И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Разобьём интеграл на два( A > 0) :+∞I=1) Приx m arctgx∫0 2 + x n dx =Ax m arctgx∫0 2 + x n dx ++∞x m arctgx∫A 2 + x n dx = I1 + I 2 .x → +0 имеем: arctgx ~ x , поэтомупо 3-му признаку сравнения интеграл− m − 1 < 1 , т.е. m > −2 .2) При⎛x3x23 ⎞⎛2 ⎞⎟⎟ + o x 3⎜⎟⎜xoxox−+−−+sin x⎜⎟⎜3!1 − (cos x )⎠⎠⎝ 2== ⎝ppxx1 3x + o x3⎛ 1 ⎞= 2= O⎜ p −3 ⎟ .px⎝x ⎠Следовательно, интеграл сходится при условии p − 3 < 1 , т.е. приp < 4.( )p −1 − x∫ x e dx .интегралаСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл494x m arctgx⎛ 1 ⎞= O⎜ − m −1 ⎟ , иn2 +x⎝x⎠I 1 сходится тогда и только тогда, когдаx → +∞ имеем: arctgx ~π2,2 + x n ~ x n , и поэтомуmx arctgx⎛ 1 ⎞= O⎜ n −m ⎟ . Значит, по 3-му признаку сравнения интеграл I 2n2 +x⎝x⎠сходится тогда и только тогда, когда n − m > 1 .Следовательно, исходный интеграл сходится, когда одновременно сходятся I 1 и I 2 , т.е. при − 2 < m < n − 1 (и расходится в остальных случаях).г) Получим разложение подынтегральной функции по степеням x приx → +0 :1 − e sin x ln (cos x )1 − (cos x )==xpxp1 − (1 + sin x ln (cos x ) + o(sin x ln (cos x ))).=xp1122Так как ln (cos x ) = ln (cos x ) = ln (1 − sin x ) , то при x → +02211ln(cos x ) ~ − sin 2 x ~ − x 2 ,2233тогда упростим: o(sin x ln(cos x )) = o sin x = o x . Итак,sin x() ( )( )( )( )д) На промежутке интегрирования имеются три точки, которые в зависимости от значений параметров, могут быть особыми: x = 0 , x = 1 иx = +∞ .
Исследуем сходимость интеграла в окрестности каждой из них.1) При x → +0 оценим порядок роста подынтегральной функции:β⎛ 1 ⎞x α x − 1 = O⎜ −α ⎟ .⎝x ⎠⎛ 1 ⎞βα⎟.2) При x → 1 имеем: x x − 1 = O⎜⎜ x − 1 −β ⎟⎝⎠β⎛ 1 ⎞α3) При x → +∞ имеем: x x − 1 = O⎜ −α − β ⎟ .⎝x⎠Согласно 3-му признаку сравнения, для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия: − α < 1 ,− β < 1, − α − β > 1 .Итак, интеграл сходится ⇔18. Доказательство.+∞1⎞⎛∫−∞ f ⎜⎝ x − x ⎟⎠dx =+∞∫0α > −1 , β > −1 , α + β < −1 .1⎞⎛f ⎜ x − ⎟dx +x⎠⎝0⎛1⎞∫ f ⎜⎝ x − x ⎟⎠dx = I1+ I2 .−∞В каждом из интегралов сделаем замену переменной t = x −1. Имеемxt + t2 + 4t − t2 + 4при x > 0 (в интеграле I 1 ) и x =при x < 022(в интеграле I 2 ).
Таким образом,x=Ответы и решения495Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл496+∞+∞⎞⎞⎛⎛1t1t⎟⎟dt .⎜I 1 = ∫ f (t )⎜1 +, I 2 = ∫ f (t )⎜1 −dt⎟⎟⎜222 −∞2t +4⎠t +4⎠−∞⎝⎝+∞⎞⎛t⎟⎜Интеграл ∫ f (t ) 1 +⎟dt сходится, если сходится ∫ f (t )dt (по⎜t2 + 4 ⎠−∞−∞⎝признаку Абеля). Отсюда получаем, что интегралы I 1 и I 2 сходятся и, кроме+∞того,I1 + I 2 =+∞∫AI =∫0Так какAcos xcos x∫0 x p dx = ∫0 x p dx +B(так как ∀B ≥ A∫ cos xdx =Aных случаях.2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость (при 0 < p < 1 ).Представим интегралI=∫0тегралов:cos xdx =xp+∞∫0cos xxp+∞xdx в виде суммы двух ин-x = ln t , dx =dtи получим интегралt+∞ln 2 t∫1 t cos tdt .1) Исследуем интеграл на сходимость в окрестности единственной особой точки t = +∞ .
При t → +∞ интеграл сходится по признаку ДирихлеAln 2 t→0(поскольку ∀A ≥ 1 ∫ cos tdt = sin A − sin 1 ≤ 2 , а функцияt1монотонномонотонно при+∞I 1 сходится. Исследуем сходимость I 2 .б) Сделаем замену t = e , тогдаx → +∞ ). При p ≤ 0 интеграл I 2 расходится (по критериюКоши). Поэтому интеграл I сходится при 0 < p < 1 и расходится в осталь-dx = I1 + I 2 .дящийся интеграл, но тогда интеграл I 2 , мажорирующий расходящийся,также расходится.Итак, при 0 < p < 1 интеграл сходится условно, а при p ≤ 0 и p ≥ 1 –расходится.cos xdx = I 1 + I 2 .pxA1→0xpxpсходится (по признаку Дирихле). Поэтому сумма этих интегралов есть расхо-∫sin B − sin A ≤ 2 , а функцияA+∞+∞+∞cos xdx 1 cos 2 xcos 2 x+dx=dx≤∫A x p 2 ∫A x p∫A x p∫A x p dx .При p < 1 интеграл J 1 расходится (по 3-му признаку), а интеграл J 2+∞cos x⎛ 1 ⎞При x → +0 имеем:= O⎜ p ⎟ , и, по 3-му признаку сравнения,px⎝x ⎠интеграл I 1 сходится (в том числе абсолютно) при p < 1 и расходится приp ≥ 1.Пусть x → +∞ .
При p > 0 интеграл I 2 сходится по признаку Дирихле∫cos x1 + cos 2 x= cos 2 x ≤ cos x ≤ 1 , то для интеграла I 2 имеем2111J1 + J 2 =222+∞+∞оценки:−∞I=xpdx +Как было показано выше, интегралf ( x )dx .19. Ответ: сходится.20. Ответ: расходится.21. Ответ: расходится.22. Ответ: расходится при любом α .23. Ответ: сходится.24. Ответ: расходится.25. Ответ: расходится при любом n .26. Ответ: сходится (абсолютно) при n > 1 , расходится при n ≤ 1 .27. Ответ: сходится при любом n . 28.
Ответ: расходится.29. Решение. а) 1) Исследуем интеграл на сходимость.cos x=приt → +∞ .Докажеммонотонность:ln t (2 − ln t )< 0 при достаточно больших t ).t2′⎛ ln 2 t ⎞⎟⎟ =⎜⎜⎝ t ⎠2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость.+∞ln 2 tРассмотрим ∫cos t dt . Так какt121 ln 2 t 1ln 2 tln 2 t2 ln t+ cos 2t= cos t≤ cos t, тоtt2 t2tОтветы и решения12+∞+∞ln 2 tdt 1ln 2 t+cos2tdt ≤∫1 t2 ∫1tln 2 t 1> при t > e , то интегралТак какtt+∞а интеграл∫ cos 2t1497+∞ln 2 t∫1 t cos t dt .+∞ln 2 t∫1 t dt расходится (к + ∞ ),Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл498Как было показано выше, при указанных значениях параметров интегралсходится.Исследуем сходимостьдля интеграла2ln tdt сходится по признаку Дирихле, поэтому ихtI 2 имеем оценки:+∞+∞=в) Разобьём интеграл на два интеграла:+∞x p sin x∫0 1 + x q dx =Ax p sin x∫0 1 + x q dx ++∞x p sin x∫A 1 + x q dx = I1 + I 2 .1) Исследуем интеграл на сходимость.x → +0 имеем: sin x ~ x , 1 + x q ~1, поэтомуx p sin x⎛ 1 ⎞= O⎜ − p −1 ⎟ ,q1+ x⎝x⎠и, по 3-му признаку сравнения, интеграл I 1 сходится (в том числе абсолютно) при − p − 1 < 1 , т.е. p > −2 , и расходится при − p − 1 ≥ 1 , т.е.p ≤ −2 .xpПусть x → +∞ и p < q→ 0 монотонно, следовательно, инте1+ xqграл I 2 сходится по признаку Дирихле (при p ≥ q интеграл I 2 расходитсяПрипо критерию Коши).Поэтому интеграл I сходится при − 2 < p < q (и расходится в остальных случаях).2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость (при тех значенияхp, q , при которых он сходится, т.е.
при − 2 < p < q ). Представим интеграл+∞I =∫0x p sin xdx =1+ xq+∞∫0x p sin x1+ xqdxв виде суммы двух интегралов:AI =∫0px sin x1+ xqdx ++∞∫Ax sin x1+ xqПриdx = I1 + I 2 .x → +∞+∞x p cos 2 x∫A 1 + x q dx =+∞x p sin 2 xxp≤Idx≤2∫A 1 + x q∫A 1 + x q dx = J1 .xp⎛ 1 ⎞= O⎜ q − p ⎟ , следовательно, при q − p > 1 интеq1+ x⎝x ⎠J 1 сходится (по 3-му признаку), а значит, сходится и мажорируемый иминтеграл I 2 (т.е. интеграл I 2 сходится абсолютно). С другой стороны, приq − p ≤ 1 интеграл J 1 расходится, а интеграл J 2 сходится (по признакугралДирихле).
Поэтому сумма этих интегралов есть расходящийся интеграл, ноI 2 , мажорирующий расходящийся, также расходится. Значит,при q − p ≤ 1 интеграл I 2 абсолютно расходится.Итак, при − 2 < p < q − 1 интеграл сходится абсолютно, при− 2 < p < q ≤ p + 1 интеграл сходится условно (в остальных случаях – растогда интегралходится).г) 1) Исследуем интеграл на сходимость. Сделаем замену t = x :2cos(x 2 )I= ∫dx =ln x1+∞+∞∫cos tdt .ln t ⋅ 2 tИмеем две особые точки: t = 1 и t = +∞ .
Разобьём интеграл на два ин1теграла:+∞∫1cos tln t ⋅ 2 tAdt =∫1cos tln t ⋅ 2 t+∞dt +∫Acos tln t ⋅ 2 tdt = I 1 + I 2 .⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞1⎟⎟ = O⎜⎜⎟⎟ , и так как p = < 1 ,t → 1+ 0 f (t ) = O⎜⎜2⎝ ln t ⎠⎝ t −1 ⎠то интеграл I 1 сходится (абсолютно) по 3-му признаку сравнения.Приp1 − cos 2 x= sin 2 x ≤ sin x ≤ 1 , то2111 x p dx 1−J1 + J 2 =222 ∫A 1 + x q 2сумма расходится, а значит, исследуемый интеграл абсолютно расходится.Ответ: интеграл сходится условно.I=I 2 . Так какI1Ответы и решенияПри499t → + ∞ воспользуемся признаком Дирихле.
Так какA∫ cos tdt≤211∀A ≥ 1 иln t ⋅ 2 t→ 0 монотонно, то интеграл I 2 сходится. Итак,интеграл I , как сумма двух сходящихся интегралов, сходится.2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость. Рассмотрим интегралI =+∞∫1Acos tdt = ∫ln t ⋅ tln t ⋅ t1+∞dt∫ln t ⋅ tA+12+∞∫A+∞≤∫A+∞Так как интеграл∫A∫AAcos tln t ⋅ tdt = I 1 + I 2 .I 2 воспользуемся неравенством:сти интеграла+∞∫dt +I 1 была доказана выше. Для исследования сходимо-Сходимость интеграла12+∞cos tdtln t ⋅ t+∞≥∫Acos 2tln t ⋅ tcos tdt .ln t ⋅ tcos 2tln t ⋅ tdtt⋅ t+∞dt =∫Acos 2 tln t ⋅ tdt ≤cos(1 x )1cos tdx = ∫ 2− p dt .: I =∫pxx1 t0+∞1dtI1 + I 2 = ( ∫ 2− p +2 1t1t 2− p+∞cos t∫t2− pdt :1+∞cos 2t∫1 t 2− p dt ) =+∞cos 2 t∫1 t 2− p dt ≤ I ≤+∞∫tdt2− p= I1 .1I сходится. Так как I ≤ I 1 , то из сходимостиI 1 следует сходимость I , т.е.
абсолютная сходимость I . Но интеграл I 1сходится при 2 − p > 1 , т.е. p < 1 (по 3-му признаку сравнения), поэтомупри этих значениях p исходный интеграл сходится абсолютно.Выясним, когда сумма интегралов I 1 + I 2 расходится. Так какI 1 + I 2 ≤ I , то из расходимости I 1 + I 2 следует расходимость I , т.е. интеграл I будет абсолютно расходится, и, следовательно, в этом случае речьможет идти только об условной сходимости I .
При 1 ≤ p < 2 интеграл I 1расходится, а интеграл I 2 сходится (по признаку Дирихле), поэтому их сумВыясним, когда интегралпри 1 ≤ p < 2 – сходится условно;при p ≥ 2 – расходится.б) Сделаем замену t =→ 0 монотонно, то инте-1: I =1− x+∞1cos tdt .p 2 (1− p )t∫ (2t − 1)1Особая точка: t = +∞ .1) Исследуем сходимость интеграла. При+∞Единственная особая точка + ∞ .1) Исследуем сходимость интеграла.
Для исследования на сходимостьt → +∞воспользуемсяпризнакомДирихле.Таккакпри∫ cos xdx ≤ 2 ∀A ≥ 1 , и при 2 − p > 0I =Ответ: при p < 1 интеграл сходится абсолютно;– расходится, то их сумма расходится. Следова-30. Решение. а) Сделаем замену t =грал I сходится при p < 2 .сходимость интегралама расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
