Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Единичный крут отображается на себя так, что точка ае Ф 0 переходит в центр круга. Доказать, что при этом единичная полуокружность отображается на полуокружность тогда и только тогла, когда ее концы лежат на диаметре, проходящем через точку аа. м Отображение единичного круга на себя имеет внд в а — ао ю = е'— 1 Диаметр окружности з = (а е с: ф = 1), проходящий через точку аю переходит в диаметр окружности Т' = (ю Е С: 1гс~ = 1) согласно тому, что м(аа) = О, ге( — ' ! = оо. Итак, елиничная полуокружность, концы которой лежат на диаметре, проходящем через точку ап перейдет в полуокружность, поскольку ее концы также лежат на диаметре, Любой другой диаметр, не проходящий через точку ам будет отображаться на дугу окрухпчости конечного радиуса.
Таким образом, полуокружности с концами на этом диаметре уже не будут отображаться на полуокружностн. ° 16. Найти симметричный образ опюсительно окружности Т = (а Е С: ~а — 1~ = 1) линии Т' = (а Е С: ~г — 21 = 2) (окружности з'). < Преобразование симметрии относительно окружности з полностью определяется функцией ге = 1+ ' (см, формулу (3), и. 1.2), откуда г = 1+ =', . Поэтому нужно охарактеризовать те и только те точки, для которых ~1 Ч- =' — 2 = 2, или )ге-2! = 2(ы-1!. Это множество точек, отношение расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.
Оно является окружностью Апозшония относительно точек 1 и 2. М 5 2. Степенная функция ю=л" (иЕИ, и>2). Многозначная функция ю = Ф: и ее поверхность Римана 2.1. Степенная функция. Функция ю = з", а Е С (1) аналитическая в плоскости С, Поскольку "—, = пз" ' ~ 0 жа ~ О, то отображение, осуществляемое степенной функцией, конформное в каждой точке з Е С1(0). Пусть а = ге"', м = рею. Тогда (2) р = г", уэ = пр (уз = агд а). Из (2) видно, что отобрюкение (1) увеличивает в и раз углы с вершиной в точке а = О. Итак, отображение (1) не является конформным в точке а = О. Отображение (1) однозначное, но не взаимно однозначное, поскольку любые две точки а, Е С1(0), а, Е Сг(0) с одинаковыми модулями |а,) = |а,) и аргументами, отличающимися на целое кратное — '„ 2я агах~ — — агдхз+й —, й Е У, и переходят в одну точку м.
Следовательно, отображение (1) не является однолистным в С. Другими словами, вершины каждого правильного и-угольника с центром в начале координат переходят при отобрюкении в олпу точку на плоскости га. Область плоскости а, не содержащая никаких лвух разных вершин пРавильного и-угольннка с центром в точке х = О, является областью однолистности функции а '-' а".
Очевидно, что областью одиолистности будет любая область, целиком 92 Гл. 3. Элементарные фушщвн в комплексной плоскости лежащая внутри угла величиной — ' с центром в начале координат. В частности, внутренность любого угла 2я а<ы <а+ —, оей (3) является областью однолистности степенной функции и будет отображаться на всю плоскость вв с выброшенным лучом па б Агам. 2.2. Многозначная функция зд = ~Ук н ее поверхность Римана. С помощью лучей )в = а + й~„всю плоскость з можно разбить на и областей однолнстности степенной функции ((в = О, и — 1).
Пусть а = О. Тогда такими областями будут внутренности углов 2кя 2(а Е 1)к — < Зв < я = О, и — 1, (1) и и т. е. бесконечные секторы. Попьпаемся теперь построить такой геометрический образ, чтобы степенная функция (1), и.2.1, устанавливала взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между точками всей плоскости г и точками этого образа. Рассмотрим первый угол О < Р < — ',"'. Он отображается на всю плоскость и с выброшенной положительной полуосью.
В нее переходят два луча: )в = О и )в = — '„. Чтобы сберечь взаимную однозначность множества 2) = (в б С: О < )4 <+со, О < агах < — ') и плоскости ы, проведем на плоскости ы вдоль действительной положительной полуоси разрез и в соответствии с правилом обхода считаем, что луч Р = О переходит в верхний берег разреза, а луч )в = ~„— в нижний. Изготовляем и экземпляров плоскости ы с рюрезами вдоль положительной части действительной оси, являющихся образами бесконечных секторов, определяемых условиями (1), подкладываем их друг под друга и склеиваем так, чтобы сохранить непрерывность и взаимную однозначность соответствия.
Для этого нижний берег разреза первого листа склеиваем с верхним берегом второго (находящегося под ним) листа, нижний берег разреза второго листа с верхним берегом разреза третьего листа и т.д. и, наконец, нижний берег разреза и-го листа с верхним берегом разреза первого листа (рис. 32). Полученный геометрический образ называется поверхностью Римана функции з = (/и. Поверхность Римана наглядно помогает лучше понять природу отображения, совершаемого степенной функцией Выше отмечалось, что область плоскости х является областью однолистности функции х г" тогда и только тогда, когда она не содержит двух разных вершин правильного и-угольника с центром в точке в = О. Ясно, что область, содержащая точку з = О или х = ж, этому условию не удовлетворяет.
Заметим также, что эти точки являются неподвижными, т. к. О'* = О, (оо)" = оо. Пусть теперь 2)* — любая односвязная область плоскости ы, не содержащая точек О и со. В такой области можно определить и разных функций (однозначных), ддя каждой из которых функция гв = х" является обратной. Эти функции называются одлозлачныма ветвями многозначной функции х = 7/й. Пусть в = ге'г, и = де*~. Тогда г = 'ур, )в = —. Угол В определяется однозначно для каждой ветки и каждой точки из области 2)*, а именно, берем любую точку ыр б Р', фиксируем в ней какое-нибудь определенное значение В = Вв и в далы<ейшем считаем, что при непрерывном перемещении точек ы в Р" угол В изменяется непрерывно.
Поскольку область Т)* не содержит точки О и оо, то значение В для каждой точки множества 2)* „,—,. в будет однозначно определено и равенство з = ~у(вв(е' будет определять однозначную функцию в области 2)*. Если теперь положить для гвр б Р* В = Вв + 2гг, то получим другую ветвь, при В = В, + вк — третью ветвь и т.д.
Таким об~атом, фиксируя значение В в точке гвв разными способами, полагая В = Вв + 2ая (й = О, и — 1), получаем и функций, для кюкдой из которых 02. Степенная функция ю = х" (и Е И, и > 2). Многозначияя фуиквяя ю = .ъух 93 стеленная функция ю = г" является обратной, Объединение этих функций (однозначных ветвей) назовем многозначной функцией г = 7/и. Точка, при обходе которой в достаточно малой ее окрестности совершается переход от одной ветви многозначной функции к другой ее ветви, называется точкой разветвления этой многозначной функции, Причем, если после и-кратного обхода в одном и том же направлении опять возвращаемся на начальную ветвь, то говорят, что это точка разветвления (и — 1)-го норядка, в противном случае — бесконечного норлдка.
Точки разветвления конечного порядка называются алгебраическинн точками разоетеленил. Точки ю = 0 и ю = ж являются алгебраическими тачками разветвления (и — 1)-го порядка функции г = ъ/ю. В этих точках сама функция принимает по одному значению: ъ'0 = О, ъ/ж = сс. На поверхности Римана они будут концевыми точкалги разрезов, общими для всех листов. Кюкдая ветвь функции г = 7/ю является аналитической в области Р* с производной 1/ю — ъ'ю = — ф О.
дю пю Таким образом, отабражени, осуществляемое каждой ветвью, конфорлное в любой области Р' (О й Р' и ж й Р'). Рассмотрим примеры. 17. Найти образы следующих областей при отображении ю = г'. а) внутренности правой ветви гипербояы х' — у = а; г 2 2, б) области, ограниченной правой ветвью гиперболы х — у' = 1 и лучами агйг = х 4 1 в) полуплоскости Р = (г Е С:!ш г > с; с = сопи > 0). Ч а) правая ветвь гиперболы переходит в прямую и = а . Принимая во внимание, что г х > О, по правилу обхода устанавливаем, что внутренность правой ветви гиперболы переходит в полуплоскость (г = (ю Е С: йею > а ).
б) Лучи агдг = хд являются асимптотами гипербояы х' — у = 1. При отображении ю = гг Т лучи переходят в мнимую ось, а правая ветвь гиперболы х' — у' = 1 — в прямую Кею = 1 Образом заданной области является полоса М = (ю Е С: 0 < )(ею < 1). в) При у = с имеем и = х — с, о = 2сх, х Е !(.
Исключив х, находим: и = -"-, — с'. 2 2 Принимая во внимание, что с > О, по правилу обхода устанавливаем: образом полуплоскости Р з является внешность параболы и = — ', — с (т.е. область, ограниченная этой параболой и такая, что ей не принадлежит фокус параболы). м 18. Построить конформное отображение области, ограниченной двумя параболами у' = 4(х -1-1), у = 8(х+ 2) на полосу М = (ю Е С: 0 < йе ю < 1). м Образом прямых 1шИ' = с в пяоскости г = И' являются параболы у = 4с (х+ с ) 2 з (см. предыдущий пример). Следовательно, функция Иг =,/г (/1 = 1) отображлет заданную область на полосу М' = (И' Е С: 1 < !га И' < 2). С помощью отображения ю = -(ъ2+ Ц((И'-ь1) полоса М' перейдет в полосу М. Окончательно имеем ю = — (ъ'2-1- 1)((ч/г 4 1). М 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
