И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 70
Текст из файла (страница 70)
p < 5 , и расходится в остальных случаях.a ≠ 0 , n > 0 . Воспользуемся признаком Дирихле. Функция f ( x ) = cos(ax ) интегрируема на любом конечном промежутке [0, A] , где A > 0 , причём ∀A > 0 первообразная этой функции ог13. Решение. а) 1) Пусть2:aA2a∫ cos(ax )dx ≤ ∫π cos axdx =0−Кроме того, функцияg (x ) =2.ax → +∞ . Поэтому, согласно признаку Дирихле, получаем, что интегралсходится.2) Пусть теперь+∞a = 0 , тогда исходный интеграл принимает видπa01→ 0 , монотонно убывая.
Поxpx → +∞ функция g (x ) =этому, согласно признаку Дирихле, интеграл сходится.в) Положим t = x , тогда2+∞отвечаетмонотонное+∞+ ∞ : ∫ cos(x 2 )dx =0x = t , dx =2 tизменениеt, и изменениютакжеотx от 0 до0до+∞1 cos tdt .2 ∫0 t∀A ≥ 0 интеграл по любому конечному сегменту [0, A] отf (t ) = cos t ограничен:функцииdtA∫ cos tdt= sin A − sin 0 ≤ 1 , а функция0g (t ) =1t→ 0 монотонно при t → +∞ , то, по признаку Дирихле, инте-грал сходится.+∞г) Заметим, что1∫x2dx сходится по 3-му признаку сравнения, а функция1dx∫1+ xПри p > 0 и2a1→ 0 монотонно убывая при1+ xnA∫ sin xdx ≤ ∫ sin xdx = 2 .Так какπраничена числомСадовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл486n. При любомn > 0 единственная особая точка x = +∞ . Так как01⎛ 1 ⎞= O⎜ n ⎟ , то по 3-му признаку сравнения интеграл сходится тогда иn1+ x⎝x ⎠только тогда, когда n > 1 .3) Наконец, если n = 0 , то интеграл+∞⎧cos(ax ), x > 0;1f ( x )dx , где f ( x ) = ⎨расходится.∫2 0⎩1, x = 0;f ( x ) = sin x интегрируема в любом конечном промежутке [0, A] , где A > 0 , причём ∀A > 0б) Воспользуемся признаком Дирихле. Функцияпервообразная этой функции ограничена числом 2:1πмонотонно возрастает при x → +∞ от 0 дои ограничена:22x1arccos 2 ≤ π ∀x ≥ 1 . Поэтому, по признаку Абеля, данный интегралxarccosсходится.14. Доказательство: см.
пример 1 раздела 4.3.15. Решение. а) Разобьём данный интеграл на два интеграла так, чтобы вкаждом из получившихся интегралов было по одной особой точке ( A > 0 –любое число):+∞Asin xsin x∫0 x dx = ∫0 x dx +Исследуем сходимость интегралов+∞sin xdx = I 1 + I 2 .xA∫I1 и I 2 .Ответы и решения487sin xнепрерывна на (0, A] и ограничена, то инxтеграл I 1 существует как собственный (в точке x = 0 функцию можно до1) Поскольку функцияопределить предельным значением, равным 1, до непрерывной на сегменте0, A ).[]2) Интеграл I 2 сходится по признаку Дирихле (см. задачу 13(б) выше).Поэтому исходный интеграл сходится.+∞Asin xsin xdx = ∫ p dx +б) Аналогично имеем: ∫p0 x0 x1) Приx → +0 имеем: sin x ~ x , поэтому+∞sin x∫A x p dx = I1 + I 2 .sin x⎛ 1 ⎞= O⎜ p −1 ⎟ , и по 3-муpx⎝x ⎠I 1 сходится (в том числе абсолютно) приp − 1 < 1 , т.е.
p < 2 , а при остальных p расходится.2) Пусть x → +∞ . При p > 0 интеграл I 2 сходится по признаку Дирихле (см. задачу 13(б) выше). При p ≤ 0 интеграл I 2 расходится по крите-признаку сравнения интегралрию Коши (см. задачу 14 выше).Таким образом, исходный интеграл сходится при 0 < p < 2 , и расходится в противном случае.16. Решение. а) 1-й способ. На промежутке интегрирования имеются дветочки, которые в зависимости от значений параметров могут быть особыми:x = 1 (2-го рода) и x = +∞ (1-го рода). Разобьём интеграл на сумму двухинтегралов+∞Adxdx∫1 x p ln q x = ∫1 x p ln q x ++∞dx∫A x p ln q x = I1 + I 2и исследуем сходимость каждого из них.1) Для исследования сходимости интеграла I 2 (в окрестности бесконечноудалённой точки) воспользуемся 2-м признаком сравнения.Покажем, что при p > 1 интеграл I 2 сходится. Для этого сравним приx → +∞ скорости убывания двух бесконечно малых функцийf (x ) =+∞11и g ( x ) = k , где k > 1 – любое число (интегралqx ln xxp∫ g (x )dx сходится).
Рассмотрим пределAСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл4881 (x p ln q x )f (x )ln − q x= lim= lim p − k .x → +∞ g ( x )x → +∞ xx → +∞1 kxЗаметим, что если p − k > 0 , т.е. p > k , то при любых q данный пределp −kв знаменателе дроби приравен 0 (поскольку степенная функция xx → +∞ растёт быстрее логарифмической функции в числителе дроби).Итак, при p > k > 1 , т.е. при p > 1 , согласно 2-му признаку сравнения, инlim+∞теграл∫xpAdxсходится.ln q xПокажем теперь, что при p < 1 интегралI 2 расходится. Сравним при11x → +∞ подынтегральную функцию p qс функцией g ( x ) = k ,x ln xxгдеk ≤ 1 – любое число (интеграл+∞∫ g (x )dxрасходится).
Рассмотрим всёAтот же пределf (x )ln − q x= lim p − k .x → +∞ g ( x )x → +∞ xПри p − k < 0 , т.е. p < k , и любом q этот предел равен + ∞ . Согласно 2lim+∞∫ g (x )dx следует расхо-му признаку сравнения, из расходимости интегралаAдимостьI2.Пусть теперь p = 1 , q > 1 , тогда+∞dxI2 = ∫=qA x ln xЕсли же p = 1 , q = 1 , то+∞dx∫A x ln x =При p = 1 , q < 1 имеемI2 =+∞+∞d ln x ln 1− q x∫A ln q x = 1 − q+∞– сходится.A+∞d ln x+∞= ln ln x A – расходится.ln xA∫ln 1− q xdxI2 = ∫=q1− qA x ln x+∞– расходится.AОтветы и решения489x → +1 имеем: ln x = ln(1 + ( x − 1)) ~ x − 1 , и поэтому⎛ 1 ⎞1⎟ . По 3-му признаку сравнения интеграл (при любом= O⎜⎜pqq ⎟x ln x⎝ ( x − 1) ⎠p ) сходится тогда и только тогда, когда q < 1 .Итак, интеграл сходится, если p > 1 и q < 1 (и расходится в остальных2) Прислучаях).2-й способ.
Сделаем в исходном интеграле заменуt = ln x , тогда x = e t ,dx = e t dt и+∞dx∫1 x p ln q x =e (1− p )te (1− p )tdt=∫0 t q∫0 t q dt ++∞Ae (1− p )t∫A t q dt = I1 + I 2 .+∞e (1− p )t⎛1⎞= O⎜ q ⎟ , следовательно, интеграл I 1qt⎝t ⎠сходится по 3-му признаку сравнения при q < 1 (при любом p ∈ R ) и расходится при q ≥ 1 .(1− p )tубывает быстрее, чем любая2) При t → +∞ и p > 1 функция e1функция вида k , k > 1 . Поэтому, по 2-му признаку сравнения, из сходимоt+∞dtсти интеграла ∫ k следует сходимость интеграла I 2 .At(1− p )tрастёт быстрее, чем любая функПри t → +∞ и p < 1 функция e1ция вида k , k ≤ 1 . Поэтому, по 2-му признаку сравнения, из расходимостиt+∞dtинтеграла ∫ k следует расходимость интеграла I 2 .At1) Приt → +0 имеем:e (1− p )tdt принимает видПри t → +∞ и p = 1 интеграл ∫tq0+∞+∞dt∫tqи, оче-0видно, расходится.Ответ: интеграл сходится, если p > 1 и q < 1 (и расходится в остальных случаях).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл490б) В этом интеграле две особые точки: x = 0 и x = +∞ . Согласно свойству аддитивности, разобьём интеграл на сумму двух интегралов, в каждом изкоторых останется по одной особой точке:ln(1 + x )ln(1 + x )I= ∫dx = ∫dx +nxxn00+∞Aln (1 + x )dx = I 1+ I 2 .xnA+∞∫I1 и I 2 .x → +0 имеем:Интеграл I сходится, когда одновременно сходятся оба интеграла1)Исследуемсходимостьln(1 + x ) ~ x , поэтомуинтегралаI 1 . Приln (1 + x )⎛ 1 ⎞= O⎜ n −1 ⎟ .nx⎝x ⎠По 3-му признаку сравнения, интеграл I 1 сходится тогда и только тогда, когда n − 1 < 1 , т.е.
n < 2 .2) Исследуем сходимость интеграла I 2 . При x → +∞ сравним скоростиубывания (порядки малости) двух бесконечно малых функцийln (1 + x )1и g (x ) = k .nxxВыясним, при каких значениях параметра n интеграл I 2 сходится. Пустьf (x ) =+∞k – любое число, большее 1 (интеграл∫ g (x )dxсходится).
РассмотримAпределln(1 + x ) x nf (x )ln (1 + x )lim= lim= lim.kx → +∞ g ( x )x→+∞x → +∞x n−k1xСогласно 2-му признаку сравнения, если этот предел равен 0, то интегралI2n − k > 0 , т.е. n > k , данный предел обращаетn−kв знаменателе дроби прися в нуль (поскольку степенная функция xx → +∞ растёт быстрее логарифмической функции в числителе дроби).Итак, при n > k > 1 , т.е. при n > 1 , интеграл I 2 сходится.Исследуем интеграл I 2 на сходимость при n ≤ 1 . Сравним при1x → +∞ подынтегральную функцию f ( x ) с функцией g (x ) = k , гдеxсходится. Заметим, что приОтветы и решенияk ≤ 1 – любое число (интеграл491Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл492+∞∫ g (x )dx расходится). Рассмотрим тот же17. Решение. а) Приxn⎛ 1 ⎞= O⎜ − n ⎟ , и поэтому⎝x ⎠1− x4x → +0 имеем:Aпределf (x )ln (1 + x )= lim.x → +∞ g ( x )x → +∞x n−kОчевидно, что при n − k ≤ 0 , т.е. n ≤ k (≤ 1) , т.е. при n ≤ 1 , этот пределравен + ∞ . Согласно 2-му признаку сравнения, из расходимости интегралаlim+∞∫ g (x )dx следует расходимость I2.AОтвет: интеграл сходится при 1 < n < 2 , и расходится в противном случае.в) Покажем, что подынтегральная функция ограничена в окрестности точки x = 1 (т.е. эта точка не является особой):(ln x )′ = lim 1 x = − 1 .ln xlim=′ x→1−0 − 2 xx →1− 0x →1− 0 1 − x 221− x2Исследуем сходимость интеграла при x → +0 . Рассмотрим предел отlimношения()ln x (1 − x 2 )1ln x= lim⋅ lim − k .k2x → +0 xx → +0x → +0 1 − x1xlimПриk > 0 последний из пределов является неопределённостью вида∞,∞раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим:xk1xln x=lim=0.lim=x → +0 x − kx → +0 − kx − k −1x → +0 − kИтак, подынтегральная функция в окрестности точки x = 0 имеет поря1док роста ниже, чем бесконечно большая в этой окрестности функция k ,xинтеграл от которой сходится при k < 1 .
По 2-му признаку сравнения, из1dxсходимости интеграла ∫ k (0 < k < 1) следует сходимость исходного ин0 xlimтеграла.интеграл сходится, по 3-му признаку сравнения, тогда и только тогда, когда− n < 1 , т.е. при n > −1 .При1 − x 4 = 1 − x (1 + x )(1 + x 2 ) ~ 1 − x .
По-x → 1− 0 имеем:⎞⎟ , и так как 1 2 < 1 , то в окрестности точки⎟⎠x = 1 интеграл также сходится (при любом n ).Итак, интеграл сходится при n > −1 .этому⎛1= O⎜⎜ (1 − x ) 121− x4⎝xnб) Разобьём интеграл на сумму двух интегралов:Γ( p ) =+∞Ap −1 − xp −1 − x∫ x e dx = ∫ x e dx +0+∞∫x0AИсследуем сходимость каждого из интегралов1) Приx → +0 имеем: e−xe dx = I 1 + I 2 ( A > 0) .p −1 − xI1 и I 2 .f ( x ) = x p −1e − x =→ 1 и поэтому⎛ 1 ⎞= O⎜ 1− p ⎟ . По 3-му признаку сравнения несобственный интеграл 2-го рода⎝x ⎠I 1 сходится тогда и только тогда, когда 1 − p < 1 , т.е.
p > 0 (и расходитсяпри остальных значениях p ).2) Для исследования сходимости несобственного интеграла 1-го рода I 2воспользуемся 2-м признаком сравнения.Для этого при x → +∞ сравним порядки малости двух бесконечно малых функцийf (x ) и g (x ) =1, где k > 1 (интегралxk+∞∫ g (x )dx сходится).AРассмотрим предел отношения этих функций:limx → +∞f (x )x p −1e − xe−x= lim= lim − p − k +1 = 0x → +∞ xg ( x ) x →+∞ 1 kxпри любых p , поскольку экспоненциальная функция на бесконечности убывает быстрее любой степенной функции. Согласно 2-му признаку сравнения,+∞в этом случае из сходимости интеграла∫ g (x )dxAследует сходимость инте-Ответы и решения493+∞гралаAΓ( p ) сходится, если (и только если)одновременно сходятся интегралы I 1 и I 2 , т.е. при p > 0 .Окончательно, исходный интегралв) Имеем две точки, являющиеся или могущие быть особыми при определённых значениях параметров: x = 0 и x = +∞ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
