Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 28
Текст из файла (страница 28)
л — а (3) При х = х имеем )з — а) = /л — ай Для того чтобы ось Ох отображалась на единичную окрухшость, необхолимо, чтобы )В) = 1, т.е. й = езе. гз гг гез вг г — гг в — вг Единственность. Пусть кроме отображения Е существует такое дробно-линейное отобрюкение Л, что Л(г„) = в„. Рассмотрим дробно-линейное отображение Ь = бг о Л об, '. Оно оставляет неподвижными точки О, са, 1. Из Х(аа) = аа ю Х(г) = аз -ь Ь, из Х(0) = 0 м Ь = О, из Х(1) = 1 =~ а = 1.
Следовательно, Х(г) = г, т.е. Га о Л о б, ' = Е, где  — тожлествеззное отображение. Отсюла имеем Л = Е 'Та —— йсв Следствие. Любую окружность 3 С С можно посредством дробпо-липейного отображения преобразовать в любую другую окружность Т С С. Действительно, для этого достаточно перевести три точки окружности 7 в три точки окружности 3'.
Из кругового свойства дробно-линейного отображения, а также из того, что три тачки определяют единственную окружность, следует утверждение, Дробно-линейное отображение области Р на область Р' называется дробпо-линейным изоморфизмом, а области 23 н Р', для которых ~акой изомарфизм существует, называются дробна-липеппо изоморфными Область К С С называется кругом, если ее граница является окружностью на С. Следовательно, это может быль круг в обычном понимании, или внешность такого круга, а также полуплоскость. Любая окружность 3 плоскости г разделяет С на два круга Кз и Кг.
В свою очередь окружность э* = б(т) плоскости в разбивает С надва круга К," и Кг". Из тополагнческих соображений ясно, что возможны два случая: а) й(Кз) = К;, Х(Кг) = Кг; б) ЦКз) = К;, Т(Кг) = К,". Чтобы выяснить, какой нз этих двух случаев выполняется, достаточно найти образ любой точки крута К| (или круга К,). Можно также воспользоваться так называемым правилом обхода, которое состоит в след)юаще.
Зафиксируем на окрумсности Т три точки г„ л„ г,. Их образами соответственно будут точки в„ в„ в,. Три точки на окружности устанавливают на ней вполне определенное направление обхода. Используя свойство сохранения углов при конформном отображении, можно показать, что при обходе окружности у и у' в направлениях, определенных точками г, и и~з (з', 3 = 1, 2, 3), обззасти, соответствующие друг другу, будуз размещены с одной и той же стороны.
Теперь легко убедиться в следующем. Теорема 2. Любые два круга па плоскости С дробно-линейно изоморфпы. Найдем, например, все дробно-линейные изоморфизмы верхней полуплоскости Я~ = (е б ЕЕ 1пз г > 0) на единичный круг К = (в б С: )в) < 1). Пусть а (1ш а > 0) — точка верхней полуолоскости Я+, которая при данном отображении переходит в центр круга К в = О. Точка а, согласно с инвариантностью симметричных точек, перейдет при дробно-линейном отобрюкении в точку в = са, симметричную точке в = 0 относительно окружности .1 = (в Е С: (в( = 1). Очевидно, что искомое отображение имеет вид Гл.
3. Элемевтариые фующин в комплексной плоскости 88 Итак, все дробно-линейные изоморфизмы верхней полуплоскости Я+ на единичный круг определяются формулой .в' — а ю=е* —, (4) е — а где а — произвольная точка верхней полуплоскости (1ш с > 0), а  — произвольное действи- тельное число. Имеем также ю(оо) = е'в. Установлено, что вся совокупность дробно-линейных изоморфизмов верхней полуплоскости на единичный круг зависит от трех действительных параметров, а именно В, Кеа и 1т а. Дробно-линейный изоморфизм области на себя назовем дробно-линейным автоморфизмом, Очевидно, что совокупность всех дробно-линейных автоморфизмов какой-нибудь области обра- зует группу, которая яюшется подгруппой группы Л всех дробно-линейных отображений.
Так, 1) совокупность всех дробно-линейных автоморфизмов С совпадает с Л, 2) совокупность дробно-линейных автоморфизмов С совпалает с подгруппой (целых) линей- ных преобразований з ~-~ аг -1- Ь; 3) подгруппа автоморфизмов единичного круга К = (ы Е С: [ю[ ( ! ) имеет вид в а о е~-ве', [а[ < 1 1 — ах и зависит от трех действительных параметров: двух координат ~очки а и числа В. (5) (а+ 1)Ья гв (а — Ые+ а(Ь+ 1) Рассмотрим примеры.
г+ (а 1. Найти образ оси Оу при отображении гв = —, а Ф О, а Е И. -г -1- !а м Имеем гв(0) = 1, гв(ю) = — 1, ю((а) = сю. Три гочки — 1, 1, со на плоскости гв определяют действительную ось. в. 2. Найти образ отрезка с концами в точках з, = -1+ 21, з, = 1+ 2! при отображении 2з+! ге 42 м Поскольку гв(з,) = -5 — 2К ю(хз) = 5 — 21, м(2!) = оз, то образом прямой у = 2, которой принадлежит данный отрезок, будет прямая !ш ю = -2.
Конечный отрезок [гн аг] переходит в отрезок, содержащий бесконечно удаленную точку, с концами ю, = -5 — 21, ю, = 5 — 2!. в ъ'2(г — 1 — () 3, Найти линию т-плоскости, обраюм которой при отображении ю = является 2з — 1 — з единичная окружность Г = (ы Е С: [ге[ =!). ° и. ~ ~= в-1.и т.е. искомый прообраз — единичная окружность !' = (з Е С: [з[ = 1) , м 4. Доказать, что [а[ = [с[ > 0 является необходимым и достаточным условием того, что пз — Ь функция гв = переводит окружность.Г = (а б С: [г[ = 1) в прямую.
а — сз м Необходимость. Пусть заданная функция переводит окружность т в прямую. Прообразом точки гв = со является точка - = —,, поэтому ~ '-, ~ = 1. достаточность. Пусть [а[ = [с[ > О. дробно-линейная функция з = — '+ь переводит со в точку —,, которая, согласно условию, лежит на единичной окружности. А поскольку точка, лежащая на единичной окружности, перешла в бесконечность, то прообразом единичной окружности является прямая. М 5. Построить дробно-линейный автоморфизм верхней полуплоскости, при котором точки х = О, е = -1 остаются неподвижными.
м Пусть гв = Е(л) — искомый автоморфизм. Имеем б(0) = 0 и б(-1) = — 1. Пусть, далее, Ыа) = Ь (а Е И, Ь Е )к), Тогда, по правилу обхода, а и Ь должны удовлетворять одному из следующих условий: 1) (а, Ь) (2 [-1, О); 2) (о, Ь) Е [-1, 0). По формуле (2), п. 1.3, получаем 9 !. Дровни-линевиые Функции и их своиства б.
Найти образ единичного круга К = (л Е С: !г( < 1) и его верхнего полукруга при 3 — 2Л отобрюкении ю = 4а + 8 ' м Согласно данной формуле ю(-!) = -1„гс(1) = —,',. Поскольку коэффициенты дробно- линейного отображения действительные чисяа, то действительная ось перейдет в действительную ось. Образом единичной окружности будет окружность, для которой отрезок ( —,'м Ц является диаметром. Принимая во внимание, что ю(О) = ';, единичный круг отображается на круг К~ — — (шЕС: !ю — 1~ < з). По правилу обхода устанавливаем, что образом верхнего полукруга будет нижний полукруг. м 7.
Найти функцию, отображающую крут К = (а Е С; !л( < 1) на круг К' = (м Е С !ю — !! < 1) и переводящую точки О и 1 соответственно в точки -' и О. М По формуле (3), п. 1.2, находам точку и", симметричную точке м = -*,: Искомое отображение находим по соответствию трех пар точек ю(О) = —, ю(1) = О, гс(оо) = -й 2' Окончательно получаем ! — ! гс = з -1-2 8. Построить дробно-линейную функцию, переводящую точки множества К = ( — 1, 1, 1+ !) соответственно в ~очки множества И' = (1, со, Ц. Найти образ области м По формуле (3), п.1,1, имеем а+1 1+! — г ю — ! з — ! 1+141 1 — 1 Отсюда (1 -1- 2!)л 4 6 — 3! 5(з — г) Принимая во внимание, что точки гч = -1, зг = г, гз — — 1 4 г лежат на окружности 3 = ( х Е С: !з — =,' ~ = ~/-, ) и окружность у переходит в прямую и+ е = 1, по правилу обхода устанавливаем, что образом области В является полуплоскость Р = ((и, е) Е м': и Ч- с > 1).
М 9. Найти дробно-линейную функцию, отображающую правую полуплоскость без круга К = (з Е С: ) — Щ < Л), Л > В на кольцо К, = (ю Е С: р < !м~ < 1) так, что мнимая ось переходит в единичную окружность. Найти р. и! Найдем точки * и в* действительной оси плоскости е, симметричные одновременно относительно мнимой оси и окружности дК. Очевидно что в' = — х, Считая и > О, по формуле (3), п.
1.2, при а = и и х* = — х находим и = з/Дз )!ь'. Строим искомое отобрюкение как дробно- линейную функцию, переводящую точки к и *" соответственно в 0 и со: х — /Ду: 21~ м=й л+ яу:Ж' Гл. 3. Элемевтариые фувкцви в комплексной плоскости 90 Из условия !ш(!у)~ = 1 находим, что !Ь~ = 1. Принимая во внимание, что образ точки з = Ь вЂ” В лежит на окружности ! = (ш Е С: ~ш/ = р), имеем ~Ь 22 ьуЬУ ' 2( ~ (Ь п)з 2()г Д)/Д Яг+Ьз Р (Ь Д)2 1,2 ! 2(з (Ь вЂ” 22)(Ь вЂ” ьтЬЬт -7!т) Л -22 — Ь Ь вЂ” Л2-)?т , ш Д(К вЂ” Ь) 10. Найти общий вид дробно-линейной функции, имеющей две неподвижные точки з, и з,. М !) х, = О, зт — — со, тогда ш = Аз, А Е С.
2) Полагая Иг = —,„:--~, 2' = ='.: —;-'- и принимая во внимание 1), находим: ' — -г' *2 ш — з~ з — 7~ — =А ш — зз з — зз 11. При каких значениях А дробно-линейное отображение с двумя неподвижными точками а~ и зз (см. пример 10) переводит саму в себя люб)ю окрулгность, проходяпбчо через неподвижные точки, с сохранением направления обхода? Показать, что при этом любая окружность, ортогональная к окружности, проходящей через неподвижные точки, переходит в окружность также с сохранением направления обхода. м Для того чтобы отображение ш = Аз переводило прямые у = Ьв сами в себя с сохранением обхода, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство А > О. Это же условие сохраняется и для общего случая, о чем свидетельствует общий случай 2) в примере 10. Второе угвержление задачи непосредственно следует из конфорлгиости дробно-линейных отображений, а именно, свойства сохранения углов по величине и направлению отсчета.
ш (з -Ь 2 12. Доказать, что прямая, проходящая через неподвижные точки отображения ш = переходит в себя. м Неподвижные точки отображения ш являются решениями уравнения з — 2еа — 2 = О, 7 з,, = Ы -Ь 1, Точка С которая указанным отображением переводится в со, лежит на прямой, проходящей через неподвижные точки а„зз. ° 13. Последовательность (з„) определена так: зе — известное, з„.,~ —— ((з„), и Е Бш где у'— дробно-линейная функция с двумя неподвижными точками. Иссдедовать ее на сходимость. м Пусть а Е С, )) б С вЂ” неподвижные точки отображения !. Принимая во внимание формулу, полученную в примере 1О, имеем 焄— а з„— а,з„~ — а ыхо о „ы .
„. пвзе — о =А =А = ... =А" =~А~" ен" —, ршагяА. зы — )) г„— Д з„~ — 13 ' зо Д за Д Следовательно, з ы а / О, если !А~<1, )9 ~ со, если !А( > 1, !1т или а, если ~А~ < 1, '( 19, если 1А! >!. При ~А! = 1 бт а„ не существует. ш а~ 14. Найти центр ша и радиус 22 окружности, на которую функция ш =, !таз зь О, х — гз отобрюкает действительную ось. м из того, по ш(з,) = со, следуют равенства ше — — ш(хз) = ух=-*-". поскольку ш(со) = 1, то 2 *2 точка ш = 1 принаалежит окружности и. следовательно, 21 = !ше — 1! = )з!з — *,зз!. !ь б2. Степенявя фушгция ш = л" (и Е г(, и Ъ 2). Миогозиачиая функция и = ~/л 91 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
