Антидемидович 4 - ТФКП (1113365), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Эту связь устанавливает следующее утвержление. Теорема (критерий дифференцируе мости функции з г С вЂ” ( С). Пусть функция у ( С С, где )" (г) = и(х, у) + (и(х, у), определена в некоторой окрестности точки га — — ха + гуа. Для дифференцируемости функции З в точке га необходимо и достаточно, чтобы фу(кции и и и были Кг-дифферепцируемы в точке (ха, уа) и чтобы их часпи(ые производные в этой точке быаи связаны соотношениями 68 Гл. 2. Комплексные чисиа н функции комплексного переменного Умножив обе части равенства (4) на» и складывая полученное с равенством (3), находим: *»С*„*)=* ( „ы мшм, )=Ч* ш~е Вчьа — * )+\»)чье * '. (П Поскольку йхх+ ( йгу = йглг г сгх — йгу = » сгл, то равенство (5) принимает вид 2уУ(ло, йгл) = (А+ »В) йгл ф о()гул)), (6) Слелаем несколько замечаний.
1. В процессе доказательства теоремы уст»натела связь ме:елу производной У'(») и частными произ- водныьги действительной и мнимой частей функции У в виде дн ,де ди ди де ди де де У (л) = — 1-г — = — — г — = — — г — = — +г —. дх дх дх ду ду ду ду дх 2. Из курса математического анализа известно, что лля Н -лифференцируемости функций и н е достаточно существования и непрерывности частных производных —, —, —,, —.' в некоторой окрестности а а а а .
а аэ а« оэ точки Поэтому для дифференцируемости функции У = и ф ге в точке л =- (х, у) достаточно, чтобы частные производные †"-, Г ' , — Г-'-а'-, †à †'"1 сушествоыли в некоторой окрестности точки (х, у), были непрерывны в ней и удовлетворяли условияи Коши †Рима, 3. Введем в рассмотрение дифференциальные операторы — и —, полагая а а а. иг (7) Тогда условия Коши — Римана »ложно записать как олно коьгштексное равенство дУ вЂ” = О. д» Если и и е — й -дифференцируемые в точке (хо, уо), то 2 С»У(»о, йл) = гз» х Льл -1- о()»Ъ»)). дУ(»о) дУ(»о) дл дл (10) полагая в (10) гхг = )гул(с', получим »»У(»о, га») дУ(ло) дУ(»о),зе Ь» дл д» е -1- о(!Ьл/).
Из соотношения (11) слелует, что предел отношения — при гхл — 0 существует тогда н только тогла, су с* когда ."" =О. а ц,.г 4.4. Анпднтпчеснне функцнн. Определенме 1. Функция и = У(л), определенная в некоторой области С С С, называется аналитической в С или голоморфной, если Чл Е С она дифференцируема.
Определеиме 2. Функция ш = У(л) называется аналитической в точке л Е С, если она аналитическая в некоторой окрестности этой точки. Определение 3. Функция ш = У(л) называется аналитической на кривой Т С С если она аналитическая в некоторой области, содержащей эту кривую. Определенме 4. Функция ш = У(л) называется аналитической на открытом мнохсестве Е С С, если они аналитическая в каждой точке л Е В.
Определение 5. Функция ш = У(л) называется аналитическои" на произвольном но ж естес М С С, если она аналитическая на некотором открытом мнозкестве В Э йл т. е. функция У С-дифференцируема в точке ло. н Соотношения (1) впервые изучались еще в ХЧ1П столетии Д'Аламбером и Эйлером, поэтому их следовало бы называть условиями Эйлера — Д'Аламбера — Коши — Римана. в4. Дифференцируемые и аналитические функции. С- н К -дифферевцируемость бр Р„(г) = аоз" Ч- а)з" ' + ...
+ о„ )з -)-о„. Рациональная функция Р„(з) аоз" + а,з" '-1- ... -1- о„ ,з + а„ Х(г)— Гь) (з) Ьоз -)- Ь,з ' -1- ... + Ь,„ )л -1- Ь,„ аналитическая в каждой области б, не содержащей нулей знаменателя. 3) Если / б А(б) и )гх б б )у'(з)( ~ О, то на множестве Ег —— /(б) определено функция У являю)квася ана)итической. При этом, если юо = Т(зо), то (у ) (г«о) = —, у г»о) м Обратимость отображения ю = и+ г«означает„что уравнения и = и(х, у), « = «(х, у) можно разрешить относительно х, у в области б.
Поскольку функция У аналитическая в области б, то )Гго = (хо, уо) б б выполняются условия Коши — Римана (1), п.4.3, вследствие которых якобиан ди(хо, Уо) дх д«(хо, уо) ди(хо, уо) ди(хо уо) ) ( д«(хо уо) Р(и, «) (хо Уо) = ду д«(хо, уо) ди(хо, Уо) .д«(хо, Уо) г г = ~У (хо)( дх дх о чный от нуля в точке со, поскольку Чз б б 1/ (з)(,е О. По теореме о неявной функции пг то)ки г«(ио «о) с)чцестьует Т '(г«) Сушестжшанне н непрерь'в ность производной (Т ')' доказываются так же, как в теореме 7, п.4.1.
> 4) Пусть и — денствительная часть функции У б А(б). Тогда мнимая часть «этой функции определяется с точностью оо аддитивной постоянной. Действительно, в силу условий Коши — Римана, по известной функции и однозначно определяется полный дифференциал неизвесгной функции «: д«д«ди да й« = — йх+ — йу = — — йх+ — йу. дх ду ду де Это позволяет восстановить функцию «по известной формуле г «) «(х, у) = ~ — ' 44 + ' гй) + С. дц дб г о оо) 5) Пусть Т б А(б), г' = и+ г«, и(х, у) = С, «(х, у) = С вЂ” линии уровней функций и н «. Вычислим Уе = (х, у) б б йгайи и бхай«: бхай и = <ф, в",), йгаб« = <ф, о,".) .
Считая пространство )й евклндовым, получим, принимав во внимание условия Коши — Римана: г ди д« ди д« ди ди ди ди (ахай и, утай «) — — — +— + О. дх дх ду ду дх ду ду дх В частности, функция ю = у(з) называется аналитической в замкнутой ойоасти сг, если она аналитическая в некоторой области Р З б. Понятие аналитической функции можно распространить и на области из С, если дать соответствующее определение аналитичности в бесконечно удаленной точке. Определение б. Функция Т', определенная в расширенной комплсксной плоскости С, называется анилитической на бесконечности, если функция о): з г г <-) аналитическояв точке г = О. г)) Отметим некоторые свойства аналитических функций.
1) Сумии, разность, произведение и частное (при условии, что делитель ф О) двух аналитических функций также являются аналитическими функциями. Отсюда следует, гго множество функций (Т), иналитических в области б, образует кольцо. Обозначим его символом А(б). 2) Композиция ( о у аналитических функций есть аналитическая функция.
Свойства 1) и 2) следуют нз теорем о дифференцируемых функциях, рассмотренных в п.4.1. Примером функции, аналитической в любой области б С С, служит произвольный много- член Гл. 2. Комплексные числа и фупкцпм комплексного переменного Так как вектор-градиент функции ортогонален ее линии уровня, то семейства кривых п(х, у) = С и «(х, у) = С взвиыло ортогоивлолы. 4.5. Геометричесвмй смысл производной функции комплексного переменного.
Понятие конформиого отображения. Пусть у Е А(С) и за Е С вЂ” произвольная точка. Проведем через нее гладкую жорданову кривую 7 С С. Функция у отображает область С комплексной плоскости з на некоторую область Р комплексной плоскости в. Пусть во —— у(за), 7' — образ кривой 7 при отображении / н ва Е '7 (рнс. 28). гва. 28 Если подвижная точка з стремится к зо по кривой 7, то ее образ в стремится к ва = у(за) по кривой 7*. Предполомсим, чзо Т'(хо) Р О.
)огла У'(за) = [У'(за)[е', а = ага У'(зо). Полагая 2гг = з — зо = 7зге'«, сьв = 2ьре'о, имеем з~р [У'(зо)[ = )пл — , агя У (зо) = 1!гп ( — уа) (1) ь.-а сьг ь.-о ПуетЬ ор — ПараМЕтрИЧЕСКОЕ ПрЕЛСГаВЛЕННЕ ГЛааКОй КрИВОй 7. ТОГда КОМПОЗИцИя рай яВЛяЕтсл параметрическим представлением гладкой кривой 7'. По теореме о производной композиции лифференцнруемых функций в точке !а, в которой р((о) = за„получаем (у ° у))'(!а) = Т (зо) р'(! ) ~ 0. (2) Следовательно, (о~(!а) ~ О. Обозначим через Зоо и Во углы наклона к осям Ох н О'и касательных к кривым 7 и Г" соответственно в точках зо и во — — У(за). Тогда Зоо —— 1пп уо, Во — — !цп В и ь,-а ь* а второе соотношение в (1) примет вид агя з (зо) = Во — ~Ро (3) Таким образом, угол, на который поворачивается кривая у в точке зо Е С прн отображении в = У, не зависит от вида и направления 7.
Считаем, что направления осей Ох и О'и, Оу и О «совпадают, и под углом поворота понимаем угол межлу первоначальным н отображенным направлениями. Из равенства (3) следует, что а = агя у (зо) равен углу поворота в точке зо при отображении в = у(з). Итак, отобрюкение у имеет свойство сохранения углов; угол между двумя произвольными гладкими кривыми в точке зо равен углу межлу их образами в точке в, = у(з ), ПУсть а = аР(!) Е 7. Вследствие глашсости кРивых 7 и 7' величины [2ьз[ и [зов[ пРи ! - !а бЕСКОНЕЧНО МаЛЫЕ И ЭКВИВатЕНтНЫЕ СООтВЕтСтВЕННО ЛпииаМ оьо И хьо" Лут 7 Н 7*, ОтВЕЧаЮщИХ сегменту [й !а).
Позтому соотношение бш — = [У (ао)[ [2!в[ ь -о [оьз[ б 4. Дифференцируемые и аналитические функции. С- и е(з -днфференцируемость 7 ( можно записать в виде 2хв' йв" Ч (го)( = 1)гп (4) л-лл лЗв йэ Следовательно, с геометрической точки зрения (У'(ге)( есть коэффициент растяжения дуги у в точке ге при отображении >'. Поскольку у — произвольная гладкая кривая, то все дуги растягиваются одинаково в точке ге. Поэтому отображение г имеет в точке ге так называемое круговое свойство: оно отображае.г малые окружности с центром в точке ге в кривые с центром в точке ве —— >'(ге), которые отличаются от окружностей на бесконечно малые высшего порядка. Заметим также, что круговое свойство остается в силе и в случае, когда у'(гь) = О, однако принимает вырожденную форму: тогда коэффициент растяжения равен нулю.
Определение 1. Отображение > называется каа4ормиым а тачке г, 6 С, еюи аиалокальио юмгомор4нас е этой точке и имеет а вей геайгтао сохранения углов. Из геометрической интерпретации аргумента производной >' следует, что отображение, осушествляемое аналитической функцией, конформное в каждой точке г 6 С, в которой > (з) 4 О. Определение 2. Если отображение >': С вЂ” л С кои4ормиое а каждой точке области С, та она аазыеается каи4армиыи а этой области. Преимущественно понятие конформного отображения включает в себя гомеоморфизм области С (см. и. 6.6, гл. 1). Замечание 1. При конформном отображении углы сохраняются не только ло величине. но н по направлению озсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
