А.С. Городецкий - Лекции по дифференциальным уравнениям (1114447), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

…᫨ ϕ(t) — à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ẋ = v(x), â® ϕ(t + A) — ⮥ à¥è¥­¨¥.“¯à ­¥­¨¥ 5. DZ।¯®«®¨¬, çâ® x1 = sin t ¥áâì à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï x(n) = f (x, x′ , . . . , x(n−1)).00DZ®ª ¨â¥, ç⮠⮣¤ x2 = cos t — ⮥ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï.25‹¥ªæ¨ï 12http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ12.20­®ï¡àï 2002 £.“à ¢­¥­¨ï Š«¥à® ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ‹¥ ­¤à Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

“à ¢­¥­¨¥¬ Š«¥à® ­ §ë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ :y = xy ′ + f (y ′ )Ž­® § ¤ ¥â ᥬ¥©á⢮ ¯àï¬ëå, ¯ à ¬¥âਧ®¢ ­­ëå â ­£¥­á®¬ 㣫 ­ ª«®­ . y = cx + f (c)Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì f — £« ¤ª ï ¢ë¯ãª« ï äã­ªæ¨ï (f ′′ > 0). DZ८¡à §®¢ ­¨¥¬ ‹¥ ­¤à ä㭪樨 f ­ §ë¢ ¥âáï äã­ªæ¨ï g(p) â ª ï, çâ® g(p) = sup(px − f (x)).xDZ।«®¥­¨¥. DZ८¡à §®¢ ­¨¥ ‹¥ ­¤à — ¥áâì ¢ë¯ãª« ï äã­ªæ¨ï.„®ª § ⥫ìá⢮. ”¨ªá¨à㥬 α ∈ (0, 1).g(p) = (αp − (1 − α)q) = sup((αp + (1 − α)q)x − f (x)) =x= sup(α(px − f (x)) + (1 − α)(qx − f (x))) ≤x≤ sup(α(px − f (x))) + sup((1 − α)(qx − f (x))) = αg(p) + (1 − α)g(q).xxŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥. „®¯ãá⨬, çâ® sup ¤®á⨣ ¥âáï ¢ â®çª¥ x, ⮣¤ p − f ′(x) = 0,â. ¥. p = f ′(x).

’ ª¨¥â®çª¨ x ¨ p ­ §ë¢ îâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ‹¥ ­¤à .’¥®à¥¬ ¥à ¢¥­á⢮ ž­£ .â®çª¨ x ¨ p ᮮ⢥âá⢥­­ë¥.f (x) + g(p) > xp,¯à¨ç¥¬, ¥á«¨ à ¢¥­á⢮ ¤®á⨣ ¥âáï, â® â ª¨¥„®ª § ⥫ìá⢮. g(p) = sup(px − f (x)) > px − f (x). …᫨ à ¢¥­á⢮ ¤®á⨣ ¥âáï, â® p = f ′ (x), â. ¥.xx ¨ p ᮮ⢥âá⢥­­ë¥. DZਬ¥à. f (x) = xα , x > 0, α > 1.  ©¤¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ‹¥ ­¤à í⮩ ä㭪樨.p = f ′ (x), p = ẋα−1 , x = p, â. ¥.

g(p) = xp − f (x) = pp− α1 (p)α , g(p) = pβ , £¤¥ β1 + α1 = 1.α1α−11α−11α−1β‘«¥¤á⢨¥ 1 (­¥à ¢¥­á⢮ ž­£ ). „«ï «î¡ëå x, p > 0; β, α > 1, β1 + α1 = 1, pβ + xα > px.‘«¥¤á⢨¥ 2. DZ८¡à §®¢ ­¨¥ ‹¥ ­¤à ï¥âáï ¨­¢®«î樥©, â. ¥. ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ‹¥ ­¤à βαä㭪樨 g(p) (£¤¥ g(p) — ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ „¥ ­¤à ä㭪樨 f ) ¥áâì á­®¢ äã­ªæ¨ï f (x).„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ ­¥à ¢¥­á⢮ ž­£ f (x) + g(x) > xp, f (p) > xp − g(p) sup(px − g(p))x¤®á⨣ ¥âáï ¢ â®çª¥ p, ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¯¨á ­® à ¢¥­á⢮ ¢ ­¥à ¢¥­á⢥ ž­£ , â. ¥. f (x)+g(x) = xp.

’¥¯¥àì à áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ Š«¥à®.‘«¥¤á⢨¥ 3. DZ¥à¥å®¤ ®â ä㭪樨 g(p) ª ®£¨¡ î饩 ᥬ¥©á⢠¯àï¬ëå y = xp − f (x), § ¤ ­­®©ä®à¬ã«®© y = f (x) ¥áâì ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ‹¥ ­¤à .„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì h(x) ¥áâì ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ‹¥ ­¤à ä㭪樨 g(p). g(p) = xp − f (x), £¤¥f ′ (x) = p, x = (f ′ )−1 (p) (®¡à â­ ï äã­ªæ¨ï áãé¥áâ¢ã¥â, â ª ª ª äã­ªæ¨ï f ′ — £« ¤ª ï). DZ®áª®«ìªãªà¨¢ ï ¥áâì ®£¨¡ îé ï ᢮¨å ª á ⥫ì­ëå, ᥬ¥©á⢮ ª á ⥫ì­ëå ª £à 䨪ã h(x) ¥áâì y = xp−g(x),â® h(x) = f (x). ‹¨­¥©­ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï1. Žá­®¢­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.‹¨­¥©­ë¬ ®¤­®à®¤­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬ n-£® ¯®à浪 á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ­ §ë¢ ¥âáïãà ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ :x(n) + a1 (t)x(n−1) + . . . + an−1 (t)ẋ + an (t)x = 026‹¥ªæ¨ï 12http://www.mexmat.net/‹¨­¥©­ë¬ ­¥®¤­®à®¤­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬ n-£® ¯®à浪 á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ­ §ë¢ ¥âáïãà ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ :x(n) + a1 (t)x(n−1) + .

. . + an−1 (t)ẋ + an (t)x = f (t)‹¨­¥©­ë¬ ®¤­®à®¤­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬ n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ­ §ë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ :x(n) + a1 x(n−1) + . . . + an−1 ẋ + an x = 0,£¤¥ ai = const.‹¨­¥©­®© ®¤­®à®¤­®© á¨á⥬®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© n-£® ¯®à浪 á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ­ §ë¢ ¥âáï á¨á⥬ ¢¨¤ : ẋ1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + . . . + a1n (t)xn...ẋn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + . . . + ann (t)xnŠ®à®âª® íâ® ¬®­® § ¯¨áë¢ âì â ª: ẋ = A(t)x, £¤¥ x ∈ Rn .‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ à¥è¥­¨©2..A(t) ∈ C 1 (R1 ).. „®áâ â®ç­® âॡ®¢ âì, ç⮡ë A(t) ∈ C 0 (R1 )..

‹î¡®¥ à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë ẋ = A(t)x ¯à®¤®« ¥âáï ­ R1 .„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì ϕ(t) — à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë ẋ = A(t)x á ­.ã. ϕ(0) = x0 .[−T, T ] ⊂ R1 . ’®£¤ ||A(t)|| ≤ c = c(T ) ¯à¨ t ∈ [−T, T ].||A|| = sup ||Av ||.‡ ¬¥ç ­¨¥’¥®à¥¬  áᬮâਬ ®â१®ª|v|=1„«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ­ ¬ ¯®âॡã¥âáï «¥¬¬ :‹¥¬¬ .…᫨ ϕ(t) — à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë ẋ = A(t)x, ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ­ [t0 , t] ⊂ [−T, T ], â®||ϕ(t)|| ≤ ec(t−t0 ) ||ϕ(t0 )||.„®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë.τ ∈ [t0 , t].(1)(1)¢ë¯®«­¥­®, ¥á«¨ ϕ(τ ) = 0. …᫨ ϕ(τ1 ) 6= 0, â® ϕ(τ ) 6= 0 ¤«ï «î¡®£®DZ®«®¨¬, r(τ ) = ||ϕ(τ )||. ”ã­ªæ¨ï L(τ ) = ln r2 ®¯à¥¤¥«¥­ ­ [t0 , t].L̇(τ ) =d2 dt||ϕ(t)||ṙ||ϕ̇(t)||||A(τ )ϕ(τ )||2rṙ=2=≤2=2≤ 2||A(τ )|| ≤ 2c,2rr||ϕ(t)||||ϕ(τ )||||ϕ(τ )||L(t) ≤ L(t0 ) + 2c(t − t0 ),ln r2 (t) ≤ ln r2 (t0 ) + 2c(t − t0 ),||ϕ(t)|| ≤ ||ϕ(t0 )||ec(t−t0 ) .DZãáâì ||ϕ(0)||2 = ||x0 ||2 = B > 0.

 áᬮâਬ 樫¨­¤à K = {(t, x)|t ∈ [−T, T ], ||x||2 ≤ 2Be4T c }.‚ à áè¨à¥­­®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ à¥è¥­¨¥ ϕ(t) c ­.ã. ϕ(0) = x0 ¬®¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¥­® ¤®∂K (¯® ⥮६¥ ® ¯à®¤®«¥­¨¨).||ϕ(t)||2 ≤ ||ϕ(t0 )||2 e2c(t−t0 ) = ||x0 ||2 e2ct = Be2cT < 2Be4cT .’® ¥áâì ϕ(t) ¯à®¤®« ¥âáï ¢¯à ¢® ¤® t = T ¨ ¢«¥¢® ¤® t = −T .27‹¥ªæ¨ï 12http://www.mexmat.net/‘âàãªâãà ¯à®áâà ­á⢠à¥è¥­¨©.’¥®à¥¬ .

DZà®áâà ­á⢮ à¥è¥­¨© á¨á⥬ë ẋ = A(t)x ¥áâì «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ à §¬¥à­®á⨠n.3.„®ª § ⥫ìá⢮. 1) ‹¨­¥©­®áâì. …᫨ x1 , x2 — à¥è¥­¨ïẋ1 = A(t)x1ẋ2 = A(t)x2,â® dtd (x1 + x2 ) = A(t)(x1 + x2 ). …᫨ x1 — à¥è¥­¨¥, â® dtd (λx1 ) = A(t)(λx1 ).2)  §¬¥à­®áâì. DZãáâì H — ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å à¥è¥­¨©.

 áᬮâਬ ®â®¡à ¥­¨¥ Bt : M → Rn ,Bt à¥è¥­¨î ϕ̇ ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¢¥ªâ®à ϕ(t) (â. ¥. ¥£® §­ 祭¨¥ ¢ ¬®¬¥­â t).a) Bt — «¨­¥©­® ¤«ï «î¡®£® 䨪á¨à®¢ ­­®£® t.¡) ImBt = Rn¢) ker Bt = {0}’®£¤ Bt — ¨§®¬®à䨧¬, §­ ç¨â dim M = n. DZ।«®¥­¨¥.  áᬮâਬ ®â®¡à ¥­¨¥ § ¢à¥¬ï ®â t0 ¤® t ¢¤®«ì à¥è¥­¨© á¨á⥬ë ẋ = A(t)x.’®£¤ ®â®¡à ¥­¨¥ gtt : Rn → Rn «¨­¥©­®.„®ª § ⥫ìá⢮. gtt = Bt Bt−1 . Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.  §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ à¥è¥­¨© á¨á⥬ë ẋ = A(t)x ­ §ë¢ ¥âáï ¥¥ äã­¤ ¬¥­â «ì­®©á¨á⥬®© à¥è¥­¨©.004.0‹¨­¥©­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï n-£® ¯®à浪 .x(n) + a1 (t)x(n−1) + .

. . + an (t)x = 0’¥®à¥¬ .(2)‚ᥠà¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (2) ¯à®¤®« îâáï ­ R1 , ¨ ®­¨ ®¡à §ãîâ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­áâ¢®à §¬¥à­®á⨠n.„®ª § ⥫ìá⢮. 1) ‹¨­¥©­®áâì.  áᬮâਬ «¨­¥©­ãî á¨á⥬ã:ẋ1 = x2 ẋ = x23....ẋn = −a1 (t)xn − a2 (t)xn−1 − . . . − an (t)x1“⢥थ­¨¥. …᫨ (x1 (t); x2 (t); . . . ; xn (t)) — à¥è¥­¨¥ (1), â® x1 (t) — à¥è¥­¨¥ (2).

…᫨ x(t) —à¥è¥­¨¥ (2), â® (x(t); ẋ(t); . . . ; xn−1 (t)) — à¥è¥­¨¥ (1).DZத®«¥­¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥯¥àì á«¥¤ã¥â ¨§ â¥®à¥¬ë ¤«ï á¨á⥬ë.2)  §¬¥à­®áâì. DZãáâì M — ¯à®áâà ­á⢮ à¥è¥­¨© (2). DZãáâì Bt : M → Rn ᮯ®áâ ¢«ï¥â à¥è¥­¨îϕ(t) ¢¥ªâ®à (ϕ(t), ϕ̇(t), . . . , ϕ(n−1) (t)). Bt — ¨§®¬®à䨧¬, §­ ç¨â dim M = n. 28‹¥ªæ¨ï 13http://www.mexmat.net/‹…Š–ˆŸ13.27­®ï¡àï 2002 £.‹¨­¥©­ë¥ ®¤­®à®¤­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¨ á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨1.‹¨­¥©­ë¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë.Ž¤­®à®¤­ë¥ ¨ ­¥®¤­®à®¤­ë¥ ãà ¢­¥­¨ïx(n) + a1 (t)x(n−1) + . .

. + an (t)x = 0(1)DZãáâì C 0 (R1 ) — «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­¥¯à¥à뢭ëå ­ R1 ä㭪権. C n (R1 ) — «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ n à § ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権.  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®àL : Cn (R1 ) → C0 (R)dn ϕdn−1 ϕ+a(t)+ . . . + an (t)ϕ1dtndtn−1nn−1ddL = n + a1 (t) n−1 + . . . + an (t)dtdtLx = 0, dim Ker L = n.Lϕ =‘«¥¤á⢨¥.  áᬮâਬ ­¥®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ Lx = f . …£® à¥è¥­¨ï ®¡à §ãîâ ä䨭­®¥ ¬­®£®®¡à §¨¥ ¢ Cn (R1 ) à §¬¥à­®á⨠n. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ xr — ®¤­® à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = f , ⮫¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Lx = f ¥áâì á㬬 x1 ¨ ª ª®£®-â® à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤­®à®¤­®£®ãà ¢­¥­¨ï Lx = 0.2.‹¨­¥©­ë¥ ®¤­®à®¤­ë¥ á¨á⥬ë.

Ž¯à¥¤¥«¨â¥«ì ‚஭᪮£®.DZãáâìẋ = A(t)x, x ∈ Rn , A(t) : Rn → Rn .(2)ϕ̄1 (t) = (ϕ11 (t), ϕ12 (t), . . . , ϕ1n (t))ϕ̄2 (t) = (ϕ21 (t), ϕ22 (t), . . . , ϕ2n (t))...ϕ̄n (t) = (ϕn1 (t), ϕn2 (t), . . . , ϕnn (t))­ ¡®à ¨§ n ¢¥ªâ®à-ä㭪権 R1 → Rn .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. „¥â¥à¬¨­ ­â®¬ ‚஭᪮£® ¤«ï ­ ¡®à {ϕ̄1, . . . , ϕ̄n } ¢¥ªâ®à-ä㭪樨 ­ §ë¢ ¥âáïç¨á«®¢ ï äã­ªæ¨ï’¥®à¥¬ ϕ11 (t) ϕ21 (t) . . . ϕn1 (t) ...... .W [ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n ](t) = ...... ϕ1n (t) ϕ2n (t) .

. . ϕnn (t) 1. DZãáâì {ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n } — ­ ¡®à à¥è¥­¨© á¨á⥬ë (2). …᫨ W [ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n ](t0 ) = 0, ⮨ ä㭪樨 {ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n } — «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë. …᫨ W [ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n ](t0 ) 6= 0, â® {ϕ̄1 , . . . , ϕ̄n } —äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï á¨á⥬ à¥è¥­¨© (”‘).W ≡ 0,29‹¥ªæ¨ï 13http://www.mexmat.net/„®ª § ⥫ìá⢮. DZ®«®¨¬ Bt0: {¯à®áâà ­á⢮ à¥è¥­¨© (2)} → RnBt0 (ϕ̄) = (ϕ1 (t0 ), ϕ2 (t0 ), .

. . , ϕn (t0 )).’®£¤ Bt — ¨§®¬®à䨧¬, â. ¥. {ϕ̄1 , ϕ̄2 , . . . , ϕ̄n } «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë ⇔ {Bt ϕ̄, Bt ϕ̄2 , . . . , Bt ϕ̄n } «¨­¥©­®§ ¢¨á¨¬ë ⇔ W [ϕ̄1 , ϕ̄2 , . . . , ϕ̄n ](t0 ) = 0. 00’¥®à¥¬ ‹¨ã¢¨««ï-Žáâà®£à ¤áª®£®.’¥®à¥¬ . DZãáâì {ϕ̄1, . . . , ϕ̄n} — à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (2).3.⥫쭮, W (t) = W (t0 ) = e£¤¥= (Tr(A(t))W (t) ¨,á«¥¤®¢ -.dϕ21dtϕ22............ϕ2n... ϕ11 (t) ϕ21 (t) . . .dd .....W (t) = ...dtdt .

ϕ1n (t) ϕ2n (t) . . .dϕn1 ϕ11ϕ21dt ....ϕn2 .... + . . . + ϕ1(n−1) ϕ2(n−1). dϕdϕ2n1nϕnndt a11 (t)ϕ11 (t) + . . . + a1n (t)ϕ1n (t)ϕ12V1 = ...ϕ1n a11 ϕ11 a11 ϕ21ϕ22 ϕ12= ..... .ϕ1nϕ2n€­ «®£¨ç­®Vk (t) = akk (t)W ,Tr(A(t))W . 4.’®£¤ Ẇ (t)0Tr A(τ )dτt0„®ª § ⥫ìá⢮. dϕ11 dt ϕ12= . ..ϕ1nRt0á«¥¤®¢ ⥫쭮dtϕn1 (t) .. =. ϕnn (t) = V1 + . . .

Характеристики

Список файлов лекций