Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтоллу его также называют хонформным отображением первого рола, в отличие от хонформного отображения второго рода, прн котором углы сохраняются лишь но величине, а направление нх отсчела изменяется на противоположное. Замечание 1. Отображение, осуществляемое аналитической функцией с отличной от нуля производной, характеризуется также н постоянством коэффициента растяжения в точке. Очевнлно, что отображение, обладавшее этими двумя свойствами, в предположении, что коэффициент растяжения отличный от бесконечности, является аналитическим Замечание 3. Пусть функции и н е имеют непрерывные частные производные. В этом случае элементарнммя методами можно показат~, что нз конформности отображения ) = а + ле необходимо следует его аналитичность, а если отображение ) имеет постоянный коэффициент растяжения, то оно явхяетсн конформным верного нлн второго рода.
Можно также доказать, что прн непрерывном однолистном отображении У: С С, Г>Г = С, нз условия консерватизма углов следует аналитичность функции ). Для изучения геометрических свойств отображения )': С -л С условимся о таком определении величины угла, под которым пересекаются кривые в точке г = со: этот угол считается равным углу пересечения образов этих кривых (при этом величину последнего берем с обратным знаком) в точке 6 = О при отображении С = —.
1 В связи с понятием конформного отображения в расширенной комплексной плоскости С дадим следующие определения. Определение 3. Функция > кан4арииа отображает окрестность От точки гэ иа окрестлласть точки в = со, если 4увкция в = + кои4армио отображает Ом иа окрестность тачки в = О. Пм Опрелеление 4. Функция > коиформно отображает окрестность От тачки г = оо аи окрестность О, точки ве, есаи функция в = > (С) кон4орина отображает окрестность точки й = О иаО л. Опралеление 5. Функция >' каи4армна отображает окрестность 0 тачки г = со яа окрестяость 0' тачки в = со, если 4>акция в = -+т кае4армиа отображает окрестность тачки (с) 6 = О иа окрестность точки в = О.
4.6. Плоские физические поля и пх связь с апялптпческпмп фупкцпямп. Пусть в некоторой области С б С задано плоскопараллельное векторное поле Е = (Р, Гх). Функции Р, = Г,(я, р), Рх = Р (х, р) считаем дифференцируемыми в области С. Пусть поле Р потенциальное, т.е. дРх дР. гог Р = — х — — = О, д* др 72 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного и соленоидальное, т. е дР, дР„ О)т Р = — * 4 —" = О.
(2) дх ду Из (1) следует, что дифференциальная форма Р дх + Р„!(у = и (3) является полным дифференциалом некоторой фунюзии и = п(х, у), которую называют лотелциалом поля Р: Р = 'уи =. пгаб и. Из (2) получаем -Рт !(х 4 Р !(у = !(е Фу!!кция е = е(х, у) называется функцией тока. Рассмотрим функцию (4) (5) (6) ю = 7"( ) = а(х, у) Ч !е(х, у).
Из (3) и (5) имеем ди де дп дс Р = — = —, Гт= — = — —. дх ду' " ду дх (7) Следовательно, 7 Е А(6). Таким образом, всякому потенциальному и солепоидальному плоскопаркщельному векторному полю Р соответствует аналитическая функция, полностью определяющая это поле. Эту функцию называют комплексным потенциалом векторного поля Р. Наоборот, каждой аналитической в обласги 6 функции 7 соответствует плоскопараллельное векторное поле Р, для которого 7 является комплексным потенциалом. Ил!еем очевидное равенство 2. Электростатическая ннтерпретаюва векторного паля.
Рассмотрим плоское электростатическое поле, заданное вектором напряженности Е. Известно, что оно потенциальное, т.е. Е = — 37р, (11) где (а — потенциал электростатического поля. Для произвольной замкнутой гладкой или кусочно- гладкой кривой Г С С имеем й,!Ь= О, (12) г поскольку этот интеграл равен работе по перемещению единичного заряла вдоль контура Г, Интеграл й„!(а г (13) Р = ~'(г). (8) Векторное поле Р может иметь различную природу.
Рассмотрим некоторые конкретные поля. 1. Гилродииамическая интерпретация векторного поля. Пусть Р— поле скоростей стационарного плоскопараллельного потока несжимаемой жидкости, плотносгь которой р = сопя!. Это поле потенциальное и соленондальное. Его соленоидальность означает, что в данной области 0 отсутствуют источники жидкости, другими словами, поток жидкости через произвольный замкнутый контур Г С 6 равен нулю: Р„г(а = 1 -Рт !(х+ Р„г(у = О. !' г Потенциальносгь поля скоросгей жидкости означает, что циркуляция жидкости вдоль произвольного замкнутого контура Г С С равна нулю: Р, (а = ~ Р„!(х + ~„!(у = О.
(1О) г г в4. дифференцируемые и аналитические функции. С- и Кз-дифференпируемость 71 согласно теореме Гаусса равен 2л, умноженному на алтебранческуто сумму зарядов, содержащихся в области, ограниченной контуром Г. Отсюда следует, что в области, в которой заряды отсутствуют, поле Е будет соленоидальным. Таким образом, при изучении плоскопараллельных электростатических полей в областях, в которых отсутствуют заряды, удобно пользоваться аппаратом аналитических функций.
4.7. Нерввецство Лагранжа. Пусть материальная точка движется прямолинейно. Если ее начальное и конечное положения совпадают, или направления движения в начальный и конечный моменты времени противоположны, то она должна иметь в какой-то момент времени скорость равную нуяю, т.е. обязана остановиться.
В математике эти простые физические явления описываются классическими теоремами Рол»ш и Дарбу. Справедливы ли классические теоремы Роллл, Дарбу и Лагранжа для функций вида /: К С? Физическое истолкование производной как скорости движения матернальиой точки в плоскости С позволяет ответить на поставленный вопрос. Двнгалсь на плоскости, материальная точка может вернуться в исходное положение без остановки в какой-либо момент времени, и в этом состоит одно нз принципиальных различий движений на плоскости и на прямой. Примером, подтверждающим сказанное, является вращение материальной точки вокруг неподвижного центра, математической моделью которого служит функция /: К С, где /(х) = е**, Рт — — [О, 2л]. Действительно, /(0) =- /(2л) п /'(х) = те* ф 0»тх б [О, 2л].
Поэтому сушествукн такие функции / . К -ч С, лля которых утверждения теорем Ролла и Лагранжа несправелдивы. Теорема Дарбу бьша основана на том факте, как отмечалось выше, что при прямолинейном движении материальной точки для изменения его на противоположное требуется, чтобы скорость в какойгщ момент времени обратилась в нуль. Подтверждением того, что, двигаясь на плоскости, материальная точка может изменить направление движения на противоположное, имея в каждый момент времени ненулевую скорость, служит пример движения точки по полуокружности, задаваемого функцией /: К ч С, где /(х) = те*, Рг —— (О, тг].
Векторы скорости /~(0) н /'(л) противоположно направлены, и тем не менее вектор /'(х) ненулевой чх б [О, л]. Следовательно, утверждение теоремы Дарбу для функций из К в С несправедливо. Физическое истолкование производной указывает правильный аналог теоремы Лагранжа для функций /: К С. Если /(а) — начальное положение движущейся материальной точки и ее скорость по модулю не превосходит числа о = Ц/»Ц = шр (/'(х)(, то за время 1 = Ь вЂ” а она не *еот может попаси за пределы окружности у = [ш б С: (ш — /(а)( = о(Ь вЂ” а)].
Теорема (Лагранжа). Пусмь фупкция [а, Ь] — » С непрерывна по [а, Ь] и дифферепцируелто в / каждой гоочкг интервала (а, Ь). Тогда слроведливо неравенство (/(Ь) — /(а)( ( Ц/ Ц(Ь вЂ” а), (1) где Ц/'Ц = зцр (/'(х)(. *ш ы ° Пустыр б Атя(/(Ь) — /(а)). ТОШа (/(Ь) — /(а)( = е тч(/КΠ— /(а)) = (е 'е/)(Ь) — (е ге/)(а). Полагаем е *'/(х) = а(х) + то(х) чх б [а, Ь]. Имеем (/(Ь) — /(а) ( = (и(Ь) + ъо(Ь)) — (а(а) + то(а)) = и(Ь) — н(а) + По(Ь) — о(а)).
Начало цепочки равенств показывает, что ее конец является действительным числом. Поэтому о(Ь) — о(а) = О. По теореме Лагранжа лля функции и существует такая точка Ц б (а, Ь), что (/(Ь) — /(а)( = и'(Ц) (Ь вЂ” о) ( (/'(Ц)((Ь вЂ” а) ( Ц/ Ц(Ь вЂ” а). В Рассмотрим примеры, 70. Доказать, что фунщтия со = з» + 2х + 3 однолнстная в области б = (е б С: (х( ( 1]. ~ Пусть (х,( < 1, (х»( ( 1 и х, Ф х», Покажем, что то(х») Ф ео(х»), т.е.
(ш(щ) — со(х»)( > О. Действительно, ( = [ — х ((х» + е» + 2( > ( — х,((2 - (х,( - ]; О. 74 Гл. 2. Комилексиме числа и функции комплексного переменного 71. Доказать, что функция 5 хзуз хзуз О если х оо О, при а=О, не дифференцируема в точке г = О. м Покажем, что бщ К552 не существуе~, откуда и будет следовать справедливость утверждеа ния. Пусть 2 = х+ оу, тогда Пусть у = х — О, тогда з -7 О и 1пп — '*' = 1цп З-*т — — -'.
Если а = х — О, то 1!гп Оз = О. *-о о * г о следовательно, 1цп -" — ~*-1 не существует и функция в не дифференцируема в точке 2 = О. м =-о 72. доказать, чго функция в = хз -Зху'4 !(Зх у — у' — 1), 17 = С, является аналитической. м действительно, функции и = хз — зхуг, е = зхгу — у — 1 дифференцируемы, и условия Коши — Римана выполняются: г — = Зх — Зу, дх д" 2 г ди — = Зх — Зу, — = -бху, ду ' ду ди де — -1-о' — = Зх — Зу + обху. М дх дх де — = бху, дх 73. Функция в = 5(з) = и(х, у)+ ос(х, у) имеет в точке з б )77 свойства: 1) и и е — дифференцируемые функции; дв 2) существует 1!ш а* о дг Доказать, по либо /, либо 7 дифферснцируема в точке 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
