А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям (1114447), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 áᬮâਬ 1-ä®à¬ã ω = dϕ ­ R2 \ {0}. ϕ — ¯®«ïà­ë©ã£®«.R. DZ஢¥à¨âì, çâ® dϕ = ydx−xdyω = 2π 6= 0. ‘«¥¤®¢ ⥫ìx2 +y 2 . DZந­â¥£à¨à㥬 ω ¯® γ:∂F∂x‡ ¬¥ç ­¨¥“¯à ­¥­¨¥γ­® ¨­â¥£à « § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ªà¨¢®©.‹¥¬¬ . DZãáâì ω =¨­â¥£à «ì­ëå ªà¨¢ëå.M (x, y)dx + N (x, y)dy = dF .’®£¤ «¨­¨¨ ã஢­ï ä㭪樨„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì Γ — ¨­â¥£à «ì­ ï ªà¨¢ ï ãà ¢­¥­¨ï ω = 0; A, B ∈ Γ.F (A) = F (B).DZãáâì γ : [0, 1] → R2 , γ(t) ⊂ Γ ∀t, γ(0) = A, γ(1) = B.  áᬮâਬFá®áâ®ïâ ¨§DZ®ª ¥¬, çâ®dF (γ(t))∂F∂F=γ̇1 +γ̇2 = M (γ(t))γ̇1 + N (γ(t))γ̇2 = 0.dt∂x∂y’® ¥áâì F = const ­ Γ. ‚®¯à®á. Š ª à¥è âì ãà ¢­¥­¨ï ¢ ¯®«­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å?…áâì ãà ¢­¥­¨¥ ω = M dx + N dy = 0.

ˆé¥¬ F : dF = ω.1) F(x,y) =(x,y)Rω(x0 ,y0 )2)∂F∂x=M ⇒F =RM dx + ϕ(y);∂F∂y2DZਬ¥à. ¥è¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ (2xy=N+ y)dx + (2xy 2 + x + 3y 2 )dy = 0.∂Nï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ¢ ¯®«­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å: ∂M∂y = 4xy + 1 = ∂x .2ˆé¥¬ â ªãî F , ç⮡ë ∂F∂x = M = 2yx + y. ’®£¤ F = x2 y 2 + xy + ϕ(y)∂F= N = 2yx2 + x + 3y 2∂yϕ(y) = y 3 + CF = x2 y 2 + xy + y 314DZ஢¥à¨¬, çâ® íâ® ãà ¢­¥­¨¥‹¥ªæ¨ï 4http://www.mexmat.net/“à ¢­¥­¨¥ ‘ = x2 y2 + xy + y3 § ¤ ñâ ¨­â¥£à «ì­ë¥ ªà¨¢ë¥.2.“à ¢­¥­¨¥ ìîâ®­ .DZãáâì F § ¤ ¥â ¯®«¥ ᨫ ­ R1 , x(t) — ª®®à¤¨­ â â®çª¨ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t. ‘ç¨â ¥¬, çâ® ¯®«¥á¨« ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨.“à ¢­¥­¨¥ ìîâ®­ : ẍ = F (x).x = x1 — ª®®à¤¨­ â , ẋ = x2 — ᪮à®áâì, ẍ — ã᪮७¨¥.

’®£¤ ãà ¢­¥­¨¥ ìîâ®­ à ¢­®á¨«ì­®á¨á⥬¥:x˙1 = x2x˙2 = F (x1 )(∗∗)x áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ dxdx = F (x ) , ⮣¤ −F (x1 )dx1 + x2 dx2 = 0 — ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ¯®«­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å.Rxˆé¥¬ ¯®«­ë© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «: − F (ξ)dξ + x2 = E(x1 , x2 ).x”¨§¨ç¥áª¨©x á¬ëá« í⮣® ãà ¢­¥­¨ï:RU (x1 ) = − F (ξ)dξ — ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë.1221220x0x2T (x2 ) = 22 — ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë.E = T + U — ¯®«­ ï ¬¥å ­¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë..

¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï, ¯®áâ®ï­­ ï ­ ä §®¢ëå ªà¨¢ëå ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï v(x), ­ §ë¢ ¥âáï ¯¥à¢ë¬ ¨­â¥£à «®¬ á¨á⥬ë ẋ = v(x).’¥¬ á ¬ë¬ ¬ë ¯®«ã稫¨ § ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨: ¯®«­ ï ¬¥å ­¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë ï¥âáï ¯¥à¢ë¬ ¨­â¥£à «®¬ á¨á⥬ë (∗∗).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥15‹¥ªæ¨ï 5http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ5.2®ªâï¡àï 2002 £.’¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žâ®¡à ¥­¨¥ f : X → X ­ §ë¢ ¥âáï ᨬ î騬, ¥á«¨ ∃λ ∈ (0, 1) : d(f (x), f (y)) ≤1.λd(x, y)∀x, y ∈ X.(’¥®à¥¬ ¯à¨­æ¨¯ ᨬ îé¨å ®â®¡à ¥­¨©). ‘¨¬ î饥 ®â®¡à ¥­¨¥ ¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­ãî ­¥¯®¤¢¨­ãî â®çªã.„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâìm−n−1P áᬮâਬx ∈ X.m−n−1P{f n (x)}.DZãáâìm−n−1Pm > n,®æ¥­¨¬d(f n x, f m x) ≤¯à¨ n → ∞.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {f (x)} äã­¤ ¬¥­â «ì­ ¨ ¯®í⮬ã ∃ n→∞lim f (x) = x0 . DZ®áª®«ìªã n→∞lim f M (x) = lim f n+1 (x) = lim f (f ( x)), ®â®¡à ¥­¨¥ f ᨬ ¥â, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¥n→∞n→∞¯à¥à뢭®, ¨¬¥¥¬ f (x0 ) = x0 .

DZ஢¥à¨¬ ¥¤¨­á⢥­­®áâì. …᫨ ∃x0 ¨ xb0 — ­¥¯®¤¢¨­ë¥ â®çª¨, â®k=0d(f m+k x, f n+k+1 x) ≤λk+n d(f (x), x) = d(x, f (x))k=0k=0nλk+n ≤λn d(x,f (x))1−λ→0nd(x0 , xb0 ) = d(f x0 , f xb0 ) ≤ λd(x0 , xb0 ) ⇒ x0 = xb0 . nn. DZãáâì A : R → R — «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¥­¨¥. ‚¥à­® «¨, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¯® ¬®¤ã«î ¬¥­ìè¥ ¥¤¨­¨æë, â® A — ᨬ î饥? ‚¥à­® «¨, çâ® A ᨬ î饥, ¥á«¨ó¯à ¢¨«ì­® ¢ë¡à âì ­®à¬ã ¢ Rn ?2 (). DZãáâì f : X → X — ᨬ î饥®â®¡à ¥­¨¥ ¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠X á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ á â¨ï λ. ’®£¤ ∀ε > 0∃δ >0, δ ∈ (0, 1 − λ), â ª®¥ çâ® ¢ë¯®«­¥­® á«¥¤ãî饥. „«ï «î¡®£® ᨬ î饣® ®â®¡à ¥­¨ï g : X → Xâ ª®£®, çâ®1) d(f (x), g(x)) ≤ δ ∀x ∈ X;2) d(g(x), g(y)) ≤ (λ + δ)d(x, y)∀x, y ∈ X ®â®¡à ¥­¨¥ g ¨¬¥¥â ­¥¯®¤¢¨­ãî â®çªã y0 , ¯à¨çñ¬d(x0 , y0 ) < ε, £¤¥ x0 — ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª f .„®ª § ⥫ìá⢮.

DZ®«®¨¬ δ = ε(1−λ)1+ε , ⮣¤ “¯à ­¥­¨¥’¥®à¥¬ ®¡ ãá⮩稢®á⨠ᨬ î饣® ®â®¡à ¥­¨ïd(x0 , y0 ) ≤∞Xk=0d(g k x0 , g k+1 x0 ) ≤= d(x0 , g(x0 ))∞X∞X(λ + δ)k d(x0 , g(x0 )) =k=0(λ + δ)k = d(f (x0 ), g(x0 ))k=0≤=1≤1−λ−δε(1−λ)δ1+ε==1−λ−δ1 − λ − ε(1−λ)1+εε(1 − λ)= ε.(1 + ε)(1 − λ) − ε(1 − λ)”®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨.’¥®à¥¬ 3.2.ẋ = v(t, x).(∗)DZãáâì v(t, x) ®¯à¥¤¥«¥­ ¨ ¨¬¥¥â ª« áá £« ¤ª®á⨠C ¢ ®¡« á⨠∪ ⊂ R × R à áᬮâ७­®£® ä §®¢®£®¯à®áâà ­á⢠.

„«ï «î¡®© â®çª¨ (t0 , x0 ) ∈ U ∃ ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ t0 , çâ® ¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠∃ à¥è¥­¨¥(∗) á ­. ã. (t0 , x0 ), ¯à¨çñ¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥ («î¡®¥ ¤à㣮¥ à¥è¥­¨¥ á ­. ã. (t0 , x0 ) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¤ ­­ë¬ ¢­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ t0 ).1161n‹¥ªæ¨ï 53.http://www.mexmat.net/‹®¬ ­ë¥ ©«¥à ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯à¨¡«¨¥­¨© DZ¨ª à .‹®¬ ­ë¥ ©«¥à .ẋ = x, x(0) = 1.

‚®§ì¬ñ¬ â®çªã ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬.tnttx2 = x1 + x1 = (1 + )2nn...txn = (1 + )n .nt nte = lim 1 +.n→∞nx1 = x(0) +DZਡ«¨¥­¨¥ DZ¨ª à .ẋ = x, x(0) = 1, x(t) = 1 +Rt‘âந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à¨¡«¨¥­¨© â ª:x(τ )dτ .0x0 = 1, . . . , xn+1 (t) = 1 +Ztxn (τ )dτ0t2t2tnx1 = 1 + t, x2 = 1 + t + , . .

. , xn = 1 + t + + . . . +22n!∞ nXtet = lim xn =n→∞n!n=04.DZ®á«¥¤®¢ ⥫ì­ë¥ ¯à¨¡«¨¥­¨ï DZ¨ª à .Rtẋ = v(t, x), x ∈ Rn(∗)­. ã. (t0 , x0 ), x0 (t) ≡ x0 , xn+1 (t) = x + v(τ, xn (τ ))dτ , ϕ — ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª ⇔ ϕ — à¥è¥­¨¥ (∗).tŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žâ®¡à ¥­¨¥ DZ¨ª à — íâ® ®â®¡à ¥­¨¥ A : ϕ → Aϕ, £¤¥ (Aϕ)(t) = x0 +Rtv(t, ϕ(τ ))dτ . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ϕ — ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª ®â®¡à ¥­¨ï DZ¨ª à ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,tª®£¤ ϕ — à¥è¥­¨¥ (∗) á ­. ã. (t0 , x0 ).005.DZ®áâ஥­¨¥ ä㭪樮­ «ì­®£® ¯à®áâà ­á⢠.DZãáâì ¢ 樫¨­¤à¥¨¬¥¥â ª« áá £« ¤ª®á⨠C 1 .vŽ¡®§­ 祭¨¥.– = {(t, x)||t − t0 | ≤ a, |x − x0 | ≤ b}C = sup |v|, L = sup kDx vk.––Š®­ãá K0 = {(t, x)||t − t0 | ≤ a′ , |x − x0 | ≤ C|t − t0 |}, a′ ¬ «®:1) K0 ⊂ –2) La′ < 1′a]Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

Œ¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ M — ¯à®áâà ­á⢮ ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 ­ [t0 −a′ , t0 +n¢ R , ¯à¨çñ¬ â ª¨å, çâ® ∀h ∈ M |h(t)| ≤ C|t − t0 |. ‚ ç áâ­®áâ¨, h(0) = 0.17‹¥ªæ¨ï 5http://www.mexmat.net/ˆé¥¬ à¥è¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ x(t) = x0 + h(t), d(h1 , h2 ) = max |h1 (t) − h2 (t)|, t ∈ [t0 − a′ , t0 + a′ ] — ¬¥âਪ ¢ M.‹¥¬¬ .M —¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.„®ª § ⥫ìá⢮. ‡ ¬ª­ã⮥ ¯®¤¬­®¥á⢮ ¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¥áâì ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

6. Žâ®¡à ¥­¨¥ DZ¨ª à .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. A : M → M(Ah)(t) =Ztt0v(τ, x0 + h(τ ))dτ − −−(∗∗)®â®¡à ¥­¨¥ DZ¨ª à . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì x0 , x0 + A(0), x0 + A2 (0), . . . á®á⮨⠨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì­ëå ¯à¨¡«¨¥­¨© DZ¨ª à .’¥®à¥¬ .Žâ®¡à ¥­¨¥ A(∗∗) ï¥âáï ᨬ î騬 ®â®¡à ¥­¨¥¬ M ¢ ᥡï.1) AM ⊂ M•®â¨¬ ¯à®¢¥à¨âì|Ah(t)| ≤ C|t − t0 | tZ|Ah(t)| = v(τ, x0 + h(τ ))dτ ≤t0Z tZt≤ |v(τ, x0 + h(τ ))dτ | ≤ Cdτ = C|t − t0 |.t0t0DZ஢¥à¨¬, çâ® A — ᨬ î饥|Ah1 (t) − Ah2 (t)| = Ztt0≤|Ztt0v(τ, x0 + h(τ ))dτ −Ztt1v(τ, x0 + h2 (τ )dτ ≤|v(t, x0 + h1 (τ ) − v(τ1 x0 + h2 (τ ))|dτ | ≤≤ |Ld(h1 , h2 ) ·Zτt0Ld(h1 , h2 )dτ | ≤ La′ d(h1 , h2 ) = λd(h1 , h2 ),¯®áª®«ìªã |v(τ, x0 +h1(τ ))−v(τ, x0 +h2(τ ))| ≤ L|h1 (t)−h2(t)|.

ˆâ ª, A — ᨬ î饥 á ª®íää¨æ¨¥­â®¬La′ < 1.Œë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã.‹¥¬¬ .DZãáâì F: U → Rn —£« ¤ª®¥ ®â®¡à ¥­¨¥, U’®£¤ ∀x, y ∈ U |F (x) − F (y)| ≤ L|x − y|.—¢ë¯ãª« ï ®¡« áâì ¢ Rn , sup kDF k = L.U…¤¨­á⢥­­®áâì. …᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ à¥è¥­¨ï ϕ1 ¨ ϕ2 á ­. ã. (t0 , x0 ), ⮣¤ ¨ ϕ1 = x0 + h1 ,¨ h2 — ­¥¯®¤¢¨­ë¥ â®çª¨ A ⇒ h1 = h2 ⇒ ϕ1 = ϕ2 ­ ¨­â¥à¢ «¥ [t0 − a′ , t0 + a′ ].ϕ2 = x0 + h2 , h118‹¥ªæ¨ï 5http://www.mexmat.net/’¥®à¥¬ 4.¥è¥­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï ẋ = ϕ(t, x) á ­. ã. (t0 , x0 ) ∈ U , ϕ ∈ C 1 (U ),áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­® ­ ­¥ª®â®à®¬ ¨­â¥à¢ «¥ I, t0 ∈ I, ¨ à¥è¥­¨¥ á ­.

ã. (t0 , xb) áãé¥áâ¢ã¥â ¨®¯à¥¤¥«¥­® ­ ⮬ ¥ ¨­â¥à¢ «¥ I ¨ C 0 -¡«¨§ª® ª à¥è¥­¨î á ­. ã. (t0 , x0 ).DZਬ¥­¨¬ ⥮६㠮¡ ãá⮩稢®á⨠ᨬ î饣® ®â®¡à ¥­¨ï.  áᬮâਬ ª®­ãá:K1 = {(t, x)||t − t0 | ≤ a′ , |x − xb| ≤ C|t − t0 |}.DZਠ¬ «®¬ a′ ¨ xb ¡«¨§ª®¬ ª x0 K1 ⊂ –.Rt áᬮâਬ B : M → M , (Bh)(t) = v(τ, xb + h(τ ))dτ ,tª®íää¨æ¨¥­â®¬ La′ .B —ᨬ î饥 ®â®¡à ¥­¨¥ M0|(Ah)(t) − (Bh)(t)| ≤ |≤Zt0Ztt0v(τ, x0 + h(τ )dτ −Ztt0→ Máv(τ, xb + h(τ )dτ | ≤|v(τ, x0 + h(τ )) − v(τ, xb + h(τ )|dτ | ≤≤Ztt0L|x0 − xb|dτ ≤ La′ |x − xb| ⇒â.

¥. ¥á«¨ x0 ¨ xb ¡«¨§ª¨, â® ­¥ª®â®àë¥ â®çª¨ A ¨ B C 0 -¡«¨§ª¨, â. ¥. à¥è¥­¨ï á ­. ã.C 0 -¡«¨§ª¨ (¯® ⥮६¥ ®¡ ãá⮩稢®á⨠ᨬ îé¨å ®â®¡à ¥­¨©).19(t0 , x0 )¨ (t0 , xb)‹¥ªæ¨ï 6http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ1.6.9®ªâï¡àï 2002 £.‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâì à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï n-£® ¯®à浪 . ¯®¬­¨¬, çâ® ãà ¢­¥­¨¥¬ n-£® ¯®à浪 ­ §ë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ :x(n) = f (t, x, ẋ, . .

. , x(n−1) ),(1)£¤¥ f ∈ C 1 (U ), U ⊂ R(n+1) .‡ ¤ ç Š®è¨:  ©â¨ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î:x(t0 ) = xe0 ẋ(t ) = xe10 ... (n−1)x(t0 ) = xen−1(2)’¥®à¥¬ . …᫨ (t0, xe0 , . . . , xen−1) ∈ U , â® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­® (¥á«¨¤¢ à¥è¥­¨ï 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î (2), â® ®­¨ ᮢ¯ ¤ îâ ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ t0 .„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ á¨á⥬ãẋ1 = x2 ẋ2 = x3...ẋn−1 = xnxn = f (t, x, . . .

, xn )(3)â á¨á⥬ (3) íª¢¨¢ «¥­â­ ãà ¢­¥­¨î (1) ¢ á«¥¤ãî饬 á¬ëá«¥: ¥á«¨ x(t) — à¥è¥­¨¥ (1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î (2), â® (x(t), ẋ(t), . . . , x(n−1) (t)) — à¥è¥­¨¥ (3) á ­.ã.¨ ­ ®¡®à®â.’¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï.’¥®à¥¬ . DZãáâì ¥áâì ãà ¢­¥­¨¥ ẋ =e0 x1 (t0 ) = x...xn (t0 ) = xen−12.(t0 , x0 ) ∈ U0.áãé¥áâ¢ã¥â.v(t, x).…᫨v ∈ C 0 (U ), U ⊂ R(n+1) ,â® à¥è¥­¨¥ á ­.ã.DZਬ¥à. DZãáâì ẋ = 3|x| . ’®£¤ x1 ≡ 0 — à¥è¥­¨¥, x2 = t3 — à¥è¥­¨¥. DZਠt = 0 x1(0) = x2 (0) =23’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥è¥­¨¥ á ¤ ­­ë¬ ­.

Характеристики

Список файлов лекций