И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Ответ: 3π5a 4 2 − 1 (кв.ед).212. Указание: перейти к новым координатам()(13. а) 3πa ; б)2arcsin ε)28πa 2 3(кв.ед). 14. а) 10 πa 2 ; б) 1240 5πa 25363 38162215. а) 6πa ; б)2πa 2 (кв.ед ).16. 2πb +35ε=a2 − b2.a17. 2πa +⎞⎛a× ln⎜ (1 + ε )⎟ (кв.ед ) , где ε =⎠⎝ba2 − b2.a18. πa+ 2πab2261π(кв.ед). 3. 2π ln b 2 + 1 + b 2 +1728a + 1+ a⎛11 ⎞+ 2π ⎜⎜ 1 + 2 − 1 + 2 ⎟⎟ (кв.ед ).ab ⎠⎝⎛1+ 2 5 −1 ⎞⎟ (кв.ед ).5.
π ⎜ 5 − 2 + ln⎜⎟2⎝⎠⎛⎜⎝29. 2πa ⎜1 −(кв.ед).§8.1.(02πa 3=3(2 2π πe −25517ε(кв.ед) ,где232πb 2ε×3 (кв.ед ).⎞⎛ 8π+ 4 3⎟⎠⎝ 34442⎛⎞(кв.ед). ; б) 4πa 2 (кв.ед). 22. а) 2π ⎜⎜ a 2 + 4b 4 ⋅ ln a − b2 + a ⎟⎟ba −b⎝⎠444⎛⎞(кв.ед) ; б) 2π ⎜⎜ b 2 + 4a 4 ⋅ arcsin a −2 b ⎟⎟ (кв.ед).aa −b⎝⎠19.4π 2 ab (кв.ед ).20. 14π 3 (кв.ед ).21.
а) πa ⎜2Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл518§9.2. 2 ρ 0 l1. 150кг.(× e +e2−2)π.+ 10 24I a = ah 12 .38. I x = πab33. M x = a(4. p28)(2(e2−e−2()(+ 4 8 , Ix = a e − e3))2 + 5 ln 1 + 2 .6. I x = 1628 105 .Ответы и решения5. M a = ah7.
I x = ab 12 ,3−12)×6,I y = a b 12 .3M. Таким образом,πR 2RMω 2 2MR 2ω 2Mω 2 3r dσ . Отсюда K =dK =.r dr =42πR 2R 2 ∫0– поверхностная плотность,4 , I y = πa b 4 . 9. 3RM 16 . 10. xc = (a sin α ) α , y c = 0 .ρ=3сти); xc = 0 , y c = 4r (3π ) (для полукруга). 13.14. x c = 1 , y c = π 8 .17. x c = 1 , y c = 2 5 .§ 11.π (для полуокружноxc = (π − 2) 2 , y c = π 8 .15. x c = 0 , y c = 8 5 .18. 4π216. x c = y c = 2a 5 .1. Решение.
Так как функция(куб.ед.) 19. V = πr (3π − 4 ) 3 (куб.ед.)(∫ f ( x)dθ ( x) можно представить в виде:2∫ f ( x)dθ ( x) = f (0)(θ (0 + 0) − θ (0 − 0)) = f (0) ⋅ 1 = f (0) .−133 . Согласно второй тео2реме Гульдина V = πr 4 (2πy c ) , отсюда y c = 4r (3π ) . Центр тяжести)2. Решение.
Поскольку функция x непрерывно дифференцируема напромежуткахчетверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе 1-го координатного угла, а потомуxc = y c . 22. V = 480 (куб.ед.).23.H( AB + ab + ( A + a )(B + b )) (куб.ед.) 24. 4πR 3 3 куб.ед. 25. 25 Дж .6322426. 2a 3 . 27. ρgah 3 . 28. v 0 t − gt 2 . 29. 1400 м. 30. S = 10 ( м ) .31. 36 м. 32. В точке с абсциссой x = e .1033. v =A ⎛ a ⎞ln⎜⎟,b ⎝ a − bt ⎠⎛⎛⎞⎞⎜ bt1 − (a − bt1 ) ln⎜ a ⎟ ⎟ .
34. Указание: Элементарная сила⎜ a − bt ⎟ ⎟⎜1 ⎠⎠⎝⎝2(тяжести) равна весу воды в объёме слоя толщиной dx , т.е. dF = πρR dx ,Ah= 2b– вес единицы объёма воды. Следовательно, элементарная работа силыdA = πρR 2 (H − x )dx , где x – уровень воды. Ответ: A = πρR 2 H 2 2 .2 235. A = πρgr h 4 . 36.
Указание. Кинетическая энергия частицы дискаmv 2 ρr 2ω 2dK ==dσ , где dσ – элемент площади, r – расстояние его22постоянна на промежутках [−1, 0) и−13получим полушар, объём которого равен V = 2πrθ (x)2(0, 2] , то интеграл20. Указание: найдите объём тела, полученного вращением треугольника вокруг основания. 21. Указание: при вращении четверти круга вокруг оси Oxρρот оси вращения,11. x c = 9a 20 , y c = 9a 20 . 12. x c = 0 , y c = 2rгде519[−1, 0) и (0,1] и непрерывна в точке x = 0 , то101x2=(−)+=−xdxxdxxdx∫∫∫02−1−10x2+2−11=01 1+ = 1.2 23. Решение. Пользуясь определением и свойствами интеграла Стилтьеса,имеем:π0xx−π∫ ( x + 2)d (e sgn(sin x)) = (−π + 2)(−e ) + ∫ ( x + 2)(−e )dx + 4 +−π−ππ+ ∫ ( x + 2)e x dx − (π + 2)eπ = (−π + 2)(−e −π ) + 4 − (π + 2)e π −0π0− ∫ ( x + 2) de + ∫ ( x + 2) de x = ( −π + 2)( − e − π ) + 4 − (π + 2)eπ +x−π00π−π0+ (−π + 2)e −π + (π + 2)e π − 4 + ∫ e x dx − ∫ e x dx = 2 − e −π − e π .4.
Решение. Имеем:ππ00∫ ( x − 1)d (cos x sgn x) = −1 + ∫ ( x − 1)d cos x =Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл520π05. Решение. Из определения функции g (x) и свойств интеграла Стилтьеса следует, чтоπ /2πππ⎞⎛∫0 sin xdg ( x) = ∫0 sin xdx − 2 sin 2 + ⎜⎝ 2 − 2 ⎟⎠ sin π + π∫/ 2sin xdx =ππ= ∫ sin xdx −0π2= 2−π211. Тогда, независимо от выбора остальных точек ξ j , име22ем: σ h (V1 ; f ) = 1 , σ h (V2 ; f ) = −1 .
Это означает, что интеграл Стилтьеса1∫ f ( x)dh( x) не существует.08.Решение.f (x) и g (x) не являются ограниченными на [0,1] , однако1для любого размеченного разбиения V сегмента [0,1] , Δ V < , выполне3Тогда функции1∫ f ( x)dg ( x) существует и ра0вен 0.7. Решение.
Пусть⎧0, x ≠ 1 / 2,g ( x) ≡ 0 на [0,1] ; f ( x) = h( x) = ⎨⎩1, x = 1 / 2.1Тогда очевидно, что∫ f ( x)dg ( x) = 0 . С другой стороны,g ( x) ≡ 0 на [0,1] ;f ( x) ≡ 1 на [0,1] ;f (x) не интег-0рируема по h(x ) на сегменте [0,1] . Действительно, заметим, что для любо-1го δ > 0 найдётся разбиение T этого сегмента, содержащее точку x k =в2качестве одной из точек разбиения и удовлетворяющее условию Δ T < δ .Пусть V1 и V2 – размеченные разбиения, построенные по разбиению T ; при11этом для разбиения V1 выполнено: ξ k = , ξ k +1 ≠ , а для разбиения V2 :221100∫ f ( x)dg ( x) = 0 ; ∫ f ( x)dh( x) = 1 ⋅ f (1) = 1 .если 0 ≤ x ≤ 2 / 3,⎧0,⎧ 1, если 0 ≤ x < 1 / 3,⎪⎪g ( x) = ⎨ 1f ( x) = ⎨ x − 1 / 3⎪⎩ x − 2 / 3 , если 2 / 3 < x ≤ 1.⎪⎩0,если 1 / 3 ≤ x ≤ 1,σ g (V ; f ) = 0 , следовательно, интегралПусть⎧0, x ≠ 1,h( x ) = ⎨Тогда, очевидно,⎩1, x = 1..6.
Решение. Пустьно:521ξ k ≠ , ξ k +1 == −1 − (π − 1) + 1 − ∫ cos xdx = 1 − π .πОтветы и решения⎧0,⎩1,9. Решение. Пусть f ( x ) ≡ 1 на [−1,1] ; g ( x) = ⎨− 1 ≤ x < 0,То0 ≤ x ≤ 1.гда, очевидно, эти функции удовлетворяют условиям задачи. При этом⎧0,f 0 ( x) = ⎨⎩1,− 1 ≤ x < 0,и интеграл0 ≤x ≤11∫f0( x)dg ( x) не существует.0Действительно, рассмотрим разбиение T сегмента [−1,1] , не содержащее в качестве точки разбиения точку 0 . Пусть V – произвольное размеченное разбиение, которому соответствует разбиение T . Тогда в интегральной сумме Стилтьеса σ g (V ; f 0 ) останется лишь одно слагаемое, а именноf 0 (ξ k )( g ( x k ) − g ( x k −1 )) = f 0 (ξ k ) , для которого точка нульсодержится в сегменте [ x k −1 , x k ] . В зависимости от того, будет ли точка ξ kудовлетворять условию ξ k < 0 или ξ k ≥ 0 , мы получим, что σ g (V ) = 0слагаемоеилиσ g (V ) = 1 .
Это означает, что не существует предела интегральных суммпри стремлении диаметра разбиения к нулю.10. Решение. Так как функция g (x ) не является тождественно постоян-y, z ∈ [0,1] такие, чтоg ( y ) ≠ g ( z ) . Пусть δ > 0 . Выберем такое разбиение T = {x0 ; x1 ;K; x n }сегмента [0,1] , Δ T < δ , что y = xi , z = x j для некоторых i, j отной на сегменте [0,1] , то существуют точки1≤ i < j ≤ n.Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл522523ПРИЛОЖЕНИЕПусть теперьV1 = {x0 ; x1 ;K; x n ; ξ1 ;K; ξ n } , V2 = {x0 ; x1 ;K; x n ;η1 ;K;η n }– размеченные разбиения, удовлетворяющие следующим условиям:ξk = ηkk > j ; ξ k рационально при i < k ≤ j ; η k иррациональнопри i < k ≤ j . Тогда σ g (V1 ; D ) = g ( z ) − g ( y ) ; σ g (V2 ; D ) = 0 , т.е.при k ≤ i и приσ g (V1 ; D) − σ g (V2 ; D) = g ( z ) − g ( y ) ≠ 0 .Так как δ > 0 было выбрано произвольно, то это означает, что функция Дирихле не интегрируема на сегменте [0,1] по функции g (x) .11.
Решение. Для любого разбиенияи любого выбора точекk =1имеем:Теорема (Признак Дирихле). Пусть при любом числеx ∈ [a,+∞ )xпервообразнаяF ( x ) = ∫ f (u )duограниче-ag ( x ) неотрицательна и, не возрастая,стремится к нулю при x → +∞ .на, и пусть функция+∞Тогда интегралI=∫ f (x )g (x )dx сходится.ann∑ f (ξξ k ∈ [ x k −1 , x k ]T = {x0 , x1 ,K, x n } сегмента [a, b]Признак Дирихлеk)( g ( x k ) − g ( x k −1 ) ≤ sup f ( x) ∑ g ( x k ) − g ( x k −1 ) ≤a ≤ x ≤bk =1≤ sup f ( x) V ( g ) ,a ≤ x ≤bbaоткуда предельным переходом получаем требуемое неравенство для интеграла.12. Решение. Так как на любом сегменте приращение каждой из функцийg1 ( x) и g 2 ( x) не больше приращения их суммы g (x) , то для любого раз-T сегмента [a, b] из существования верхней и нижней сумм ДарбуS g (T ) и s g (T ) следует существование S g k (T ) и s g k (T ) , k = 1, 2 , при-биениячёмS g (T ) − s g (T ) ≥ S g k (T ) − s g k (T ) .Из последнего неравенства и теоремы 2 пункта 11.3 сразу следует утверждение задачи.В от Интеграл.
Увы, Несобственный.Из рода Первых, рос в беспечности.Он в будни сходится, как Собственный,А в праздник – рвётся к бесконечности.Черты двух функций обезличены,Одна из них печально–грустная:Первообразной ограниченность –Что стол в неделю мясопустную.С другою, долг вернувши карточный,К нулю финансовому тащимся…По Дирихле, того достаточно,Чтоб видеть Интеграл – сходящимся.2007Предметный указательПредметный указательААддитивность:– интеграла Лебега 382– интеграла Римана 34– интеграла Стилтьеса 395– несобственного интеграла 140– объёма тела 268– площади плоской фигуры 191,192Абсолютная интегрируемость:– интеграл Лебега 382– интеграл Римана 55– несобственный интеграл 142,174Абсолютная сходимость 174Алгебраические поверхности 318ББета-функция 102, 184ВВзаимно обратные функции 111Взаимно однозначное соответствие370Внешняя точка множества 190, 264Внутренняя точка множества 190, 264Второй признак сравнения 157Выпуклые функции 70ГГамма-функция 184Гиперболические функции 82Главное значение несобственногоинтеграла (по Коши) 130Гладкая кривая 198Гладкая поверхность 267, 315Граница 190, 264Граничная точка множества 190, 264ДДарбу суммы, интегралы 18Диаметр разбиения 14Дирихле интеграл 184Длина дуги кривой 236– неявное задание 253, 259– параметрический случай 238, 258– явное задание 251, 255ЗЗамена переменной 89, 149Замкнутое множество 190, 372ИИзмеримое множество 374Измеримые функции 376Интеграл:– Лебега 379– Римана 14– Стилтьеса 390Интеграл с переменными пределами35, 39, 145Интегральная сумма:– Лебега 381– Римана 14– Стилтьеса 390ККвадрируемая поверхность 320Квадрируемая фигура 192Кратная точка 231, 314Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 136Критерий интегрируемости функций:– Лебега 27– Римана 22Кубируемое тело 267Кусочно-гладкая кривая 209Кусочно-непрерывная функция 37ММасса кривой 346Мера множества 372Мера Лебега 374Метод интегрирования:– заменой переменной 89, 149– по частям 99, 150, 397Множество меры нуль:– по Жордану, Лебегу 25, 27, 375ННеобходимое условие интегрируемости (по Риману) 16Необходимое и достаточное условие интегрируемости (по Риману)23Неравенство Гёльдера 68Неравенство Коши 67, 383Неравенство Коши–Буняковского65, 383Неравенство Минковского 68Несобственные интегралы:– 1-го рода, определение 123– 2-го рода, определение 126– свойства 138ООбъём тела 268Объём тела вращения:– вокруг оси Ox 278, 299– вокруг оси Oy 289, 302– вокруг произвольной оси 296,305Ограниченное множество 190, 264Односвязная область 265, 320ε -окрестность точки 190, 264Основная теорема интегральногоисчисления 38Особые точки 124, 126Открытое множество 190, 372ППараметризуемая кривая 233Первообразная 37Первый признак сравнения 157Периодические функции 108, 144Плоская кривая 231, фигура 191Площадь плоской фигуры 191– неявное задание 212, 225– параметрический случай 207, 224– явное задание 198, 217Площадь поверхности 320, 321Площадь поверхности вращения:– вокруг оси Ox 322, 338– вокруг оси Oy 330, 340– вокруг произвольной оси 333, 340Признак Абеля 168525Признак Дирихле 165Признак Коши 169Признаки сходимости 154, 157, 162ССпрямляемая кривая 235Среднее значение:– функции 60, 129– несобственного интеграла 135Статические моменты и моментыинерции:– плоской кривой 347– плоской фигуры 353Сходимость несобственного интеграла 123, 126, 153– в смысле главного значения (поКоши) 130, 132Счётные множества 371ТТело вращения 265Теорема Лузина 378Теорема сравнения 154Теоремы Гульдина 351, 357Теоремы о среднем:– интеграл несобственный 146– интеграл Римана 57, 62– интеграл Стилтьеса 398Третий признак сравнения 162УУсловие Липшица 28ФФормула Ньютона–Лейбница 38, 80,147Формула понижения степени103, 153Функции с ограниченным изменением 387ЦЦентр тяжести 349, 355Цилиндр 266ЭЭйлера–Пуассона, Эйлера интегралы183, 184Эллиптические интегралы 255Список использованной литературыСПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
