И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 69
Текст из файла (страница 69)
p. ∫ cos xdx = lim1+ xV . p. ∫dx = lim2A→ +∞+x1−∞a 1под знак дифb cos 2 x1(x − 1)5dt∫0 t 2 + 1 ).(A⎛ A dx1 d 1+ x21+ x⎜+dx=lim∫ 2A→ +∞ ⎜ ∫ 1 + x 22 −∫A 1 + x 2− A1 + x⎝ −Ax2является бесконечно боль(x − 1)5(x − 1)5знаку сравнения (сравнения со степенью), интеграл расходится.б) Интеграл несобственный 2-го рода. Особая точка) ⎞⎟ =x23(x − 1)2⎛ 1= O⎜⎜⎜ ( x − 1) 23⎝+∞⎟⎠в) Интеграл∫x e5 −xdx несобственный 1-го рода (единственная особаяx = +∞ ).
Обозначим подынтегральную функцию f (x ) = x 5 e − x , и+∞б) По определению главного значения,)A1⎛⎞V . p. ∫ arctgxdx = lim ⎜ xarctgx − ln 1 + x 2 ⎟ =A→ +∞2⎝⎠ −A−∞11= lim ⎛⎜ AarctgA − ln (1 + A 2 ) − (− A)arctg (− A) + ln 1 + (− A)2 ⎞⎟ = 0.A→ +∞22⎝⎠()⎞⎟ , и, поскольку 2 < 1 , то дан⎟⎟3⎠0точка⎛11 + A2 ⎞⎟ = lim (2arctgA) = π .= lim ⎜⎜ arctgA − arctg (− A) + lnA→ +∞2 1 + (− A)2 ⎟⎠ A→+∞⎝x = 1 .
Приный интеграл сходится (в том числе абсолютно).A()⎛ 1 ⎞⎟ , причём 5 > 1 , то, согласно 3-му при= O⎜⎜5 ⎟⎝ ( x − 1) ⎠x2x → 1+ 0 имеем:1⎛⎞= lim ⎜ atctgx + ln (1 + x 2 )⎟ =A→ +∞2⎝⎠ −A+∞, т.е.+∞AAшой функцией одного порядка роста с бесконечно большой функциейференциала исходный собственный интеграл преобразуется в несобственный+∞(lim sin x − A =A→ +∞A→ +∞x → 1+ 0 подынтегральная функцияЗамечание. При вынесении множителя b cos x за скобку в знаменате-7.
Решение. а) По определению главного значения,−AA→ +∞21atgx приводит к интегралуabb∫ cos xdx =Как видно, данный предел, а, следовательно, и главное значение интеграла,не существуют.8. Решение. а) Интеграл несобственный 2-го рода (на промежутке интегрирования имеется единственная особая точка x = 1 ). Так как приπле дроби и внесении образовавшегося выраженияA= lim (sin A − sin(− A)) = lim 2 sin A .1⎛a⎞ 21(arctg (+ ∞ ) − arctg 0) = π .=arctg ⎜⎜ tgx ⎟⎟ =abab2 ab⎝b⎠02A→ +∞−∞⎛a⎞ππdtgx⎜⎟⎟⎜21 2 ⎝bdx⎠ == ∫=2∫2⎛⎛ a⎞ ab 0 ⎛ a⎞0⎞2⎜⎜ tgx ⎟⎟ + 1b cos 2 x⎜ ⎜⎜ tgx ⎟⎟ + 1⎟⎜⎝ b⎟⎝b⎠⎠⎝⎠(подстановка t =Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл478исследуем на сходимость интеграл∫x e5−xdx (нижний предел можно взять1любым). Воспользуемся для этого 2-м признаком сравнения.При x → +∞ сравним порядки малости двух бесконечно малых функцийf (x ) и g (x ) =+∞1, где p > 1 – некоторое число.
Очевидно, интегралxp∫ g (x )dx – сходится. Рассмотрим предел отношения этих функций:1Ответы и решенияlimx → +∞479f (x )x 5e − xe−x= lim= lim − p −5 = 0x → +∞ xg ( x ) x→+∞ 1 px2xklim= 0 , a > 1, k > 0 ). Согласно 2-му признаку сравнения, в этом слуx → +∞ a x+∞∫ g (x )dxследует сходимость интеграла5 −x∫ x e dx , а значит, и интеграла1∫x+∞5 −x∫ x e dx .0x = +∞ . При x → +∞ оце1+ x2 1 x2 +1ним порядок малости подынтегральной функции:==xx3⎛1⎞= O⎜ ⎟ , следовательно, по 3-му признаку сравнения, интеграл расходится.⎝ x⎠б) Единственная особая точка x = +∞ .
Имеем при x → +∞ :3⎛ 1 ⎞xarctgxπarctgx ~ , 1 + x 3 ~ x 2 , поэтому= O⎜⎜ 1 ⎟⎟ . Так как 1 2 < 1 ,21 + x3⎝x 2⎠то, по 3-му признаку сравнения для особенностей 1-го рода, интеграл расходится.в) Единственная особая точка x = 1 . При x → 1− 0 имеем:3x11− 1 ~ x 3 , поэтомуe3x⎛ 1= O⎜⎜ 1−1⎝x 3⎞⎟ , и, поскольку⎟⎠13< 1 , по 3-мупризнаку сравнения для интегралов 2-го рода, интеграл сходится.г) Единственная особая точка x = 0 . Так как при x → +0 имеем:x3+ o(x 3 ) , то для подынтегральной функции получаем31⎛ 1 ⎞= O⎜ 3 ⎟ , и, поскольку 3 > 1, по 3-му признаку сравнения для инtgx − x⎝x ⎠tgx = x +тегралов 2-го рода, интеграл расходится.3dx∫xdx+∞∫xdx= I1 + I 2 ,⋅ ln xи исследуем сходимость каждого из интегралов I 1 и I 2 в отдельности.1При x → 1+ 0 подынтегральная функция f ( x ) =является2x ⋅ ln x19. Решение.
а) Единственная особая точкаeку сравнения для интегралов 1-го рода, интеграл сходится.10. Решение. а) На промежутке интегрирования имеются две особые точкиx = 1 (2-го рода) и x = +∞ (1-го рода). Разобьём интеграл на два интеграла:+∞1+∞x = +∞ . Имеем при x → +∞ :⎛⎛ 2 ⎞2 ⎞221 ⎛2⎞⎛ 1 ⎞cos = 1 − ⎜ ⎟ + o⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = 1 − 2 + o⎜ 2 ⎟ .⎜⎝ x ⎠ ⎟x2! ⎝ x ⎠x⎝x ⎠⎠⎝22⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞Тогда 1 − cos = 2 + o⎜ 2 ⎟ = O⎜ 2 ⎟ , следовательно, по 3-му признаx x⎝x ⎠⎝x ⎠д) Единственная особая точкапри любых p > 1 , поскольку показательная функция на бесконечности убывает быстрее любой степенной (воспользовались известным фактом, чточае из сходимости интегралаСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл4802⋅ ln x=21⋅ ln x+23бесконечно большой функцией.
Используя известные соотношения эквивалентности, оценим её порядок роста:1x ⋅ ln x2Так как~1ln x~1ln(1 + ( x − 1))~1x −1, т.е.⎛1f ( x ) = O⎜⎜ ( x − 1) 12⎝⎞⎟.⎟⎠1 < 1 , то интеграл I 1 сходится (по 3-му признаку сравнения, в том2числе абсолютно).Приx → +∞ имеем:1x ⋅ ln x2≤1. Так как интегралx2+∞dx∫x2схо-3дится (по 3-му признаку), то, согласно 1-му признаку сравнения (признакуабсолютной сходимости), из его сходимости следует сходимость (причёмабсолютная) интеграла I 2 .Наконец, поскольку оба интеграла I 1 и I 2 сходятся, то сходится и ихсумма.б) Так как при x → +0 подынтегральная функция имеет конечный предел, то точка x = 0 не является особой, и, следовательно, единственная особая точка x = +∞ (интеграл несобственный 1-го рода).
Оценим приx → +∞ порядок малости бесконечно малой функцииx2поx4 − x2 +1Ответы и решениясравнению с функцией4811x21: 4= 22x x − x +1 x −1+ 1x2⎛ 1 ⎞= O⎜ 2 ⎟ . Так как⎝x ⎠2 > 1 , то, согласно 3-му признаку сравнения для интегралов 1-го рода, интеграл сходится.в) Подынтегральная функция является бесконечно большой приx → 1− 0 . Оценим порядок её роста по сравнению с бесконечно большойфункциейпричём111122=3. Так как cos x → cos 1 ,⋅3,231− x1+ x1− x1− x131+ x1→32⎛1= O⎜3⎜ (1 − x ) 131− x2⎝cos 2 x, то⎞⎟ . Тогда, по 3-му при⎟⎠знаку сравнения, интеграл сходится.г) Приx → +∞ имеем:⎛ 1= O⎜ 5⎜ 3x ⋅ 3 x2 +1⎝x1⎞⎟ , и так как⎟⎠53> 1 , то, по3-му признаку сравнения для интегралов 1-го рода, интеграл сходится.д) На промежутке интегрирования имеются две особые точки: xx = +∞ .При x → +0 имеем:1=x+ x+ x9⎛ 1= O⎜⎜ 1⎝x 4x ⎛⎜ x + 1 + x 7 ⎞⎟⎝⎠1=0 и⎞⎟,⎟⎠=x + x + x91x 9 ⎛⎜1 + 1⎝x7 +1⎛ 1= O⎜ 9⎜ 8⎝xx 5 ⎞⎟⎠⎞⎟,⎟⎠поэтому интеграл сходится (по 3-му признаку сравнения для интегралов 1-города).Таким образом, исходный интеграл сходится.11.
Решение. а) На промежутке интегрирования имеются две особые точки:x=0 и x=π2.Используя свойство аддитивности, разобьём интеграл на сумму двух интегралов, в каждом из которых останется по одной особой точке:ππ122dxdxdxdx=+I=∫dx ∫dx = I 1+ I 2 .pqpqpq∫sinxcosx⋅xxsin⋅cossin⋅cosxx100Интеграл I сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся интегралы I 1 и I 2 .1) Исследуем сходимость интеграла I 1 .
При x → +0 имеем: sin x ~ x ,cos x ~1, поэтому1⎛ 1 ⎞= O⎜ p ⎟ .pqsin x cos x⎝x ⎠По 3-му признаку сравнения, интеграл I 1 сходится при p < 1 и расходитсяпри p ≥ 1 .π2) Исследуем на сходимость интеграл I 2 . При x → − 0 имеем:2⎛π⎞ πsin x ~1, cos x = sin ⎜ − x ⎟ ~ − x ,⎝2⎠ 2⎞⎛11⎟ . По 3-му признаку сравнения,= O⎜⎜qq ⎟sin x cos x⎝ (π 2 − x ) ⎠интеграл I 2 сходится тогда и только тогда, когда q < 1 .Итак, интеграл I сходится, если одновременно p < 1 и q < 1 (и расхо-поэтомупоэтому интеграл сходится (по 3-му признаку сравнения для интегралов 2-города).При x → +∞ имеем:1Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл482pдится в остальных случаях).б) Если на промежутке[0,+∞) многочленPn ( x ) , находящийся в знаменателе, имеет действительный корень x = x k кратности p k ( p k ∈ N ) , тоинтеграл расходится по 3-му признаку сравнения, так как в малой окрестности точки x k имеем:⎛Pm ( x )1= O⎜⎜pkPn ( x )⎝ (x − x k )⎞⎟.⎟⎠Если же многочлен Pn ( x ) не имеет корней на [0,+∞) , то для сходимостиинтеграла достаточно потребовать, чтобы n − m > 1 , т.к.
при x → +∞ имеем:Ответы и решения483Pm ( x )⎛ 1 ⎞= O⎜ n −m ⎟ .Pn ( x )⎠⎝xОкончательно, интеграл сходится, если Pn ( x ) не имеет корней на[0,+∞) и n − m > 1.в) На промежутке интегрирования имеются две особые точки: x = 0 (является особой при m < 0 ) и x = +∞ . Разобьём интеграл на два+∞A+∞xmxmxmI= ∫dx=dx+dx = I 1+ I 2 ,nn∫n∫11+x+x+1x00Aи исследуем каждый из них на сходимость.xm⎛ 1= O⎜ −mn1+x⎝x⎞⎟ , поэтому по 3-му признаку⎠сравнения интеграл I 1 будет сходиться тогда и только тогда, когда − m < 1 ,т.е. m > −1 .xm⎛ 1 ⎞= O⎜ n −m ⎟ , поэтому по 3-му признаку2) При x → +∞ имеем:n1+x⎝x ⎠сравнения интеграл I 2 будет сходиться тогда и только тогда, когдаn − m > 1, т.е.
m < n − 1 .Итак, интеграл I сходится, если (и только если) одновременно сходятсяинтегралы I 1 и I 2 , т.е. при − 1 < m < n − 1 .12. Решение. а) При x → +0 , используя соотношение эквивалентностиarctg(ax ) ~ ax , получаем, что подынтегральная функцияarctg (ax )⎛ 1 ⎞= O⎜ n −1 ⎟ ,nx⎝x ⎠⎧π 2 , a > 0;а при x → +∞ имеем arctg (ax ) = ⎨поэтому⎩− π 2 , a < 0;arctg (ax )⎛ 1 ⎞= O⎜ n ⎟ .nx⎝x ⎠1) Приx → +0 имеем:Следовательно, по 3-му признаку сравнения, интеграл сходится тогда и только тогда, когда одновременно n − 1 < 1 и n > 1 , т.е.
при 1 < n < 2 .б) Так как при t → 0 имеем разложение484Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интегралln(1 + t ) = t −nt2 t3n t+ − ... + (− 1)+ o(t n ) ,2 3n1, при x → +∞ для подынтегральной функции получимx11⎛ 1 ⎞⎞⎛ 1⎞2⎛ 1x − x 2 ln⎜1 + ⎟ x − x ⎜⎜ − 2 + 3 + o⎜ 3 ⎟ ⎟⎟3xx⎠⎝ x ⎠⎠⎝ x 2x⎝==ppxx1 1⎛1⎞+ o⎜ ⎟x/ − x/ + +2 3x⎝ x ⎠ = O⎛ 1 ⎞ .=⎜ p⎟px⎝x ⎠Следовательно, по 3-му признаку сравнения, интеграл сходится при p > 1 ирасходится при p ≤ 1 .в) В окрестности точки x = 0 для подынтегральной функции имеем слето, полагая t =дующее разложение по формуле Маклорена:⎛⎞x3⎜⎜ x −+ o x 3 ⎟⎟ − x3!1 ⎞⎛1⎝⎠p sin x − x=xp⎜ −= xp⎟= x3x sin x⎛x⎝ x sin x ⎠3 ⎞+ o x ⎟⎟x⎜⎜ x −3!⎝⎠3x−+ o x3⎛ 1 ⎞= − p 3!2= O⎜ − p −1 ⎟ .2x x +o x⎝x⎠Значит, интеграл сходится при − p − 1 < 1 , т.е. при p > −2 .( )( )(( )( ))г) На промежутке интегрирования имеется единственная точка x = 0 ,которая при p > 0 является особой точкой 2-го рода.
Выясним, при какихзначениях параметра p интеграл сходится. Для этого найдём разложениеподынтегральной функцииМаклорена:f ( x ) в окрестности особой точки по формуле⎞⎞ ⎛⎛x2 x4x2 x4⎜⎜1 −++ o x 5 ⎟⎟++ o x 4 ⎟⎟ − ⎜⎜1 −2! 4!28⎠=⎠ ⎝f (x ) = ⎝px( )( )Ответы и решения485( )1 4x + o x4⎛ 1 ⎞= 12 p= O⎜ p − 4 ⎟ .x⎝x ⎠Таким образом, при x → +0 подынтегральная функция имеет порядок1. Пороста, равный p − 4 , по сравнению с бесконечно большой функциейx−3-му признаку сравнения для интегралов 2-го рода получаем, что интегралсходится при p − 4 < 1 , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
