Т.В. Казакова, М.В. Щеглова - Высшая математика (1113356), страница 3
Текст из файла (страница 3)
à — 22»; ) В!Пах Г 81п' л 229.' ~ — Нх; ~ соУх 230. ) 16 »ах; 23! . 232. ! 1'+ 3соУх Г . Ас 2ЗЗ. à — —; .) 5+Зсовх 234. 3 з!п х+ 4 сов х 235, Г ! 3 + созх 236. ~ 163 »ИХ; ва 237 2 в1и х + в!п 2х ' 238 1 Ф совХ .! !а „ 239. дх 8!и х — сов х 240. 81и х+ сов х 241. ! 2 38!пах+ 5совах 242. 1 8!пах+381пхсовх — СОУх 243. ! 8!из х — 5з!п х ° сов х ' 244. 1 8 — 4 в1пх+ 7 сов х ' 245. (в!пх+ сов»)' 246. Г (Ь Ф О); ,) Ь'+ сов'х Г соУх 247.
~ — е(х; в!п х 248. — дх; Г в!и 2х' ,) соУх е'"+ 1 222. 22. у х' — 1, х - 2, у = О, где х > 1; 23. у=в!пЗх, у=О, где 0<х< —; и 3 и 24. у = Мп х, у = з!п'х, где О < х <— 2 ' 26. у хз, у = х; Я . 26.
у=агсв!п2х, х=О, у= — —; 2 и ' и л 27. у=в!п2х, у=1, х= —,где — <х<- —; 2 4 . 2 28. хз — уз=1, х=2, 29. у хз/у= — 1, х О; / х е 1/— 30. у= — !ее+е з/; х 1, х= — 1, у=О; 2 ~ 31. у=х(3 — х); у=х — 3; 32. у=Зх — хз, у=хе — х; ' ЗЗ. ху=5, х+у=б; 34.
ху= — '2, у=х — 3; 36. ху 4, х=4, у=4, х=О, у=О; .36. кардиоидой р=а(1+ сов ~р); 37. р=асоз29; 38. р=а в!и Зр; 39. р=2+з1п З~р; 40. р=аее, где О<~ра..2ак ., 41. р=аз(пЗ~р; 42. р=а сов Зф; 43. одной аркой циклоиды х = а(! — з!и 1), у = а(1 — сов 1), О<6 2п и осью ОХ; 44.
р=асоз4~р; 4о. р аз!п4~р. 46. Вычислить площади фигур„изображенных на рис. (! — 6). 8"- УИ Вычислить объемы'тел, образованных вращением фигуры; огра'яиченной линиями: 47. у=4 — хз, у О, х=О, где х ) 0 вокруг; 1) оси х, 2) оси у; 48. у=х — х', у=О вокруг каждой из следующих прямых; ! 1) у=О, 2) х=О, 3) х=2, 4) х= — 2, 5) у= — 1, 6) у=2; ~ 49. у=е*, х=О, х= 1, у=О вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 50. у=хе. у=4, х=О, где х ) О вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 51.
у=х'+ 1, у=О, х= 1, х=2 вокруг: !) оси х, 2) осн у; 52. у=ха, у= 1, х=О вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 53. — + — = 1, у = О, где у > О вокруг оси х; х' 54. у=!пх, у=О, х=е вокруг каждой из, следующих прямых: !) у=О, 2) х=О, 3) у= — 1, 4) х= 1, 5) х. — 1, 6) у * 1; 55. у = з)их; у = О, где 0(х~п вокруг каждой из следующих прямых: 1) у=О, 2) х=О, 3) х=2п, 4) х= — 1, 5) х = — 2, 6) у=1, 7) у= — 2; 56., хз — уз=4, у=2, у=О вокруг оси х;, '57. у =х,' у =.хт вокруг: 1) оси х, 2) осн у 58.
у = сов 2х, у=О, х-О, где О х( — вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 59. у=з!пх, у=О, где 2и~ х~~Зп вокруг каждой из следующих прямых: 1) у=О, 2) х=О, 3) х=н, 4) у= — 2; 60. 'у = 2х — хз, у = О 'вокруг каждой из следующих прямых: 1) 'х=О, 2) у О, 3) х= — 1, 4) у=1; 4 61. у — , х= 1, х=4, у.=О вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 'х 1, 62. у= — ', х=1, х — 1, у О вокру!' 1).оси х, 2) оси у.
1+ х' .Вычислить длину дуги, кривой: 63. у'=х', отсеченно!) прямой х=1; 39 И' 64. у 1п соз х, отсеченной прямыми х=О, х= —; 6 66. у' (х+1)з, отсеченной прямой х=4; 4 66. уз= — (2 — х)з, отсеченной прямой х= — 1; 9 к к а .67. у = — (е" +е ') между осью у и прямой х =а; 2 68. у =х' — 1, отсеченной осью х и 26 69.
у= 1пз1пх от х = — до х = — ' 3 3 70. астроиды х = асоР 6 у = а в1пз! 71. одной арки циклоиды х=а(! — з(п 1), у = а(1 — сов !); О~Г<2п; 72. кардиоиды г = 4(1 — соз ~р); 73. первого завитка спирали г - ау, 0(~р(2п;. х* 1 74. у — — — 1пх от х 1 до х=е.. 4 2 — -76. Найти статические моменты относительно осей х и.
у, одно, родных пластинок, имеющих форму, указанную-на рис. 7 — 12' Масса пластинок и. 1 76. Найти координаты центров тяжести однородных площадок ограниченных линкями: а) у=О, у=сов2х, х=О, где 0<х< —; 4 Л и Д 6) у=О, х= —, у в)пбх, где — ~х < —; 6 6 3 в) у=О,' х=,я,,у= в)п- —, где 0<хала. 2 77.
Найти координаты центров тяжести однородных пластинок! имеющих формы, указанные на рис. 7 — 12. 78. - Найти координаты центра тяжести однородного прямого кру-,' гового конуса. Высота конуса Ь, радиус основания Я. 44з 1 79.
80. Найти координаты центра тяжести однородного полушар Радиус шара 77. 81 83 84 86. 86. 88 ь В задаче 89 (рнс. 18) обозначить а — 3 П а =Л . 90 91 Найти 'координаты нентра тяжести однородной пластинк имеющей форму полукруга. Радиус круга !7.
' Найти координаты центра тяжести однородной полусфер Радиус сферы 1т. Найти координаты центра тяжести однооодного тела, пол ченного вращением площадки, ограниченной линиями у =9 — хз, у=0, где х)0, вокруг оси Ьч Найти координаты центров тяжести однородных тел, пол ченных вращением площадок, изображенных на рис. 8, 10, ! 1 13, 16 (Ь=2, с=а= !), 17 (с=2, Ь= 1), вокруг оси у и, н' рис. 19, вокруг оси х.
Найти моменты инерции однородных пластинок, изображе ных на рис. 18, 12, относительно оси х; на рис. 20 — относ тельно оси АС; на рис. 14 — относительно оси у. Массы пластинок гп. Найти момент инерции однородного кругового цилиндра носительно его оси. Масса цилиндра гл, радиус основания Найти момент инерции однородного шара относительно ег диаметра. Радиус шара !7.
Масса шара и. Найти момент инерции однородной сферы относительно 'е диаметра. Масса поверхности сферы лз, радиус.зс Найти момент инерции однородного прямого кругового ко нуса относительно его высоты. Масса тела и, радиус осно вания 1т'. Найти моменты инерции относительно оси у однородных тел полученных вращением вокруг оси у площадок, указанны на рнс. 10 — 14, 15 (а=с=1, Ь=2), 17,!8з. Найти момент. инерции однородной боковой поверхности пря" мого кругового конуса относительно его высоты. Масса бо козой поверхности лз, радиус основания 77. Вычислить работу, которую надо затратить на выкачивани воды из резервуара, имеющего форму: а) полушара. Радиус шара 77! б) прямого кругового конуса.
Радиус основания конуса высота Н; с) прямого кругового цилиндра..Радиус основания цили ра )т, высота Н. Вес жидкости в каждом резервуаре равен Р '. 92. Под поршнем. под давлением Р, в цилиндре находится г объемом «о. Вычислить работу, которую надо затратить дл уменьшения объема газа в 2, раза при постоянной темп ратуре. 3: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Вычислить: ь В задаче 9! в пунктах в] н б) разобрать два случая ! 2 3 4 $ 6 Ч 8 9 е-х!1». о +" ь Ъ- !1» ' е х' — 4х агсс19 хдх; о 1 з!ц х с1»; о о хе"с!»; о ' с)х .) тУ9 — х' 19.
~ 1п» т)х; о 1 11, ~ 1и'х 0х; о н. а 12. ~ с19 х с)х! о о о в 15, ( ~~ «(4= )т о т)х 17. о 1В. ~ е-' з!и х Нх о Вычислить площадь, заключенную между локоном 1 1+ х' и асимптотой этой кривой. Вычислить площадь, заключенную между кривой у=хе РЯДЫ 9. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ следующих бесконечно малых относитель- Определить порядки а(х) = х при х — «-0 1. х з!п Зх.
2. х' соз х' 11. (2" — 1) 1п(1+а!и бх); 12. (еи — 1)!п(е'+ 1)) 13: (3 ' — 1)!и соз 2х', з— х 14. т'1+ х — 1 — — ' 3 3. Ат! и (1+ 2х) х' 4. — агсз!и х. х'+ 1 16. е-" — ' 3/ 1 — х' 16. з!п х' — соз х+ е"; 6. — агс16 х; Мх' 1+ х 17. 1п(1+Зх) — Зх) 18. з!и'х — 1п (1+х'). Ь 3 ! 9. !~! + хз — ~1 — хт— — сов х + 2"' ' 20. !/1+ 1и'(1+ х') — соз х'; 21. е хв — !' — хз. 22. !пт(1+х) — и" + 1; 6.
Ф1+х — 1)ы сових; 7. 1п —; 1+х, 1 — х 8. У»,' 1 1+ 2х 1 — Зх 9. 1Ех' — з(их' (1'1+х — 1) !6 —,т 45 и ее асимптотой (при х ) О). 1. Найти объем тела, образованного 'вращением вокруг оси у площади„ заключенной между линиями ху 2, у=1, х О. 2. Определить объем тела, образованного вращением кривой Е р хе ' (при х)0) вокруг ее асимптоты. 23. з!пз х ° 1п — ° х+1 Зх+1г 24. (т' 1 — 2х — 1)'зз ° агс1а х. т Определить порядки следующих 1 ио — при и — + +со: и' 27. л'+ л 23 23. з~л+ 1 и гй+ 1 30.
~~ — ° з1п — ' зг и из+1 и агс!8 л л'+ 1 32. =)р 1 л+1 г'й 'и — Г 33. — 1п —— 1 'Зи — 2 льз Зл+ 1 34. агс1ал 1п — . и+5 и — 4~ 35. (т'л+ 1- — г и) агс18 л ~~ ! 1 ~ ~з 36. 2" — 2+2 " ) 37, — — 1и —; 1 з л+1. ',г„— л 38. е — 1+— 39. 'Ул+ 2 — 2~/и+ 1+ )lл' 1~ 1 40. '!п(! + — ! — з!п — 1 и') л' 1 (и 1 41. — 1п 18 ! — + — ! и" ч Мй) 26. (5' — 3 ) ° (сов 5х — ' соз Зх)' 26. 1п — + Зх 1 — Зх. .1+ х' бесконечно малых относитель 10.
ЧИСЛОВЪ|Е РЯДЫ Доказать непосредственно сходимость рядов и найти их суммы: 1+4+дз+4~ +...,!4 ~ (1; 1 1 1 1 ° 2 23 34 2. 1 — — + — — +.... 3 9 27 ' г ' 1 1 1 б. — +— 1 ° 4 25 36 3. 1+ —,' +,1 + 1 1 ~/2 у~4 6. 123 234 1 1 +.1 — + + — +...; з'8 м 34'5 „,(и+ 1)'1 Е— " 1пп. в т и! 40.
е'а!», Š— ' 'а'+ 1 ~ !ив „! . и' 41. л=! Зо 43. 32. Зп+ 1 1 п в=! зз леи 47. п1ее- Уй Е 37. 48. ~ ане ~"; зв. а — ' " !па',, «=и 50 89. . З4 зв ~ (3" — 1~ и!и —; а+1 T 1п 2п+5 ~~ ~~а(! и1). 1 агсе!и— п ~~~~! '(~'а + 1 — у~а в Применить формулу Стерлинги " !' Е1, и — 2+а а>0, а+1! с 44. ~)~ ()/а ~. 1— 1 -у'а)" агс( —; а 4В.. ~;~ "+,); 1 1 %' = агссов —,' ~~! .т'й а " 2'5 8; (За-1),, „'~~! 2 7 12 (вп-3)т!! и! = У 2наиил.всв, ГДЕ дв ! НРН Исследовать на абсолютную ряды: и условную сходимость следую с,л — 1)л+'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
