∂K × [t − A, t + A] ∪ K × {t0 − A} ∪ K × {t0 + A}’®£¤ «¨¡® ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ A > 0 £à 䨪 à¥è¥­¨© á ­. ã.

(t0 , x0 ) ¯¥à¥á¥ª ¥â ∂K × [t0 − A, t0 + A], ⮥áâì ä §®¢ ï ªà¨¢ ï ¯à®¤®« ¥âáï ¤® ∂K. ‹¨¡® ∀A > 0 à¥è¥­¨¥ á ­. ã. (t0 , x0 ) ¯à®¤®« ¥âáï ¤®K × {t0 + A}, â® ¥áâì à¥è¥­¨¥ ¯à®¤®« ¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­®.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Œ ªá¨¬ «ì­ ï ä §®¢ ï ªà¨¢ ï ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï v(x), ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªãx0 — ®¡à § à¥è¥­¨ï, ª®â®à®¥ ­¥ ¯à®¤®« ¥âáï ­® ¡´®«ì訩 ¨­â¥à¢ «.€¢â®­®¬­ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨ ä §®¢ë¥ ¯®â®ª¨1. „¥©á⢨¥ £àã¯¯ë ­ ¬­®¥á⢥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZ८¡à §®¢ ­¨¥ ¬­®¥á⢠— íâ® ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ç­®¥ ®â®¡à ¥­¨¥ ¬­®¥á⢠­ ᥡï.DZ।«®¥­¨¥. ‚ᥠ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤ ­­®£® ¬­®¥á⢠®¡à §ãîâ £à㯯ã (á ®¯¥à 樥© ª®¬¯®§¨-樨)DZਬ¥à.

ƒà㯯 ¢á¥å ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ª®­¥ç­®£® ¬­®¥á⢠¨§®¬®àä­ £à㯯¥ ¯®¤áâ ­®¢®ª.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. „¥©á⢨¥ £à㯯ë G ­ ¬­®¥á⢥ M — íâ® £®¬®¬®à䨧¬ G ¢ £à㯯㠢á¥å ¯à¥®¡à -§®¢ ­¨© M .„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨:Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ‡ ¤ ­® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë G ­ ¬­®¥á⢥ M¢«¥­® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ Tg M → M , â ª®¥ çâ®1) Tgh = Tg ◦ Th ,2) T g−1 = (T g)−1 .DZਬ¥àë.1) S 1 = {z ∈ C||z| = 1}.

„¥©á⢨¥ (R1 , +) ­ S 1 ¯®¢®à®â ¬¨:Tx : z → eix z.Tx+y : z → ei(x+y) z = eix eiy z = Tx (Ty z).2) S 1 — £à㯯 , ¤¥©á⢨¥ S 1 ­ R2 (¯®¢®à®â ¬¨):Tz (x, y) = (Re(z(x + iy)), Im(z(x + iy))(T2 — ¯®¢®à®â R2 ­ 㣮« arg z).3) „¥©á⢨¥ (R1 , +) ­ R2 ¯®¢®à®â ¬¨.23⇔ª ¤®¬ã í«¥¬¥­âã g ∈ G ᮯ®áâ -‹¥ªæ¨ï 7Tt x =Tt —http://www.mexmat.net/cos tsin t¯®¢®à®â− sin txcos tR2 ­ 㣮« t.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žà¡¨â â®çª¨ m ∈ M (¤«ï ¤ ­­®£® ¤¥©á⢨ï G ­ M ) ¥áâì ¬­®¥á⢮ {Tg m|g ∈ G}.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

’®çª m0 — ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª , ¥á«¨ Tg m0 = m0∀g ∈ G.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Ž¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï £à㯯 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© — íâ® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë (R, +).‡ ¬¥ç ­¨¥. Ž¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï £à㯯 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© á ¤¨áªà¥â­ë¬ ¢à¥¬¥­¥¬ — íâ® ¤¥©á⢨¥£à㯯ë (Z, +).Ž¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ £àã¯¯ë ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢.DZਬ¥à.2.ẋ = yẏ = −x§­ 祭¨¥ à¥è¥­¨ï á ­. ã. ϕ(0) = x0 ¢ ¬®¬¥­â t.Ž¡®§­ 祭¨¥. {gt}, gt — ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 t ∈ R1.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Ž¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï £à㯯 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ — íâ® ®¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï£à㯯 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© {gt }, ¯à¨çñ¬ gt (x) £« ¤ª® ¨ ¯® t, ¨ ¯® x.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ′ (ä®à¬ «ì­® ­¥ íª¢¨¢ «¥­â­®¥). Ž¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï £à㯯 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ®¡« á⨠V ⊂ Rn — íâ® ­¥¯à¥àë¢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ R1 → Dif f(V ).“¯à ­¥­¨¥ 1. DZãáâì {gt} — ­ ¡®à ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ R1, ¯à¨çñ¬g t x0 —1) g t+s = g t g s ∀t, s ∈ R12) g t (x) — ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï ®â t ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ x3) g t (x) — ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ R1 → R1 ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ t.DZ®ª § âì, çâ® gt (x) £« ¤ª® § ¢¨á¨â ®â t ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ x..

‚¥ªâ®à®¬ ä §®¢®© ᪮à®á⨠­ §ë¢ ¥âáï ᪮à®áâì(¢ ­ã«¥¢®© ¬®¬¥­â t)def d g t (x).v(x) =dt t=0Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥¢ë室 ªà¨¢®© gt (x) ¨§ â®çª¨ xDZãáâì v(t) — £¥­¥à â®à ®¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© £àã¯¯ë ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ {gt } (≡ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ ä §®¢®© ᪮à®áâ¨).DZਬ¥àë.1) g t : x → x + t, M = R1 , g t+s x = x + (s + t) = x + s + t = g t (g s (x))2) g t : x → eαt x, g s+t x = eα(t+s) x = eαt eαs = g t (g s (x)) ©¤ñ¬ £¥­¥à â®àë¤«ï ¯à¨¬¥à®¢:d(x+t)=11) v(x) = dtt=0 xtd2) v(x) = dt(ex)=αeαt xt=0 = αeαt xt=0 = αxt=0 cos t − sin tx2x1d3) v(x) = dtx=,x,x—ª®®à¤¨­ âëx,â.¥.x=.12t=0 sin tcos tx1x2“¯à ­¥­¨¥ 3. DZãáâì {gt} — ®¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï£à㯯 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ¯àאַ© R, ¯à¨çñ¬ttαt¯à¨ ª ¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ t ®â®¡à ¥­¨¥ g­¥ª®â®à®¬ α.‹¥¬¬ .«¨­¥©­®.

DZ®ª § âì, ç⮠⮣¤ g (x)= e x¯à¨DZãáâì v(x) — £¥­¥à â®à ®¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© £àã¯¯ë ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ {gt}.  áᬮ-âਬ ẋ = v(x). áᬮâਬϕ(0) = x0 .—ϕ(t) = g t x0 ,⮣¤ ϕ(t) —à¥è¥­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï24ẋ = v(x)á ­. ã.‹¥ªæ¨ï 7http://www.mexmat.net/„®ª § ⥫ìá⢮. •®â¨¬ ¤®ª § âì, çâ® dtd t=τ gt (x0 ) = v(gτ (x0 )).d d d g t (x0 ) =g τ +ξ (x0 ) =dt t=τdξ ξ=0dξ ξ0 =0g ξ (g τ (x0 )) = v(g τ (x0 )).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ” §®¢ë¬ ¯®â®ª®¬ ãà ¢­¥­¨ï ẋ = v(x) ­ §ë¢ ¥âáï ®¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª ï £à㯯 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢, ¤«ï ª®â®à®© v(x) ¥áâì ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ ä §®¢®© ᪮à®áâ¨.‡ ¬¥ç ­¨¥. ¥ «î¡®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ ï¥âáï £¥­¥à â®à®¬ ä §®¢®£® ¯®â®ª .DZਬ¥àë.1) ẋ = 1(v(x) = 1) ­ (0, 1).…᫨ v — £¥­¥à â®à, â® gt (x) = x + t, ­® gt ­¥ ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ (0, 1) ¯à¨ t 6= 0.2) ẋ = x2 ­ R1 .dxx2= dt, − x1 = t − C, x =1C−t ,x(0) =1Cà¥è¥­¨¥ á ­.

ã. x(0) = x0 .xDZ஢¥à¨¬ £à㯯®¢®¥ ᢮©á⢮: gt (x) = 1−txg t (g s (x)) =1x1−stx− t 1−st== x0 ⇒ C =1x 0,x(t) =11x 0 −t=x01−tx0 ,x(t) =x01−tx0—xx== g t+s (x)1 − sx − tx1 − (t + s)x® gt ­¥ ï¥âáï ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬ R1 ¯à¨ t 6= 0.x, x ∈ R1 ) ¥áâì ®¤­®¬¥à­ ï £à㯯 “¯à ­¥­¨¥ 4. DZ®ª § âì, çâ® {gt} ¨§ ¯à¨¬¥à 2 (gt(x) = 1−tx¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢, ¥á«¨ à áᬠâਢ âì ¥ñ ª ª £à㯯㠯८¡à §®¢ ­¨© ¯à®¥ªâ¨¢­®© ¯àאַ©.  ©â¨£¥­¥à â®à.€¢â®­®¬­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨ «®ª «ì­ë¥ ä §®¢ë¥ ¯®â®ª¨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ (¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ § t¢à¥¬ï ®â t0 ¤® t).

ẋ = v(t, x), v ∈ C 1(U ). DZ८¡à §®¢ ­¨¥3.§ ¢à¥¬ï ®â t0 ¤® t — íâ® ®â®¡à ¥­¨¥ gt , ᮯ®áâ ¢«ïî饥 â®çª¥ x §­ 祭¨¥ à¥è¥­¨ï á ­. ã. (t0 , x) ¢¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t1 .0“⢥थ­¨¥.„«ï ­ ç «ì­®£® ãá«®¢¨ï (t0 , x0 ) ∈ U ®â®¡à ¥­¨¥ gtt ®¯à¥¤¥«¥­® ¯à¨ t1 ¡«¨§ª¨åª t0 ¤«ï ¢á¥å x, ¡«¨§ª¨å ª x0 .‹¥¬¬ . „«ï ¢â®­®¬­®£® ãà ¢­¥­¨ï ẋ = v(x) ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ gtt § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â (t − t0) ¨ ­¥§ ¢¨á¨â ®â â®çª¨ t0 .00„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï ¢â®­®¬­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ¨­¢ ਠ­â­®®â­®á¨â¥«ì­® ᤢ¨£®¢ ¢¤®«ì ®á¨ Ot. ’. ¥. ¨­â¥£à «ì­ë¥ ªà¨¢ë¥ ¨­¢ ਠ­â­ë ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᤢ¨£®¢t¢¤®«ì Ot. ⇒ gtt+A+A = gt .‘«¥¤á⢨¥.

Характеристики

Список файлов лекций