А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям (1114447), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. . + an (t)x = f (t)L=(1)dndn−1d+ a1 n−1 + . . . + an−1 + an ,ndtdtdtLx = f.…᫨ xç — ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1), â® «î¡®¥ ¥£® à¥è¥­¨¥ ¥áâì á㬬 xç ¨ ­¥ª®â®à®£®à¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï Lx = a.…᫨ x1 — ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = f1 ,x2 — ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = f2 ,...xk — ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = fk ,â® (x1 + . .

. + xk ) — à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = f1 + . . . + fk .2. Œ¥â®¤ ­¥®¯à¥¤¥«¥­­ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢.’¥®à¥¬ . …᫨ f (t) ¥áâì á㬬 ª¢ §¨¬­®£®ç«¥­®¢, â® «î¡®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1) ¥áâì á㬬 ª¢ §¨¬­®£®ç«¥­®¢.„®ª § ⥫ìá⢮. „®áâ â®ç­® ¤®ª § âì ⥮६㠢 á«ãç ¥, ª®£¤ f (t) ¥áâì ª¢ §¨¬­®£®ç«¥­ (â. ¥.äã­ªæ¨ï ¢¨¤ eλt p(t)). DZãáâì P m — ¬­®¥á⢮ ¢á¥å ª¢ §¨¬­®£®ç«¥­®¢ á ¯®ª § ⥫¥¬ λ á⥯¥­¨áâண® ¬¥­ìè¥ m, ⮣¤ dim P m = m. L(P m) ⊂ P m .

‹¥¬¬ 1. …᫨ λ — ­¥ ï¥âáï ª®à­¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£®®¯¥à â®à L, â® L(P m) = P m .„®ª § ⥫ìá⢮. ‚®§ì¬¥¬ ¡ §¨á ¢ P m : {eλt, teλt , t2 eλt , . . . , tm−1eλt }. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® L(tl eλt ) =F (λ)tl eλt + Q(t)eλt , £¤¥ deg Q < l, F — å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¨ F (λ) 6= 0. â® §­ ç¨â, ç⮬ âà¨æ ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ï¥âáï âà¥ã£®«ì­®©, â.

¥. ¤¥â¥à¬¨­ ­â à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¤¨ £®­ «ì­ëåí«¥¬¥­â®¢. ’ ª ª ª F (λ) 6= 0, â® ®¯¥à â®à L : P m → P m ¥áâì ¨§®¬®à䨧¬. LP m = P m . ‘«¥¤á⢨¥.  áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ (1), £¤¥ f (t) = eλtP (t), ¯à¨ç¥¬ λ ­¥ ï¥âáï ª®à­¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (1) ¢¨¤ eλt Q(t), £¤¥Q ≤ deg P .‹¥¬¬ 2.

DZãáâì λ ¥áâì ª®à¥­ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ ¤¨ää¥à¨­æ¨ «ì­®£® ®¯¥à â®à Lªà â­®á⨠s. ’®£¤ L(P m ) = P m−s .„®ª § ⥫ìá⢮. L = L1( dtd − λ)s , ¯à¨ç¥¬ L1P m = P m ¤«ï «î¡®£® m. •®â¨¬ ¯®ª § âì, çâ® LP m =ddP. „®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® ( dt− λ)s (P m ) = P m−s . „«ï í⮣® ¤®ª ¥¬, çâ® ( dt− λ)(P m ) = P m−1 .‚믮«­¨¬ ãî ¯à®¢¥àªãm−s(d− λ)(tl eλt ) = ltl−1 eλt + λeλt tl − λtl eλt = ltl−1 eλt .dt37‹¥ªæ¨ï 15http://www.mexmat.net/‘«¥¤á⢨¥.…᫨ λ ¥áâì ª®à¥­ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ªà â­®á⨠s, ¨ f (t) = eλt p(t), â®ã ãà ¢­¥­¨ï (1) ¥áâì ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢¨¤ Q(t)eλt , deg Q < m + s.

®«¥¥ ⮣® áãé¥áâ¢ã¥â ç áâ­®¥à¥è¥­¨¥ ¢¨¤ q(t)ts eλt , deg q(t) < m.„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ§ L(P m+s) = P m á«¥¤ã¥â ¯¥à¢ ï ç áâì ã⢥थ­¨ï.Q(t)eλt = ts q(t)eλt + R(t)eλt , £¤¥R < s, deg q < m.DZ®áª®«ìªã λ — ª®à¥­ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ ªà â­®á⨠s, L(R(t)eλt ) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,ts q(t)eλt — ⮥ à¥è¥­¨¥. 3.Œ¥â®¤ ª®¬¯«¥ªá­ëå ¬¯«¨âã¤.DZãáâì à áᬠâਢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥ á ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ Lx = f .

„®¯ãá⨬, çâ® ϕ —ª®¬¯«¥ªá­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï, ïîé ïáï ç áâ­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ á«¥¤ãî饣® ãà ¢­¥­¨ï: Lx = h, ℜh =f.‚ í⮬ á«ãç ¥ ℜϕ ¥áâì ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï§­ ç¨â L(ℜϕ) = f .Lx = f .ℜ(Lϕ) = ℜ(h),„¥©á⢨⥫쭮,Lϕ = h,§­ ç¨âDZਬ¥à ª®«¥¡ â¥«ì­ ï á¨á⥬ á ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ¢­¥è­¥© ᨫ®©.:4.ẍ + ω 2 x = 0 — ãà ¢­¥­¨¥ £ ମ­¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à .ẍ + ω 2 x = M cos νt — å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥.…᫨ λ2 + ω2 = 0, §­ ç¨â λ = ±ω. áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ ⥫쭮¥ ãà ¢­¥­¨¥:ẍ + ω 2 x = M eiνt .ˆ§¢¥áâ­®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢¨¤ Ceiνt , ¥á«¨ ν 2 6= ω2 . ¬¯«¨â㤮©.C=â.

¥. ϕ(t) = ωMe−νiνt22—ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ (*).­ §ë¢ ¥âáï ª®¬¯«¥ªá­®©M cos νt,ω2 − ν 2M cos νt+ C1 cos (C2 + ωt).ω2 − ν 2— ¢ë­ã¤¥­­ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï.C1 cos (C2 + ωt) — ᢮¡®¤­ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï.…᫨ ν = ω, ẍ + ω2 x = M eiωt , â® áãé¥áâ¢ã¥âM cos νtω 2 −ν 2CM,ω2 − ν 2xç = ℜϕ(t) =x®¡é =(∗)ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ϕ(t) = C + eiωt .ϕ̇ = Ceiωt + Ct(iω)eiωt ,ϕ̈ = 2(iω)Ceiωt − Ctω 2 eiωt ,MC=,2iωM teiωtϕ=,2iωM sin ωtxç = ℜϕ =,2ωM sin ωtx®¡é =+ C1 cos (C2 + ωt).2ω38‹¥ªæ¨ï 15http://www.mexmat.net/‘«¥¤á⢨¥.(1)…᫨ α+iβ ¥áâì ª®à¥­ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ¢¥é¥á⢥­­®£® ãà ¢­¥­¨ïªà â­®á⨠s, ¨ f (t) = eαt P (t) cos βt, â® áãé¥áâ¢ã¥â ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢¨¤ eαt ts (Q1 (t) cos βt + Q2 (t) sin βt),£¤¥ Qi < deg P .5.0.Œ¥â®¤ ¢ ਠ樨 ¯®áâ®ï­­ëå.DZãáâì {ϕ1 , .

. . , ϕn } — ”‘ (äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï á¨á⥬ à¥è¥­¨©) ¤«ï ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï Lx =x®¤­®à = C1 ϕ1 + C2 ϕ2 + . . . + Cn ϕn .DZ®¯à®¡ã¥¬ ­ ©â¨ ãá«®¢¨¥ ¢ ¢¨¤¥ xç = C1 (t)ϕ1 + C2 (t)ϕ2 + . . . + Cn (t)ϕn .’®£¤ xç = C1 (t)ϕ1 + C2 (t)ϕ2 + . . . + Cn (t)ϕnẋç = C1 (t)ϕ̇1 + . . . + Cn (t)ϕ̇n + Ċ1 (t)ϕ1 + . . . + Ċn (t)ϕn . «®¨¬ ãá«®¢¨¥, çâ® Ċ1 (t)ϕ1 + . .

. + Ċn (t)ϕn = 0, ⮣¤ ẍç = C1 (t)ϕ̈1 + . . . + Cn (t)ϕ̈n + Ċ1 (t)ϕ̇1 + . . . + Ċn (t)ϕ̇n . «®¨¬ ãá«®¢¨¥, çâ® Ċ1 (t)ϕ̇1 + . . . + Ċn (t)ϕ̇n . ˆ â ª ¤ «¥¥ . . .(n−1)x(n−1) = C1 (t)ϕ1(n−2)+ . . . + Cn (t)ϕ̇(n−1)+ Ċ1 (t)ϕ1n(n)(n−1)x(n) = C1 (t)ϕ1 + . . . + Cn (t)ϕ̇(n)n + Ċ1 (t)ϕ1(n−2)Ċ1 (t)ϕ1(n−2)+ .

. . + Ċn (t)ϕn„®¬­®¨¬ áâப¨+ . . . + Ċn (t)ϕ(n−2)n+ . . . + Ċn (t)ϕ(n−1).n= 0.xç = C1 (t)ϕ1 + C2 (t)ϕ2 + . . . + Cn (t)ϕnẋç = C1 (t)ϕ̇1 + . . . + Cn (t)ϕ̇n + Ċ1 (t)ϕ1 + . . . + Ċn (t)ϕnẍç = C1 (t)ϕ̈1 + . . . + Cn (t)ϕ̈n + Ċ1 (t)ϕ̇1 + . . . + Ċn (t)ϕ̇n...x(n−1) =(n−1)C1 (t)ϕ1(n−2)+ . .

. + Cn (t)ϕ̇(n−1)+ Ċ1 (t)ϕ1n(n)(n−1)x(n) = C1 (t)ϕ1 + . . . + Cn (t)ϕ̇(n)n + Ċ1 (t)ϕ1+ . . . + Ċn (t)ϕ(n−2)n+ . . . + Ċn (t)ϕ(n−1).n­ ª®íää¨æ¨¥­âë an , an−1 , an−2 , . . . , a1 , 1 ᮮ⢥âá⢥­­® ¨ á«®¨¬ í⨠áâப¨. DZ®«ã稬, çâ®:(n−1)f (t) = Lxç = C1 Lϕ1 + C2 Lϕ2 + . . . + Cn Lϕn + Ċ1 ϕ1€ Ci (t)Lϕi = 0.39+ . .

. + Ċn ϕ(n−1).n‹¥ªæ¨ï 15http://www.mexmat.net/‚ ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬ ãá«®¢¨¥ ­ {Ci}:Ċ1 ϕ1 + . . . + Ċn ϕn = 0Ċ1 ϕ̇1 + . . . + Ċn ϕ̇n = 0...(n−2)Ċ1 ϕ1(n−1)Ċ1 ϕ1+ . . . + Ċn ϕ(n−2)=0n+ . . . + Ċn ϕ(n−1)= f (t).nDZਠ䨪á¨à®¢ ­­®¬ t0 ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ á¨áâ¥¬ë ¥áâì W [ϕ1 , . . . , ϕn ](t0 ) 6= 0. ‚ ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬¯à®áâãî á¨á⥬ã:Ċi = gi (t), i = 1, . . .

, n.6.DZਬ¥à: ẍ + x = f (t). áᬮâਬ ẍ + x = 0.x®¤­ = C1 sin t + C2 cos t.ˆé¥¬ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ẍ + x = f (t) ¢ ¢¨¤¥ C1 sin t + C2 cos t.‡­ ç¨â,Ċ1 sin t + C2 cos t = 0Ċ1 cos t − C2 sin t = f (t),= sin tZt0=Z0Ċ1 = f (t) cos tĊ2 = −f (t) sin t),(C1 (t) =Rtf (τ ) cos τ dτ + C1RtC2 (t) = − 0 f (τ ) sin τ dτ + C2 ,0x = C1 (t) sin t + C2 (t) cos t =Z tf (τ ) cos τ dτ − cos tf (τ ) sin τ dτ + C̄1 sin t + C̄2 cos t =0tf (τ )(sin t cos τ − cos t sin τ )dτ + C̄1 sin t + C̄2 cos t =Z t=f (τ ) sin t − τ dτ + C̄1 sin t + C̄2 cos t.040.

Характеристики

Список файлов лекций