И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 73
Текст из файла (страница 73)
a 2 (π − 2 ) кв.ед. 64. πa 3 + a 3 2 кв.ед. 65. 7πa / 512 кв.ед.(66.кв.ед.61.πa / 8(кв.ед. 67.)70. a 1 −24πa 2 / 3 кв.ед. 69. πa 2 / 2 кв.ед.3⎞2⎛271. 3a кв.ед.72. πa ⎜ 2 − ⎟ кв.ед.8⎠⎝π 2a 22 2 кв.ед.((4. 10a .a ln tg14. 2ach(33 / 3 .2 (π − 1) .5.9. a cos t 0 + a lnкв.ед. 68.) )1. (5a 8) 2 − ln 2 −11.кв.ед.)2кв.ед.⎛⎞121.
a ⎜⎜ π −ln 2 + 3 ⎟⎟ кв.ед. 22. 7 12 кв.ед.3⎝⎠2πa 2 2a 224. 6 −кв.ед. 25. S1 = S 2 =−кв.ед.,π43228. 27 / 5 кв.ед.31.(π 83 кв.ед. 17. 8 15 кв.ед. 18. 8a 5 кв.ед. 19. 2 ln 1 + 2 кв.ед.20. a 10 кв.ед.S3 =15.2257. πa / 4 кв.ед.509§6.2. 2a 56. 5π .()a.8. 2+ a ln 2 + 5 .7. 2π2cos t 0 − 1, где x(t 0 ) = x0 , y (t 0 ) = y 0 .cos t 0 + 1(3. 12.)2 −1 .10. 3a 2 .t032, где x(t 0 ) = x 0 , y (t 0 ) = y 0 . 12.
1 3 . 13. (ch 2a − 1) / 2 .2t 0 − 3acht 0 + a , где x(t 0 ) = x0 , y (t 0 ) = y 0 . 15.a2 + c2 ⋅ t .)16. 27 3 − 2 6 / 21 .17.⎛ 4e 4π + h 2 − h ⎞⎟ − 2π .h 2 + 4 + h ln⎜2⎜4 + h − h ⎟⎠⎝h 2 + 4e 4π −(19. 8 10 10)− 1 / 27 .20.1 + e 2 a − 2 + a − ln18. 10a .1 + 1 + e 2a.1+ 221. 27 20 + ln 2 . 22. (1 2 ) ln 3 . 23. ln (tg (π 4 + a 2 )) . 24.
(1 2 ) ln 3 .a+b25. ln 2 + 3 . 26. ln 3 − 1 2 . 27. a ln− b . 28. ln e + e 2 − 1 .a−ba29. 2 2 / 3 .30. 4 2 / 3 .31. 2. 32. (20 9 ) 5 3 .33. a ln .b()(()) ()34. 7 a / 6 . 35. 14a / 3 . 36.1 + e 2 + e − 2 + 2 ln 1 + 2 + ln 1 + e 2 − 1 .37.32()2 + ln 1 + 2 + 2(10− 1) / 27 .38. 7 3 .39. 1.40. 1.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл510Ответы и решения511).(42. πa 1 + 4π + (a 2 ) ln (2π + 1 + 4π ) .43. ((π + 4 ) π + 4 − 8)/ 3 .
44. πa . 45. 8.46.a 2π + 3 3 / 8 .перпендикулярной к оси Oy (очевидно, это круг). По условию, в основании47. 3πa 2 .50.2 + ln 1 + 2параболоида лежит круг известной площади S . Обозначим радиус этого кру-41.πa 1 + 4π 2 + (a 2) ln 2π + 1 + 4π 222( tgОтвет: V2249. a (2π − thπ ) .48. 16a 3 .(())1 6 + 373π= 2 + 1 ). 51. 6 13 . 52. 14 3 . 53. 3 37 − 5 + ln.282+ 554. a .()55. 2a 1 −2 2.ϕ 0 = ϕ (t 0 ) , r0 = r (t 0 ) . 57.58. 28a / 3 .(59.
4a 1 +56.⎛ sin t 01π ⎞⎞⎛t+ ln tg ⎜ 0 + ⎟ ⎟⎟ , гдеa⎜⎜2⎝ 2 4⎠⎠⎝ 2 cos ϕ 0 2a 3 + b3a 2b 2+a2 + b2a2 + b2((3 ln( 1 + 3)))23⋅ ln(a( a).− a)b a2 + b2 + b(2+b 2)2 ) . 60. 2 2 5 3 2 − 2 3 2 / 9 .πh=6(B(a + 2 A) + b( A + 2a )) (куб.ед).2. Решение. Найдём площадь S ( y ) сечения параболоида плоскостью,H= R 2 (умножением его на число π ) наaπHπHπH 2ходим:= S , откуда a =. Следовательно, y =x , откуда опaSSSy2ределяем x =. Умножая теперь левую и правую части последнего раπHвенства на π (при фиксированных x и y ), получим площадь поперечногоSy. Теперь ужесечения параболоида как функцию переменной y : S ( y ) =Hга черезR , тогда из равенствалегко вычислить искомый объём:HSV = ∫ S ( y )dy =H0§7.1. Решение.
Проведём плоскость, перпендикулярную к высоте конуса нарасстоянии x от плоскости верхнего основания конуса. В сечении получимA−aB−bx и z 2 (x ) = b +x . ПлощадьhhA−a ⎞ ⎛B−b ⎞⎛такого эллипса равна S ( x ) = π ⎜ a +x⎟ ⎜b +x⎟ =hh⎠⎝⎠⎝( A − a )(B − b ) x 2 ⎞ .aB − 2ab + bA⎛x+= π ⎜ ab +⎟hh2⎝⎠эллипс с полуосями z1 ( x ) = a +hТогда для объёма тела получаем V =∫ S (x )dx =0haB − 2ab + bAAB − Ab − aB + ab 2 ⎞⎛= π ∫ ⎜ ab +x+x ⎟dx =hh2⎠0⎝πh(B(a + 2 A) + b( A + 2a )) .=6H∫ ydy =0SH2(куб.ед).3. Решение.
В сечении тела плоскостью, перпендикулярной к оси Oz ,получим эллипс с полуосями a и z , следовательно, S ( z ) = πaz . Тогда дляобъёма тела имеемaa00V = ∫ S ( z )dz = πa ∫ zdz =πa 32(куб.ед).4. Решение. Тело расположено в первом октанте. Оно ограничено частямикоординатных плоскостей и частью поверхности z = 1 − x − y . В сечениитела плоскостью, перпендикулярной к оси Oz , получаем равнобедренныйпрямоугольныйS (z ) =треугольник(1 − z )катетомдлины1− z2 ,поэтому2 2. Тогда для величины объёма имеем21V = ∫ S ( z )dz =05. 4πRс33 (куб.ед ).141(куб.ед).(1 − 2 z 2 + z 4 )dz =∫15206. 72 (куб.ед ).7. 2a h 3 (куб.ед ).2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл512Ответы и решения8. πR h 2 (куб.ед ).9. Решение. Объём тела вращения находим по формуле (1):2aVOX = π ∫ y ( x )dx =2πb 204a343a∫ x dx =03πb 24x7 a37a 33πab 2(куб.ед).7=010. Решение. а)ππ00VOX = π ∫ y 2 ( x )dx = π ∫ sin 2 xdx =ππ00π2ππ∫ (1 − cos 2 x )dx = (куб.ед).2∫212. Решение. а) VOX = π+∞(куб.ед).+∞б) VOY+∞2−2 x∫ y (x )dx = π ∫ e dx = −00+∞⎛= 2π xy( x )dx = 2π xe − x dx = 2π ⎜ − xe − x⎜00⎝∫∫π2+∞0e −2 x+∞0=π2⎞+ ∫ e − x dx ⎟⎟ = 2π0⎠+∞(куб.ед). 13. 2π (куб.ед). 14. а) π (3 ln 3 − 6 ln 3 + 4) (куб.ед).
;б) π (9 ln 3 − 8) (куб.ед ). 15. 2π (куб.ед ). 16. 64π 15 (куб.ед ).217. 0,3π (куб.ед ). 18. 19,2π (куб.ед ). 19. π (e + 1) 4 (куб.ед ).320. 4π 35 (куб.ед ).21. πp (куб.ед ).22. а) 8π 15 (куб.ед ). ;2б) 16π 105 (куб.ед ).(куб.ед).25. а)⎛1 2⎞sh x + 1⎟ (куб.ед ).⎝2⎠23. πa ⎜3π4(2 + π ) (куб.ед). ;34. 4π 15 (куб.ед ).окружности (расположенной выше прямойπ⎞⎛+ 4π (куб.ед ). ; г) π ⎜ 4 − ⎟ (куб.ед ). ; д) 2π 2 + 4π (куб.ед ).2⎠2⎝2211. а) 3π 2 (куб.ед ).
; б) π − 2π (куб.ед ).π32. Решение. VOX4= 12π (куб.ед ). 33. 4π 15135. 32πa 105 (куб.ед ).336. Решение. Фигура, которая вращается вокруг оси Ox , ограничена окружностью радиуса a с центром в точке (0; b ) . Уравнением верхней полу-π⎛⎞π= 2π ⎜⎜ − x cos x 0 + ∫ cos xdx ⎟⎟ = 2π 2 (куб.ед ).0⎝⎠в)16π16= π ∫ 2 dx = −x1 x4(куб.ед).б) VOY = 2π xy ( x )dx = 2π x sin xdx =∫3π 2 π(куб.ед). 26. 16π (5π + 8) 5 (куб.ед). 27. а) 56π 15в)−42(куб.ед).
; б) 8π 3 (куб.ед). ; в) 8π 2 15 (куб.ед). 28. 32π (куб.ед).3π ⎛ 7 1 ⎞29.31. π (куб.ед ).⎜ 2 − 7 ⎟ (куб.ед ). 30. π 4 (куб.ед ).7 ⎝3 ⎠20513б)24. πa h 22π ln 2 (куб.ед ). ;y = b ) являетсяy В = b + a 2 − x 2 , а нижней полуокружности, соответственно,y Н = b − a 2 − x 2 .
Искомый объём равенaVOX = π ∫ ( y (x ) − y2В−aa2Н(x ))dx = 8πb ∫0a 2 − x 2 dx .[]Сделав тригонометрическую подстановку x = a sin t , t ∈ 0, π 2 , прихоπ2дим к интегралу VOX = 8πa b cos tdt = 2π a b (куб.ед ).∫22220⎛⎛y3y2 ⎞= π ∫ a ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟dy = πa 2 ⎜⎜ y + 23b⎝⎝ b ⎠− 2b28= πa 2 b (куб.ед ).32b37. Решение. VOY22b⎞⎟⎟=⎠ − 2b38. Решение. Объём эллипсоида вращения находим по формулеb⎛⎛4y3 ⎞y2 ⎞VOY = π ∫ a ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟dy = πa 2 ⎜⎜ y − 2 ⎟⎟ = πa 2 b (куб.ед ).3b ⎠ −b 3⎝⎝ b ⎠−b4 3Замечание. При a = b = R получаем V = πR – объём шара.3b2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл514Ответы и решения39. Решение. Рассмотрим шар как результат вращения полуокружностиy = R − x , − R ≤ x ≤ R , вокруг оси Ox . Тогда22RVOX = π∫ (R2)− x 2 dx = πR 2 x−RR−R−πx3 R3−RVOX =41.Решение.h∫ x dx =2h2πR 2 x 30Пустьтор3h 2h=4= πR 3 (куб.ед ).3πR 2 h30получается50. Решение. а) Данная кривая замкнута и симметрична относительно обеих координатных осей, причём при изменении параметра t от 0 до40. Решение. Рассмотрим конус как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках (0;0 ) , (h;0 ) и (h; R ) вокруг оси Ox .ТогдаπR 2(куб.ед).вращениемπ∫ (d +R −x2−R2) dx − π ∫ (d −R2−RR −x22) dx = 4πd ∫2ππ2200() ()VOX = 2π ∫ y 2 (t )dx(t ) = 2π ∫ b cos 3 t d a sin 3 t =окружности2π2R()= 6πab 2 ∫ cos 7 t − cos 9 t dt =R − x dx =220−R32πab 2(куб.ед).105πππ2∫ (a sin t )(b cos t )d (a sin t ) = 124πa b ∫ sin= 4πdR 2 ∫ cos 2 tdt = 2π 2 dR 2 .−Ответ: VOX = 2π dR22(куб.ед).б) VOY = 4ππ32325t ⋅ cos 4 tdt =02a2 − b22π(куб.ед) ;a 2 − b 2 (2a 2 + b 2 ) − 2πa 2 b arcsina32πb(куб.ед).a 2 − b 2 2a 2 + b 2 + π 2 a 2 b + 2πa 2 b arcsin3a16πa 2 H(куб.ед).
; в) 8 πaH 2 (куб.ед).44. а)πaH 2 (куб.ед ). ; б)21552222πa h 3b − h(куб.ед).45.3b 2πa 3⎛5 π ⎞3(π − 2) (куб.ед). ;46. а)б) πa 2 ⎜ − ⎟ (куб.ед ).2⎝6 4⎠4247. πab (куб.ед ).48. 8π (куб.ед ).49. 6π 7 (куб.ед ).343.))3π42. 2π a b (куб.ед ).(2022 2(вели-всю кривую. Поэтому, учитывая симметрию кривой и формулы понижениястепени (пример 5 раздела 3.3), в случае вращения вокруг оси Ox получаемследующий объём:2Rπ2чина x возрастает от 0 до a , а величина y , наоборот, убывает от b до 0.Таким образом, при изменении t от 0 до 2π подвижная точка движется покривой из точки (0; b ) в направлении движения часовой стрелки и пробегаетy = d ± R − x относительно оси Ox .
Тогда его объём VOX равен2515()= 124πa 2 b ∫ sin 5 t − 2 sin 7 t + sin 9 t dt =032πa 2 b(куб.ед).1052 33π a(куб.ед). 52. а) 16 πa 3 (куб.ед). ; б) π a (куб.ед). ;421516 316 32 3в)πa (куб.ед ). ; г) πa (куб.ед ).53. а) π a (куб.ед ). ;3324⎞2 33⎛πб) 2πa ⎜⎜54. а) 4π a− ⎟⎟ (куб.ед ). ; в) 3π 2 a 3 (куб.ед ).⎝ 4 3⎠2351.(куб.ед). ; б) 128 πa 3 (куб.ед). 55. а)15327πa 3(куб.ед). ; б) 118 3πa323522 3πa 33(куб.ед).56. 236πa 35 (куб.ед ).73336π57.
4πa 21 (куб.ед ). 58. 64πa 105 (куб.ед ). 59. 2πa e + 1 111(куб.ед). ;в)()Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл516Ответы и решенияπ(куб.ед).60. Решение. VOP2π=32∫ (aϕ )37.sin ϕdϕ =π⎞⎛π⎜ − ϕ 3 cos ϕ + 3∫ ϕ 2 cos ϕdϕ ⎟ =⎟⎜00⎠⎝π3 ⎛⎞⎞⎛π2πa ⎜ 3π + 3⎜⎜ ϕ 2 sin ϕ 0 − 2∫ ϕ sin ϕdϕ ⎟⎟ ⎟ ==⎟3 ⎜⎝0⎠⎠⎝π⎞⎞⎛2πa 3 ⎛⎜ 3ππ − 6⎜⎜ − ϕ cos ϕ 0 + ∫ cos ϕdϕ ⎟⎟ ⎟ ==⎟3 ⎜⎝0⎠⎠⎝22π 2 a 3 2=π − 6 . Ответ: VOP = π 2 a 3 π 2 − 6 (куб.ед ).3361. Решение.
Пусть P – произвольная точка многогранника S . Тогда4 3шар радиуса r с центром в P содержится в Tr , так что V (r ) ≥ πr .3Пусть наибольшее из расстояний от P до других точек S равно d . ТогдаTr содержится в шаре радиуса r + d с центром в P , так что())44V (r ) 4d3V (r ) ≤ π (r + d ) и π ≤ 3 ≤ π ⎛⎜1 + ⎞⎟ ,333 ⎝r⎠rV (r ) 4откуда lim= π.r → +∞ r 333π (e 2 − e −2 + 4) (кв.ед ).2.()()4. 10π 3 (кв.ед ).6.64π3(кв.ед).(кв.ед).) (кв.ед).⎛π 1⎞+ ⎟ (кв.ед ).⎝ 2 3⎠8. 16πa ⎜23⎞2πa 2 ⎛ 22⎞⎜ 5 −1⎟ (кв.ед ).⎟ (кв.ед ). 10.⎟3 ⎜⎝2 ⎟⎠⎠11.128πa 25x1 , y1 по формуламππππx+ yx = x1 cos − y1 sin , y = y1 cos + x1 sin , откуда x1 =,44442y−x, и свести задачу к вычислению площади поверхности, образоy1 =2aванной вращением кривой x1 =sin 3 t + cos 3 t ,22ay1 =(sin 3 t − cos 3 t ) вокруг оси Ox1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
