И.В. Садовничая, Е.В. Хорошилова - Определённый интеграл - теория и практика вычислений (1113461), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Используя критерий Коши сходимости несобственных интегралов, можно доказать, что при p ≥ 2 интеграл I расходится.112) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость. Для этого исследуемdt сходится (по Дирихле), а интегралтельно, абсолютной сходимости нет.Ответ: интеграл сходится условно.AСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл500(2t − 1) p t 2(1− p )t → +∞ имеем⎛ 1 ⎞= O⎜ 2 − p ⎟ .⎝t ⎠AТак как∫ cos tdt1≤ 2 ∀A ≥ 1 , и при 2 − p > 01t2− p→ 0 монотонно, тоинтеграл I сходится при p < 2 (а по критерию Коши расходится приp ≥ 2 ).2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость.Ответы и решения+∞501+∞cos 2tcos 2 tdt=∫1 (2t − 1) p t 2(1− p ) ∫1 (2t − 1) p t 2(1− p ) dt ≤+∞+∞cos tdt≤ ∫dt ≤ ∫= I1 .p 2 (1− p )p 2 (1− p )1 (2t − 1) t1 (2t − 1) tТак как интеграл I 1 сходится при p < 1 , то при этих значениях p интегралI сходится абсолютно.
С другой стороны, при p ≥ 1 интеграл I 1 расходит11I1 +22+∞cos 2tся, а интеграл ∫dt сходится (по признаку Дирихле), поэтомуp 2 (1− p )()2−1tt1их сумма расходится, а значит, интеграл I абсолютно расходится.Ответ: при p < 1 интеграл сходится абсолютно;при 1 ≤ p < 2 – сходится условно;при p ≥ 2 – расходится.в) Имеем две особые точки: x = 0 и x = +∞ . Разобьём интеграл на дваI=∫sin x ⋅ arctg q xp20Adx = ∫1+ xsin x ⋅ arctg q x0sin x ⋅ arctg q x1+ xp2x∫A1+ xp2→ 0 монотонно, то интеграл I 2 сходится (по кри-I 2 расходится).Итак, при p > 0 , q > −2 интеграл I , как сумма двух сходящихся интегралов, сходится; в остальных случаях – расходится.2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость (при p > 0 ,q > −2 ).
Рассмотрим интегралI =+∞∫0sin x ⋅ arctg q x1+ xp2sin x ⋅ arctg q xAdx = ∫p2+∞dx +1+ x= I1 + I 2 .0∫sin x ⋅ arctg q x1+ xAp2dx =I 1 при указанных p и q была доказана выше. Дляисследования сходимости интеграла I 2 воспользуемся неравенством:Сходимость интеграла11J1 −22dx ++∞∫Acos 2 x ⋅ arctg q x1+ xp2+∞≤∫+∞dx =∫sin 2 x ⋅ arctg q xAqarctg xp21+ xp2dx ≤ I 2 ≤dx = J 1 .1+ x⎞⎛parctg q x⎜ 1 ⎟При x → +∞, следовательно, при> 1 интегралO=pp⎟⎟⎜⎜21+ x 2⎝ x2 ⎠dx = I 1 + I 2 .x → 0 + 0 имеемsin x ⋅ arctg x⎛ 1 ⎞= O⎜ −(q +1) ⎟ ,p⎝x⎠1+ x 2значит, по 3-му признаку сравнения, интеграл I 1 сходится (в том числе абсолютно) при − (q + 1) < 1 , т.е. q > −2 и любых p (и расходится при q ≤ −2и любых p ).При x → + ∞ воспользуемся признаком Дирихле.
Так как⎛⎞Barctg q x⎜ 1 ⎟∀B≥Aиsinxdx≤2=O∫Ap⎜⎜ p ⎟⎟ ,1+ x 2⎝ x2 ⎠p2терию Коши доказывается, что при p ≤ 0 интеграл+∞+1причём при p > 0интеграла:+∞Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл502A1) Исследуем интеграл на сходимость. ПриqJ 1 сходится (по 3-му признаку), а значит, сходится и мажорируемый им интеграл I 2 (т.е. интеграл I 2 сходится абсолютно). С другой стороны, при0<p≤ 1 интеграл J 1 расходится, а интеграл2+∞∫Acos 2 x ⋅ arctg q x1+ xp2dx схо-дится (по признаку Дирихле). Поэтому разность этих интегралов есть расходящийся интеграл, но тогда интегралтакже расходится.
Значит, при 0 <ся.I 2 , мажорирующий расходящийся,p≤ 1 интеграл I 2 абсолютно расходит2Ответ: при p > 2 , q > −2 интеграл сходится абсолютно;Ответы и решения503при 0 < p ≤ 2 , q > −2 интеграл сходится условно;при p ≤ 0 или q ≤ −2 – расходится.г)=Сделаемзаменуt = x + x2 ,тогдаx2 + x − t = 0 ,x1, 2 =dt− 1 ± 1 + 4t1 + 4t − 1. Так как x > 0 , то x =, dx =и221 + 4t+∞sin tdtI= ∫.p0 ⎛ 1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟ 1 + 4t⎜⎟2⎝⎠t = 0 и t = +∞ . Разобьём интеграл на два интеграла:+∞sin tdtsin tdtI=∫+ ∫= I1 + I 2 .pp0 ⎛ 1 + 4t − 1 ⎞A ⎛ 1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟ 1 + 4t⎜⎟ 1 + 4t⎜⎟⎜⎟22⎝⎠⎝⎠1) Исследуем интеграл на сходимость. При t → 0 + 0 имеем: sin t ~ t ,1 + 4t ~ 1 + 2t , поэтомуsin t⎛ 1 ⎞= O⎜ p −1 ⎟ .p⎝t ⎠⎛ 1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟ 1 + 4t⎜⎟2⎝⎠Следовательно, по 3-му признаку сравнения, интеграл I 1 сходится (причёмабсолютно) при p − 1 < 1 , т.е. p < 2 , и расходится при p ≥ 2 .При t → + ∞ воспользуемся признаком Дирихле.
Так как⎛⎞B1⎜ 1 ⎟= O⎜ p +1 ⎟ ,p∫A sin tdt ≤ 2 ∀B ≥ A и ⎛⎜ 2 ⎟1 + 4t − 1 ⎞⎝t ⎠⎜⎟ 1 + 4t⎜⎟2⎝⎠p +11причём при> 0 , т.е. p > −1 , p +1 → 0 монотонно, то интеграл I 22t 2p +1сходится (по критерию Коши можно доказать, что при≤ 0 , т.е.2p ≤ −1 , интеграл I 2 расходится).Особые точки:AСадовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл504Итак, интеграл I сходится при − 1 < p < 2 как сумма двух сходящихсяинтегралов; в остальных случаях – расходится.2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость (при − 1 < p < 2 ).Рассмотрим интегралI =+∞∫⎛0Asin t dt1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟⎜⎟2⎝⎠p+∞∫⎛=01 + 4tsin t dt1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟⎜⎟2⎝⎠+p1 + 4tsin t dt∫⎛= I1 + I 2 .p1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟ 1 + 4t⎜⎟2⎝⎠Сходимость интеграла I 1 при указанных p была доказана выше.
Для иссле+Aдования сходимости интеграла11J1 −22+∞∫⎛AI 2 воспользуемся неравенством:+∞cos 2tdt1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟⎜⎟2⎝⎠=p1 + 4t+∞≤∫⎛AПриt → +∞ имеем⎜⎜⎝∫⎛A1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟⎜⎟2⎝⎠dt1 + 4t − 1 ⎞⎟⎟2⎠1psin 2 tdt≤ I2 ≤p1 + 4t= J1 .p1 + 4t⎛⎜ 1= O⎜ p +1⎜ 2⎝t1 + 4t⎞⎟⎟⎟ ,⎠⎛ 1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟⎜⎟2⎝⎠p +1следовательно, при> 1 , т.е. 1 < p < 2 , интеграл J 1 сходится (по 3-му2признаку), а значит, сходится и мажорируемый им интеграл I 2 (т.е. интегралp +1I 2 сходится абсолютно). С другой стороны, при≤ 1 , т.е. − 1 < p ≤ 1 ,2Ответы и решения+∞интегралJ 1 расходится, а интеграл −cos 2tdt∫⎛A1 + 4t − 1 ⎞⎜⎟⎜⎟2⎝⎠p506сходится121 + 4t(по признаку Дирихле). Поэтому разность этих интегралов есть расходящийсяI 2 , мажорирующий расходящийся, также расходится.
Значит, при − 1 < p ≤ 1 интеграл I 2 абсолютно расходится.Ответ: при 1 < p < 2 интеграл сходится абсолютно;при − 1 < p ≤ 1 интеграл сходится условно;при остальных p – расходится.31. Решение. а) Особая точка x = 0 . Так как при x → +0⎛ 1 ⎞11e ± x = 1 ± x + o( x ) , то= O⎜⎜ 2 ⎟⎟ . По=3x(e x − e − x ) 3 x(2 x + o( x ))⎝x 3 ⎠скольку 2 3 < 1 , то, 3-му признаку сравнения, интеграл сходится, причём аб-интеграл, но тогда интегралсолютно.б) Особая точкаx = +∞ .
Разобьём интеграл на два интеграла:+∞1∫= ∫+00+∞∫Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл505+∞x dx1∫1 x + 100 + 21100 − x< 0 при x > 100 ).BКроме того,2 x (x + 100)∀B ≥ 1 . По признаку Дирихле интеграл сходится.2∫ cos xdx ≤ 21Итак, исходный интеграл сходится.+∞2) Исследуем интеграл∫1x cos xdx на абсолютную сходимость:x + 1001+∞∫1x cos 2 xdx ≤x + 100+∞∫1x cos xx + 100dx .⎛ 1x= O⎜⎜ 1x + 100⎝x 2сходится по признаку Дирихле. Их сумма есть расходящийся интеграл, сле+∞довательно, интеграл∫∫1x cos xx + 1001+∞dx расходится, а это значит, что интегралx cos xdx расходится абсолютно.x + 100Следовательно, исходный интеграл сходится условно.в)Положимdtt t 2 −1t = sec x =1, тогдаcos x1cos x = ,t1x = arccos ,t.
В результате имеем:π2∫ sin(sec x )dx =+∞=∫x → +∞Первый интеграл сходится как собственный (причём абсолютно, так как подынтегральная функция неотрицательна).x cos x1) Исследуем сходимость интеграла ∫dx . При x → +∞x+1001′⎛x ⎞x⎟ =функция→ 0 монотонно убывая (производная ⎜⎜⎟x + 100⎝ x + 100 ⎠x cos 2 xdx =x + 100⎞⎟ , то, по 3-му признаку сравнения,⎟⎠+∞+∞x dxx cos 2 xрасходится.
В то же время интеграл ∫интеграл ∫dxx + 100x + 10011Так как приdx =.+∞0+∞∫t1sin tdtt 2 −1.t = 1 и t = +∞ . Разобьём интеграл на два интеграла:A+∞sin tdtsin tdt+ ∫= I1 + I 2 .I=∫221 t t −1A t t −1При t → 1 + 0 имеем:⎛ 1 ⎞sin t⎟.= O⎜1 ⎟2⎜t t −1⎝ (t − 1) 2 ⎠Следовательно, по 3-му признаку сравнения, интеграл I 1 сходится (причёмОсобые точки:абсолютно).Ответы и решенияПриt → +∞sin tt t −12≤1t t −12507⎛1⎞– интеграл сходится аб2 ⎟⎝t ⎠= O⎜солютно (по 1-му признаку сравнения). Итак, интеграл сходится абсолютно.Pn ( x ) > 0 при x ≥ a ≥ 0 , то единственная особая точкаг) Так какx = +∞ .1) Исследуем сходимость интеграла. Поскольку приPm ( x )⎛ 1 ⎞= O⎜ n −m ⎟ ,Pn ( x )⎝x⎠причём1xn −mx → +∞→ 0 монотонно при n − m > 0 , то, по признаку Дирихле,интеграл сходится (а по критерию Коши расходится приn − m ≤ 0 ).2) Исследуем интеграл на абсолютную сходимость.
Так как11J1 −22+∞Pm (x )+∞Pm (x )∫ P (x ) cos 2 xdx = ∫ P (x ) sinan+∞Pm (x )Pm (x )∫ P (x ) dx = Jaxdx ≤na≤+∞2Pm ( x )∫ P (x )asin x dx ≤n1,n⎛ 1 ⎞= O⎜ n −m ⎟ , то для абсолютной сходимости интеPn (x )⎝x⎠грала достаточно потребовать, чтобы n − m > 1 , т.е. n > m + 1 . При+∞P (x )cos 2 xdxm < n ≤ m + 1 интеграл J 1 расходится, а интеграл ∫ mPn ( x )aи приx → +∞сходится (по признаку Дирихле), поэтому исходный интеграл абсолютно расходится.Ответ: при n > m + 1 интеграл сходится абсолютно;при m < n ≤ m + 1 сходится условно(в остальных случаях – расходится).Садовничая И.В., Хорошилова Е.В.
Определённый интеграл508Ответы и решения§5.1. 4,5 кв.ед.5. 2 −2. 18 кв.ед.10кв.ед.e224. 1 3 + 23. 2 2a кв.ед.⎛13⎞⎟ кв.ед.ln+⎜32 ⎟⎠⎝6. 1 кв.ед. 7. a⎜πкв.ед.8. 46 15 кв.ед.43 3⎛⎞9. a ⎜ π − 2 + ln 2 ⎟ кв.ед. 10. 2 − 1 кв.ед.11. (e − 4 ) кв.ед.πe⎠⎝12.
2 15 кв.ед.13. (41 2 ) arcsin (9 41) + 20 ln 0,8 кв.ед.214. (9π 4 ) −16. 4a32 + 4 2 ln 2 − (9 2 ) arcsin(1 3) кв.ед.23. 43 12 кв.ед.35.38.42.πa 2+(24a 2кв.ед.3(16 − 9 3 ) кв.ед.3π 3 + 3 2 кв.ед.248. πa / 4 кв.ед.43.(3 2)πa223 3 2a кв.ед.2a 2 210 кв.ед.33 кв.ед.44. (3π − 8) / 32 кв.ед.кв.ед.46. πa / 4 кв.ед.234. 1 / 12 кв.ед.37.47. πa / 4 кв.ед.249. 3 πa3)(4π 3 + 3π ) кв.ед.40. 11π кв.ед. 41. 16πa 2 6 0 кв.ед. 39.
a 2 10 кв.ед.3 кв.ед.30. aa 2 6 кв.ед.36.72 3 5 кв.ед.27.(29. 169π кв.ед.πa 245.)26. 8 / 3 кв.ед.6πa 2 кв.ед. 32. 8a 2 / 3 кв.ед. 33.8)250. 9πa / 2 кв.ед.22 кв.ед.22aa2(4 − π ) кв.ед.(4 − π ) кв.ед.52. a кв.ед.53.8222254. 19πa / 8 кв.ед. 55. π (1 + π 6 ) кв.ед. 56. a 6 π + 6 − 3 3 кв.ед.51.()()60. 2 −π, 2+(π)a 2 5π + 18 3кв.ед.3258.πa 2 / 259.37π− 5 3 кв.ед.662. πa /22 кв.ед.22222263.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
