А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям (1114447), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

ã. ψ(0) = (a1 − a2 ), ψ(T ) = λψ(0).ˆâ ª, Ax0 = λx0 + c.  áᬮâਬ Ax0 = λx0 + c.…᫨ λ < 1, â® ∃! ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª , ®áâ «ì­ë¥ à¥è¥­¨ï áâ६ïâáï ª ­¥¬ã ¯à¨ t → +∞.…᫨ λ = 1, â® ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¨®¤¨ç­®¬ã à¥è¥­¨î.…᫨ λ > 1, â® ∃! ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥, ®áâ «ì­ë¥ à¥è¥­¨ï → ∞ ¯à¨ t → +∞.. …áâì ¤®¬, ¢ ª®â®à®¬ ­¥â ®â®¯«¥­¨ï. DZãáâì x(t) — ⥬¯¥à âãà ¤®¬ , F (t) —⥬¯¥à âãà ­ 㫨æ¥. DZãáâì F (t + T ) ≡ F (t), ẋ = k(F (t) − x(t)), k > 0.DZ।«®¥­¨¥“¯à ­¥­¨¥Ž¤­®à®¤­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. “à ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ 5.dyy= f( )dxx(5)­ §ë¢ ¥âáï ®¤­®à®¤­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬.‡ ¬¥ç ­¨¥.

‡ ¬¥­®© v = xy ãà ¢­¥­¨¥ (5) ᢮¤¨âáï ª ãà ¢­¥­¨î á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨.dydv„¥©á⢨⥫쭮, y = vx, dx= dxx + v = f (v).f (v) − vdv=dxxDZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï (5) ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® à áâ省¨© ¯«®áª®áâ¨.9‹¥ªæ¨ï 3http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ3.18ᥭâï¡àï 2002 £.Ž¤­®à®¤­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï.

ƒà㯯ë ᨬ¬¥â਩.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. “à ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ 1.dyy=fdxx(1)­ §ë¢ ¥âáï ®¤­®à®¤­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬.‡ ¬¥ç ­¨¥. ‡ ¬¥­®© z = xy ãà ¢­¥­¨¥ (1) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ãà ¢­¥­¨î á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨.dydz= z + x dx= f (z) ⇒„¥©á⢨⥫쭮, y = zx, dxdzf (z) − z=dxx„¨ä䥮¬®à䨧¬ë.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žâ®¡à ¥­¨¥ F : V → U (£¤¥ V , U — ®¡« á⨅¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠) ­ §ë¢ ¥âáï−12.¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ F ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®, £« ¤ª® ¨ F ¯®¬¨­ ­¨¥. F (x) — £« ¤ª®, ¥á«¨F (x) = F (x0 ) + A(x − x0 ) + o(|x − x0 |),£¤¥ A : Rn → Rn — «¨­¥©­®.Ž¡®§­ 祭¨¥.A = DF (x0 ) —¤¨ää¥à¥­æ¨ « F ¢ â®çª¥ x0 .f1F =  ...

fm⇒Dif f(V ) —∂f1∂x1...∂fn∂x1...DF =  ...DZ।«®¥­¨¥. Œ­®¥á⢮ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ F : V䨧¬®¢).Ž¡®§­ 祭¨¥.DZਬ¥àë.11£« ¤ª®.→V∂f1∂xn.. . ∂fn∂xn®¡à §ã¥â £à㯯ã (£à㯯㠤¨ä䥮¬®à-£à㯯 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ®¡« á⨠V ­ ᥡï.x : R → R — ¤¨ä䥮¬®à䨧¬,x2 : R1 → R1 — ­¥ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ (â. ª. ­¥â ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®£® ᮮ⢥âá⢨ï),x3 : R1 → R1 — ­¥ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ (â. ª. ®¡à â­®¥ ®â®¡à ¥­¨¥ ­¥ £« ¤ª® ¢ ­ã«¥).. Ÿ¢«ï¥âáï «¨ x + x3 ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¬?“¯à ­¥­¨¥3.

„¥©á⢨¥ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ­ ¢¥ªâ®à­ë¥ ¯®«ï.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Š á ⥫ì­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ â®çª¥ x0 ∈ V ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢, ¯à¨«®¥­­ëå ¢ â®çª¥ x0 .Ž¡®§­ 祭¨¥. Tx V — ª á ⥫쭮¥ ¯à®áâà ­á⢮ ¢ â®çª¥ x0.ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® DF (x0 ) : Tx V → TF (x ) U .‚®¯à®á. Š ª ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ¢¥ªâ®à?Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

DZãáâì v̄ ∈ Tx V . Ž¡à §®¬ v̄ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ F ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à0000DFx0 (v̄) ∈ TF (x0 ) U .10‹¥ªæ¨ï 3http://www.mexmat.net/Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Ž¡à §®¬ ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï V ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ F ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ F∗ V , ª ¤ë© ¢¥ªâ®à ª®â®à®£® ¥áâì ®¡à § ¢¥ªâ®à ¢ â®çª¥-¯à®®¡à §¥ ¨á室­®£® ¢¥ªâ®à­®£®¯®«ï.’® ¥áâì ¢ ª ¤®© â®çª¥ ¯àאַ© ¯à¨«®¥­ ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à.DZਬ¥à.  áᬮâਬ v(x) = 1. F : R1 → R1, F (x) = 2x, F∗v(F (x)) = DFx (v(x)), F∗ v(2x) = 2 · 1,â. ¥. F∗ v ≡ 2.‘¨¬¬¥âਨ ¢¥ªâ®à­ëå ¯®«¥©.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. „¨ä䥮¬®à䨧¬ F : V → V ­ §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ¯®«ï V , ¥á«¨ ¯®«¥ v ¯¥à¥å®¤¨â4.¢ á¥¡ï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ F , â. ¥. F∗ v = v. ƒ®¢®àïâ, çâ® ¯®«¥ v ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® F .DZ।«®¥­¨¥. ‚ᥠᨬ¬¥âਨ ¯®«ï v ®¡à §ãîâ £à㯯ã (¯®¤£à㯯ã Dif f(V )).DZਬ¥à 1. ‚¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ v(x) =′ 1 ­ R1 .

 ©¤ñ¬ £à㯯ã ᨬ¬¥â਩. DZãáâì F : R1 → R1 —ᨬ¬¥âà¨ï DFx (v(x)) = v((F (x)) ⇒ F · 1 = 1 ⇒ F (x) = x + C. ˆâ ª, £à㯯 ᨬ¬¥â਩ ¯®«ï v(x) = 1¥áâì £à㯯 ᤢ¨£®¢ R1 .DZਬ¥à 2.  áᬮâਬ ¢¥ªâ®à­®¥¯®«¥v(x) = x ­ R1 .  ©¤ñ¬ ¥£® £à㯯ã ᨬ¬¥â਩ DF∗ (v(x)) =R dFR dxFdF′e ⇒ ln F = ln x + Ce ⇒ F = Cx, £¤¥ C 6= 0.v(F (x)). F (x) = F ⇒ dx = x ⇒ F = x + C“¯à ­¥­¨¥ 2. DZãáâì S 1 = R1/Z1, v(x) = 1.

 ©â¨£à㯯ã ᨬ¬¥â਩ í⮣® ¢¥ªâ®à­®£® ¯®«ï.1“¯à ­¥­¨¥ 3. DZãáâì π2 = R2/Z2, v(x) = 0 .  ©â¨ £à㯯ã ᨬ¬¥â਩.„¥©á⢨¥ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬®¢ ­ ¯®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ¨ ᨬ¬¥âਨ ¯®«¥© ­ ¯à ¢«¥­¨©.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Ž¡à §®¬ ¯®«ï ­ ¯à ¢«¥­¨© ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ F ­ §ë¢ ¥âáï â 5.ª®¥ ¯®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨©, çâ® ¢ ª ¤®© â®çª¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¥áâì ®¡à § ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ F ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢â®çª¥-¯à®®¡à §¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ F : V → V , ¥á«¨®¡à § ¯®«ï ­ ¯à ¢«¥­¨© ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ F ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨á室­ë¬.DZਬ¥à.1) DZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ãà ¢­¥­¨© ẋ = f (t) ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ᤢ¨£®¢ ¢¤®«ì Ox.2) DZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï ẋ = f (x) ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ᤢ¨£®¢ ¢¤®«ì Ot.3) DZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï ẋ = a(t)x ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® à áâ省¨© ¢¤®«ì ®á¨ Ox,â.

¥. ®â­®á¨â¥«ì­® ®â®¡à ¥­¨© ¢¨¤ F (t, x) = (t, Cx), C 6= 0.. DZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® à áâ省¨©F (x, y) = (Cx, Cy), C > 0. ‚ ®¡à â­ãî áâ®à®­ã: ¥á«¨ ¯®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï ¨­¢ ਠ­â­®®â­®á¨â¥«ì­® à áâ省¨©, â® ãà ¢­¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®.„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì F : R2 → R2 , F (x, y) = (Cx, Cy), DF(x0,y0) (v) = (Cv1 , Cv2 ). Ž¡à § ¯àאַ©< v > ¥áâì ¯àï¬ ï, ¯ à ««¥«ì­ ï < v > (¯àאַ©, ­ âï­ã⮩ ­ v̄).

’® ¥áâì ¢® ¢á¥å â®çª å «ãç O(x0 ,y0 ) , ¯à®å®¤ï饣® ç¥à¥§ 0, ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¨¬¥¥â ®¤¨­ ¨ â®â ¥ 㣮« ­ ª«®­ . ’® ¥áâì ¯à ¢ ï ç áâìãà ¢­¥­¨ï ¥áâì äã­ªæ¨ï ®â xy , â. ¥. ãà ¢­¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®. Ž¡à â­®¥ ã⢥थ­¨¥ ­ «®£¨ç­®. 3.  áᬮâਬ v(x) = x, x ∈ R2 . „®ª ¨â¥, çâ® £à㯯 ᨬ¬¥â਩ ¥áâì GL2 (R).’¥®à¥¬ “¯à ­¥­¨¥“à ¢­¥­¨ï ¢ ¯®«­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. “à ¢­¥­¨¥¬ ¢ ¯®«­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å ­ §ë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥M (x, y)dx +¥á«¨ ¥£® «¥¢ ï ç áâì ï¥âáï ¯®«­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬. Œ®­® áç¨â âì, çâ® íâ®á¨¬¢®«¨ç¥áª ï § ¯¨áì ¤«ï ãà ¢­¥­¨ïN (x, y)dy = 0,dyM (x, y)=−.dxN (x, y)11‹¥ªæ¨ï 3http://www.mexmat.net/„¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ä®à¬ë.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

‹¨­¥©­ ï ä®à¬ ­ «¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ L ¥áâì «¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï l : L → R1 .6. áᬮâਬ ⮫쪮 á«ãç © dim L = 2.DZãáâì (ē1 , ē2 ) — ¡ §¨á ¢ L, l(ē1 ) = a, l2 (ē2 ) = b. DZãáâì ¢¥ªâ®à v̄ ∈ L ¨¬¥¥â ª®®à¤¨­ âë (v1 , v2 ).’®£¤ l(v) = av1 + bv2 . DZãáâì ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à v̄ à ¢­ë (dx, dy). ‹¨­¥©­ ï ä®à¬ ¢ â®çª¥ (x, y):w = a(x, y)dx + b(x, y)dy.(’®ç­¥¥, dx (dy) ¥áâì «¨­¥©­ ï ä®à¬ , ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¢¥ªâ®àã v ¥£® ¯¥à¢ãî (¢â®àãî) ª®®à¤¨­ â㢠¤ ­­®¬ ¡ §¨á¥).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

ƒ®¢®àïâ, çâ® § ¤ ­ «¨­¥©­ ï ä®à¬ ¢ ®¡« á⨠V ⊂ R2, ¥á«¨ ¢ ª á ⥫쭮¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¢ ª ¤®© â®çª¥ V § ¤ ­ «¨­¥©­ ï ä®à¬ .DZ®«¥ ­ ¯à ¢«¥­¨©, § ¤ î饥áï ãà ¢­¥­¨¥¬ M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.  ¯à ¢«¥­¨¥ ¢ â®çª¥ (x0 , y0) § ¤ ñâáï ª ª ¯àï¬ ï ¢¥ªâ®à®¢ ¢ T(x ,y )V , ®â®¡à 7.îé¨åáï ¢ ­®«ì «¨­¥©­®© ä®à¬®© L : T(x ,y ) V08.0DZ®«­ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë.1DZãáâì f : V→R —00→ R1 , l(dx, dy) = M (x0 , y0 )dx + N (x0 , y0 )dy.£« ¤ª ï.f (x, y) = f (x0 , y0 ) +∂f∂f(x0 , y0 )(x − x0 ) +(x0 , y0 )(y − y0 ) + o(|x − x0 | + |y − y0 |).∂x∂yŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥.

”®à¬ df =∂f∂fdx +dy∂x∂y­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬.’¥®à¥¬ . ”®à¬ M (x, y)dx + N (x, y)dy, M, N ∈ C ′(V ) ¢ ®¤­®á¢ï§­®© ®¡« á⨠V ï¥âáï ¯®«­ë¬¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ∂M∂N≡.∂y∂x‡ ¬¥ç ­¨¥. Ž¡« áâì ï¥âáï ®¤­®á¢ï§­®©, ¥á«¨ ®­ ó­¥ á®¤¥à¨â ¤ëà.12‹¥ªæ¨ï 4http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ1.4.25ᥭâï¡àï 2002 £.“à ¢­¥­¨ï ¢ ¯®«­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å (¯à®¤®«¥­¨¥).M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ”®à¬ ω = M (x, y)dx + N (x, y)dy ­ §ë¢ ¥âáï â®ç­®©, ¥á«¨ ω = dF .’¥®à¥¬ . ”®à¬ ω = M (x, y)dx + N (x, y)dy, M, N ∈ C 1 (v) ¢ ®¤­®á¢ï§­®© ®¡« á⨠V ⊂ R2 ï¥âáﯮ«­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ∂M∂N≡.∂y∂x(∗)„®ª § ⥫ìá⢮.∂FDZãáâì ω = dF , ⮣¤ ω = dF = ∂F∂x dx + ∂y dy. ‡­ ç¨â1) (⇒)∂M∂N∂ 2F∂2F=⇔=.∂y∂x∂y∂x∂x∂y2) (⇐)Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

DZãáâì Γ = γ(I), ⮣¤ ¨­â¥£à «®¬ 1-ä®à¬ë ¯® ªà¨¢®© ­ §ë¢ ¥âáïZω=Γ‹¥¬¬ .Zω(γ̇(t))dt.Iˆ­â¥£à « 1-ä®à¬ë ¯® ªà¨¢®© ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥âਧ 樨.„®ª § ⥫ìá⢮. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¥­¨¥ t : I2 → I1 , t = γ −1 η (â.¥. γ(t(s)) ≡ η(s)). ˆâ ª=ZZ(M (γ1 (t), γ2 (t))γ̇1 + N (γ1 (t), γ2 (t))γ̇2 )dt =I1M (γ1 (t(s)), γ2 (t(s)))I2=Zdγ1 dtdγ2 dt + N (γ1 (t(s)), γ2 (t(s)))ds =dt dsdt dsM (η1 (s), η2 (s))I2dη1dη2 + N (η1 (s), η2 (s))dsdsds‹¥¬¬ ¤®ª § ­ . ”®à¬ã« ƒà¨­ (¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠).

DZãáâì Ω ⊂ R — ®¡« áâì á ªãá®ç­®-£« ¤ª®© £à ­¨æ¥©. DZãáâìω — 1-ä®à¬ , ω = adx + bdy. ’®£¤ ä®à¬ã« ƒà¨­ ¨¬¥¥â ¢¨¤:ZδΩω=ZΩ∂b∂a −dxdy,∂x ∂y£¤¥ δΩ— £à ­¨æ ®¡« á⨠Ω.â ä®à¬ã« — ç áâ­ë© á«ãç © ä®à¬ã«ë ‘⮪á 13RδΩω=RΩdω.‹¥ªæ¨ï 4DZãáâìhttp://www.mexmat.net/’®£¤ ®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î F (x, y) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¤«ï «î¡®©â®çª¨R¯ãáâì γ : I → R2 — ªà¨¢ ï, ᮥ¤¨­ïîé ï (x0 , y0 ) á (x, y). DZ®«®¨¬ F (x, y) = ω.γ„®ª ¥¬ ª®à४⭮áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï. ’® ¥áâì â®, çâ® §­ 祭¨¥ ä㭪樨 ­¥ § ¢¨á¨âªà¨R ®â ¢ë¡®à R¢®©.  áᬮâਬ ¤àã£ãî ªà¨¢ãî ξ, ᮥ¤¨­ïîéãî (x0 , y0 ) á (x, y). „®ª ¥¬, çâ® ω = ω.

ã¤¥¬γξáç¨â âì, çâ® γ ¨ ξ ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. (‘«ãç © ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ®áâ ¢¨¬ ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ­¥­¨ï.) ˆ­â¥£à¨à㥬 á­ ç « ¯® γ, ¯®â®¬ ¯® −ξ.∂M∂y(x0 , y0 ) ∈ V ,≡∂N∂x .Zω=Z∂N∂M −ds = 0 ⇒∂x∂yΩγ−ξZω=0⇒γ−ξZω+γZω=0−­®á¢ï§­®áâì ®¡« á⨠§¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï, ª®£¤ ¬ë ¯à¨¬¥­ï¥¬ ä®à¬ã«ã ƒà¨­ .∂F’¥¯¥àì ®áâ «®áì ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ∂F∂x = M , ∂y = N .F (x, y) = F (x1 , y1 ) +¤® (x, y). ’®£¤ (x,y)R(x,y)RΩ.‚롥६ ¯ à ¬¥âਧ æ¨î γ â ª, ç⮡ë γ̇ = (1, 0) ­ ®â१ª¥ ®â (x1 , y1)(x1 ,y1 )(x−xR 1)Ω=(M (x1 + τ, y))dτ .0(x1 ,y1 ) áᬮâਬ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® x ®â í⮣® ¢ëà ¥­¨ï.= M (x1 + x − x1 , y) = M (x, y), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. €­ «®£¨ç­® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ∂F∂y = N .’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ . . Ž¤­®á¢ï§­®áâì áãé¥á⢥­­ .

Характеристики

Список файлов лекций