Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Дробно-линейные функции и их свойства 1.1. Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения. Дробно-линейными называются функции вида аз О Ь ю(з) = (1) сз Е с( где а Е С, Ь Е С, с Е С, И Е С н выполняется условие ад — Ьс ~ О, Это условие исключает случай вырождения функпии (1) в постоянную величину, При с = О, д Ф О функция (!) становится линейной: а ю(со) = —, с ю(в,) = сс, Тогда дробно-линейная функция станет непрерывной в С, осушествляя непрерывное отображение С на С. Рассматривая (1) как уравнение и решив его относительно з, получим дю+Ь в =— (2) сю — а Получили опять дробно-линейную функцию, определенную в ~поскости С, поскольку з = сс при ю = —, и з = — в при ю = оо согласно с принятым выше условием. Таким образом, получили теорему. Теорема 1.
Всякая дробно-линейная сйункйин (1) осуществляет гомеоморфное (т.е. взаимно однозначное и непрерывное) отображение С на С. Производная дробно-линейной функции бю ад — Ьс дх (св + д) не равна нулю и конечна для всех з Е С((вн зз). Поэтому отображение, осушествляемоелробнолинейной фунютией ю, является конформным лля всех з Е СЦзн зз). Чтобы установить свойство конформности такхге в точках з1 и з,, введем в рассмотрение понятие угла в бесконечно удаленной точке. а Ь ю=-з+ — =Аз+В.
д Дробно-линейная функция ю определена для всех г Е С, за исключением двух точек: з, =--- и гз — — оо. При с = О эти точки совпадают. Продолжим функцию ю на всю расширенную плоскость С, полагая ю(з,) и ю(гс) равными предельным значениям ю в этих точках: Гл. 3. Элементарные функцшг в комплексной плоскости 84 сг ей И' = ах 4Ь (3) то пути Г, и Гз можно рассматривать как образы т, и тз при отображении (3).
Это отображение является дробно-линейным с производной ббИг Ьс — аЫ бг (ах я-Ь)з' отличной от нуля в точке г = --,, о х т. е. отображение (3) конформное в точке г = -"-, и угол между Г, и Гз г .тз в точке %' = 0 равен а. Отсюда имеем, что угол между Г; н Г," на бесконечности равен а. Конформность отображения (1) в точке г = — -" доказана. Для доказательства конформности отображения (1) в точке г = сс применим приведенные выше рассуждения к обратной функции (2) в точке и = -',.
В результате получим следующую теорему. Теорема 2. Дробно-линейное отображение конбюрмиог везде на С. Непосредственной проверкой можно убелиться в том, что композиция дробно-линейных отображений опять есть дробно-линейное отображение. Поэтому справедливо следующее утверждение. Теорема 3. Совокупность Л всех драбно-линейных атабрижгний образует группу, если эа групповую операцию принять композицию отображений. Доказательство состоит в непосредственной проверке групповых аксиом (ассоциативность, существование единицы н существование обратного элемента), 1.2. Геометрические свойства дробно-линейных отображений. Рассмотрим следующие четыре частных случая дробно-линейных отобрюкеннй: 1) параллельный перенос на вектор Ь т=геб; 2) поворот вокруг начала координат на угол б 3) подобие с коэффициентом подобия г (г > 0) и центром подобия в точке г = 0 4) обратное отображение Определение.
Под углом в точке г = со между двумя путями т~ и тг, проходящими через бвсканвчнасть и имеющими в своик с4ерических изображениях касательные в пвлнкг У, понимаем угол между образами Г~ и Гз этих путей при отображении г ~-ч —. = 7 в точке Я = О (при условии, 1 что Г~ и Гг имеют касательные в точке Я = 0) (рис. 29). Пусть т, и тг — два пути, проходящие через точку г = — — и пересекающиеся в ней под г углом а (счнтая, что пути имеют касательные в этой точке).
Их образы Г; и Г; при отображении (1) будут проходить через бесконечно удаленную точку. Угол между ними в бесконечности по определению равен углу между их образами Г ~ н Гз при отобрюхении И' = —. Поскольку 1 б 1. Дробно-линейные фуикпин и их свойства 85 Покажем, что любое дробно-линейное отображение мохсно получить в результате композинии нескольких отображений, каждое из которых является одним из четырех рассмотренных: азчЬ о Ь вЂ” —, и Ю = Ю4 (параллельный перенос); сл+д с ох 4-д с ю4= Ь вЂ” — = Ь вЂ” — юз (полобие и поворот); 1 1 (обратное отображение); гоз = сл -од юз (параллельный перенос); (подобие и поворот).
и, = сх 4- д = ю~ 4- с! ю,=сх А 4- В, ю + С, ю -(- Ри ю = О. Это уравнение вида (2) и, следовательно, является уравнением окружности на плоскости С. ы Чтобы сформулировать второе геометрическое свойство дробно-линейных отображений, авелем в рассмотрение понятие симметричных точек относительно окружности. Определение 1. Точки х их называются симметричными относительно окружности (конечного радиуса) на С, если они лежат на одном и том же луче, выходящем из центра окружности ло, а произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса В' данной окружности (рис.
30), Имеем агб(з — зо) = агб(х — ео) (в — хо((з — зо! = В, з Вз Вз Вз Х ХО= е !з — ла( (х зо!е * ы< -*о! л — ла Отсюда дз Х" = ЗО+ (3) х — хо В частности, при ло = О, В = ! получаем х' = -'. Определение 2. Точки я и л' назовем симметричными относительно прямой (т.е. окружности бесконечною радиуса), если оии лежат на одном и том же перпендикуляре к этой прямой, на одинаковом Расстоянии от иее, ио с разных сторон. Докажем основы~~ свойство симметричных точек, полностью характеризующее их. Итак, свойства, справедливые ши указанных четырех отображений, можно в ряде случаев перенести на общее дробно-линейное отображение. Таким образом получается, например, круговое свойство дробно-линейных огображеиий.
Теорема 1 ( к р у г о в о е с в о й от в о ) . Любое дробно линейное отображение преобразует каждую окружность иа С в окружность на С, где под окружностью на С понимаем всякую окружность или прямую на комплексной плоскости ° Для отображений поворота, подобия, параллель- у ного переноса круговое свойство очевидное. Докажем его справедливость для обратного отображения. 2' Каждую окружность на плоскости С можно задать уравнением Я А(х'+ у') + Вх М Су+ Р = О (1) дс Полагая з = х+ щ р = х — ьу, перепишем (!) в виде А ел + В, з + С л .4- Р = О, (2) где В~ —— 1~( — ьС), С| — — !(В -!-ОС). Чтобы получить уравнение образа окружности (2) при обрагном отображении, полагаем в (2) " = —.
По- лучим 86 Гл. 3. Элементарные фувкции в комплексной плоскости Теорема 2. Дая того чтобы точки г и г* были симметричными относительна округкности Г, необходимо и достаточно, чтобы любая окрузкность у на С, проходящая через них, была ортагональна Г. м Необходимость. Пусть точки г и з* симметричны относительно окружности Г н у — произвольная окружность, проходящая через з и з* (рис.31). д' Проведем через точку я, касательную к окружности у. По известной теореме квадрат длины отрезка этой касательной ~( — з, ~ равен произведению длины отрезка г Я секущей )л — за~ на длину его внешней части 1з — за), т.
е. l г л ~à — га~ = ~г — лайз' — габ Так как г и г" симметричны относительно Г, то ~à — га~ = В. Таким образом, отрезок уо касательной к Т является ралиусом окружности Г, т. е. Т ортогональна Г. Достаточность. Пусть точки г и л* имеют свойство: любая окружность Т, проходящая через них, орта- О Х гональна Г. Тогда. 1) точки з и х' лежат на одном луче с вершиной х,— а а.зг центром окружности Г. Это следует из того, что в качестве у можно взять прямую, которая долхсна быть ортогональной Г и, следовательно, проходит через центр за окружности Г.
2) |г — га~|з* — га~ = 1й — за~~ = )1', т. е. точки г и г* симметричны относительно Г. ° Из доказанного свойства симметричных точек вытекает, что в случае, когда окружность Г вырождается в прямую линию, симметрия относительно окружности превращается в обычную симметрию. Доказанная теорема предоставляет возможность дать другое определение симметричных точек.
Определение 3. Точки г и г" называются симметричными относительно ахрухспости Г на плоскости С, если любая окружность ~, щюходящая чв-их, ортогональна Г. Отображение в ьа з* называется инверсией. Теорема 3 (об ин вар нанти ости симметричных точек при дробно-линейном от обра же н ин ), Произвалагюв дробно линейное атобрагкелие переводит каждую пару точек г и з*, симметричных относительно некоторой окружности Г С С, в точки в и в", симметричные относительно окружности Г, являющейся образом окруанности Г при данном атибрагквнии. щ Проведем через точки в и в* произвольную окружность Т*. Ее прообраз.у в плоскости г, согласно теореме 2, оргогонален окружности Г. В связи с конформностью дробно-линейного отобрюкения окружности Т* и Г* ортогональные. Тогда, по теореме 2, точки в и в* симметричные относительно Г*.
> 1.3. Дробно-линейные нзоморфнзмы и ввтоморфнзмы. В формУлу, задающую дробно-линейное отобрюкение Е а.+Ь в =— ся+ д входит четыре комплексных параметра а, Ь, с, д. В действительности же, отображение (1) зависит от трех параметров, поскольку чисяитель и знаменатель (1) можно разделить на один из отличных от нуля параметров. Поэтому естественно ожидать, что посредством дробно-линейного преобразования три заданные точки единственным образом преобразуются в три заданные, Теорема 1.
Какими бы ни были три разных точки хг Е С, хг Е С, хз б С и три разных точки вг Е С, в, Е С, вз Е С, существует, и лритам единственное, такое дробно-линейное отображение Е, что б(зь) = вь (й = 1, 2, 3). м Существование: а) Пусть хь б С, вь Е С (й = 1, 2, 3). Рассмотрим дробно-линейное отображение, переводящее точки хг, хг, хз и вг, вг, вз соответственно в точки О, оо, 1 плоско- $1.
Дробно-линейные функции н нх свойства е — з, гз — лг в~ вз — вг , Е:С= ез — зз ' в — из, вз — из, ' Очевидно, что отображение б = бг ' о Г„являезся искомым, б: в = в(г), в(з„) = вь. Его можно найти из соотношения е — гз гз — хг ге — зез вз — вг (2) г — ег хз — гз в — изг вз — вз б) Если одна из точек зг или вз или одна точка г, н одна точка в, (з, 3 = 1, 2, 3) бесконечно удазенззая, то формула (2) остается в силе. В этом случае вишь требуется числитель и знаменатель дроби, где появляется эта точка (каждая точка л, и в, входит в (2) дважды: один раз в числитель, второй раз — в знаменатель), заметить елиницей, Например, пуать л, = в, = са, Тогда (2) примет вид з — а в = й —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
