Т.В. Казакова, М.В. Щеглова - Высшая математика (1113356), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Лл иа > л-! ° 83. ( — 1)л !пи (= 1)"+' У' й Е= — > и+2 85. 77 .8 ~( — 1)"(п — ') ° лпг >/йг(И+1) . 86 ( 1)л+1 1лп ! лп! и !'и= 87 79. ( 1)л+! Š— =' ",'й 81 ( — 1)л+'и'Ое л ! 82. г!. ФУНКНИОНЛЛЬНЫЕ гпЯДЫ Определить область сходимостн следу!они!я фуннциональя рядов: п О ~ 5лх« ° лп11 х" л-О 1)( ) ~ ( 1)л+! Зи +'2 ( Цл+! „"и! 1000и+ 1 ' ( — 1)" 1и и > лпг И Е, -( — 17. „, п1п'п Š—,— .( 1)л+! 2п — ягс!8 и (и — 1)' плп ( 1)п+! п'+ ! 2~(- ')"" - —., > лп! )' (--1): -— !пи ппг >1 УП 3.
~' (ах!", а '- О> с ( !! л:. Г и!е м я а 1 н=! 1В. ~~!' (и + 1)'х" а=о и 3нк 2е ~Х!! и(х+1)" ' х" ~~!' 1и" х' нь! 20.' 21. Е,— Хн у'й — 1пи " (х — 1)", ~ и1х"„' а=! $2 2б. изх" 26. спзих иа 27. ,",'~ х(х+ и) )", ~~3 ( 1)н н=з з и(и+ 11 ~"., ( — 1)"+'~ 2+ Зх )", ( — 1)" ! +хто „- ,„ „ (, †,„) !5: „,1 — х" ' Использовать формулу Стнрлинга !!'! ннтервала саолймостн. ( — 1)" 1+х ", ~Х~аи — 1пи (1 — х~ лля нсслеаованнн сзолнностн на кон- ~г' 18 —, а) 1г' а=о 38. хо „э 1пл ~~' х" в!п —, а)!' =о —, а)1' о=о 37 „'~~о л+5 30. 38 ~Г ,,л 10' й'о ( 'л+ 1У 39. ~, 'е 'х"> а о хо' 1 о=о 2 34.
'Исследовать. последовательностн н ряды на равномерную.сх димость в указанных промежутках: 43. 44. )„(х) =х" — х'" а) Ом х<1; б) 0<х<1 в) Оя,=х<д, 4<1. о Испольэовать формулу Стнрлннга лля нссладоваяня слоднмостя нэ . яах яяторвала сходнмостн, вэ 32. 33. 46 47 48 ~„'— х"; " (2л)!! л! л=ь 1„(х) =х"; а) 0<д~ф, 4<1; 1„(х) = у'х;,а) д х<1, а>0; )'„(х) =х" — х"+', 0<х~! '1„(х) =хо — ха", Ом х<1. ~„(х) =хая — хэо 0<хо 1. у„(х) = —, 0 <х~+оэ. 1 х+л б) 0<х~,1. б) 0 ~х<1; в) 0<х< 'р, 'х"; а) —, д ( х ( у, 0 (д < 1; 6)' — 1 < х (:1; л=о 61.
~)' х(1 — х)", О < х < 1 ° л=о ~~!' (хл — хл+'), 0<х< 1' л=о '63. (2 — х) ( — ),.О <х(2; л=о ~2 т 0,<х(+ со; (1+ х)" "-, т,хл х"+' х — — 1. — 1<х .'1; „„~п и+1 66 67 Я (хл — х'" — хль'+хзл+з), 0<х<1 ° лл! 73 а пх л о — о(Х<+ оо '74. ~, — со(х(+ сс!' л=! 71.. ~ —, — ! <х< 11 хл ~! и )~й ' 72.
1 „, ха+ па — со(Х(+ со„' л другими слоаами — доказать Зл 73. ~ —, 0(хс, + оз) , х+е" правильную сходимость. 69. ~' з)п (2п+ 1)х х ° з1п э --(х(+-) п(п+ 1) 'п(п+ 1), Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих Функциональных рядов в указанных про.
межутнах *: 70. ~" х" 0<х<д, с)<1! 80. ~ х'в ", 0<«<+со; в=в 76 1 Е,З„,+ О~:х(+ со,' , 1 + ивхв 0<«.(+ оо. 77. 1 Е,2 +.х 0 «(-» ( + со ' 1 + и'хв — со (х (+ 83. ~ агс16 '2х хв+ив ' — со (Х(+ оо Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти суммы рядов: х' х' х' 84. х+ — + — + — +... ' 2 3 4 хв хв хв хв .88. — — — '+ — — — +;.. ' 2 4 6' '8 хв х' х' 89. х — ' — + — — — +...; 3, 5 Р х' х' х' 85. х — — + — — — + ... ' 2 3 4 Хв «ь «7 86, х+ — + — + — +...; 3 5 7 х' х' х' хв 87. — + —.+ — + — +- ' 2 4. 6 8' 1В. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Написать разложения следующих функций в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости: ев е-в 1.
вох = 2 2. сох = 2 66 ~р агсс16 их ~", ив+ 1 — со (х(+ сов „, и Уи+7 — со ( х(+ со' 90. 1+ 2х+ Зхв+ 4хв+ ° '; 91. 1 — Зхв+ 5х' — "7хв+ " " 92. 1 — 2х+ Зх~ 4хв+ 93. 1+ 3«в+5«в'+7хв+ "; 3. а*; а)0, аФ.1; 4. х'е-в" . 1 5. в1п хв; 6. в!пв х 7. соФох 8. а!по х 1 9. ° 1 — х' 1О.
— 1 1 1+хо " 11. 1+2х ' 12. 3 4 — х 13. 1 3+ 2х' 14. 1 2+Эхо ' 16. 5х — 1 -хо — 5х+ 6 2х+ 3 хо — 4х+ 3 17, х — 7 6 — х — хо. 18. 1п(1 — х'); 19. !п а ф' 1 — х' !п1+ 3» 1 — Зх 21. !п(1+5х); 22. !и (5+ 2х); 23, !и (1+ 2х'); ' 24. !и — ' 2х+ 1 Зх+ 1 25. !и (хо — 5х+ 4); 56 26. 1п(хо — !Ох+9); 27.
1п(6+х — хо) ' 28. 1п(1 — х+хо); 29. !п(1+х+хо) „' 30. У1+х'; б 31. !'1+ х4 з 32, г'27 -1- х; 1 33. 34. з~9+Р 35. х агсв)п х; 36. хо агс!д х; 37. агс13 — ; х 2 38. ага в1п Зх; 39. 1п (Зх+ гТ+ 9х'),' 49.. ! — (х; Р в)пх о ' ~гс1цх „ х; х о к Ре" — 1 42. ~ пх„' х о Г! и(1+ х),„ х о 47. Ух по степеням х — 4,' 48. т'х по степеням х+1' 49.
1 по степеням х + 3' 2 — х — хз 60. по степеням х+ 4' 1 хз+ Зк+ 2 51. 1пх по степеням х — 1.; и 52. в1пЗх по степеням х+ — ' 3 53. в1п — по степеням х — 2' пк 54. в1п — по степеням х — 1. пх 3 разложениями, вычислить с точ. Пользуясь соответствующими костью до 0,001; з 56. «'ГО; 66. Ме; з 57. У 30; 2 Г з1п 59. с1х1 ! 60. з-'* Из. 58. в1п 18'; 13. РЯДЫ ФУРЬЕ В задачах этого параграфа требуется разложить каждую из заданных функций в ряд Фурье Р1к1 = — +Х ~""в — +"»" — ) а, , " 7 лпх ' ллхз 57 Написать разложения следующих функций в ряд Тейлора и найтя интервалы сходимости: 44.
хз — х по степеням х+1; 46. е*,ио степеням х+2; 1 46. — по степеням х+3; к где а„= — ) ) (х) спв — Нх (а = О, 1, 2...;) 1 !" лаях С ° "' с Ь«= — ~ С(х) з1п — с(х (и = 1, 2, 3,. ). 1 !" ллх С,) 'С ! В каждой из задач'указано, какое С требуется взять. Разложить в ряд Фурье при С=л следующие функции: 1. С(х) =з1п'х; 3. 7(х) =з(п' х; 2. С(х)'= созе х; 4 )(х) ' соз4х Разложить в ряд Фурье при С=л в.указанных' интервалах слз дующие функции: б.
С1х) =х, — л<х<л» 6. С(х) = ~х~, — л<х<л.. Применив найденное разложение, вычислить сумму ряда 1 (2а — 1)з 7.. С~х) =здп х, — л<х<л. Применив найденное разложение, вычнслить сумму ряда - ( — 1)+ «=! л — х 8. ~(х) = —, 0(х < 2л; 2 О, — л(х<0! 1, 0(х(л; 10. С(х) = х, 0(х<л; 11. ~(х)= =( — — л(х«~ » О, 0(х(л; 12.
С(х)=х»,. — »т(х<'»т! Применив наиде« « разложение, вычислить суммы рядов ( 1)«с»! ««!лл «1 лю 13. Разложить в ряд Фурье при 1=2 следующие функции: 3, О <х<2г О, 2<х(4; б) П„) ' О, 0(х<2г — 2, 2 <х(4. Следующие периодические функции разложить в ряд Фурье', взяв 1, равное половине наименьшего положительного периода соответствующих функций: 14, )(х) = вяп в(п х; 15.
7(х) ! в!п х ~; ! 7. 7(х) =вЯп сов х) 18. ! (х) = ! сов х ~ . 18. )(х) х — (х!. Разложить в ряд Фурье, считая 1=п, следующие функции: з) по косинусам кратных дуг, б) по синусам кратных дуг: 19. 7(х) = — — х, 0(х <и; 2 20. )'(х) = и — х, О < х(п; 21. ~(х) ='сов —, 0 <х(п; 2 22 ~(х) = з!п —, 0(х<я... 2 23. Разложить в ряд Фурье, считая 1= 1: а) по косинусам крат- ных дуг, б) по синусам кратных дуг 7(х) =1 —.х, 0<х<1.' ФУНКЦИИ НЕСКОЛЪКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Какие поверхности изображают !. х+у+з — 1 =О' 2.
Зх — 4у+ 5х — 2 = 0; 3. 2х+ Зу — 4х — 12 = О ' 4. 2х — а+4=0; 5. х+у=О. 6. Зх+2=0; 7. 2з+3 = 0; следующие уравнения: 8. х+у+х=О; 9. 2х+ 7у — 6з = 0; 1О. 2у+11х=О; 11. х+ 4у — 2х — 20 =.. 0; 12. хг+ уг 4. 13. хг+ уг — 2х ' 14. ху=4; Найти области определения формулами: 49. 2 ~т 1 х'+ у' 60. г .У9 — ха ' 8 1 51. 2=— х+у 88..
=. ~1 ' К 0/ а', Ь' ' 59. г = агсз1п— х' ' 54. г= Ух+ у; 55. г = Уаг — х' — у' ) Постпоить линии уровня следующих функций: 66. 2 уг — х'. 7' 67. г у — е" . ) 68. г= 1 3«8 + 2у' Найти поверхности уровня следующих функций: 69. и хе+ уз+ 22; «8 у8 70. и= — + —.-(- г' ' 9 7!. и=«8 — у'-1-г' Найти частные производные и дифференциалы первого порядка следующих функций: 72.
2=88у; 73. г ' У хе — 08..; 76. 2 !п(х+5у8); 77. 2= у" 8 74. 2= сбп хит; 78, г = агс16 = у У 1 75. г=16— ) 79. г=ху сов ху„ 88. '*= 8'Р:7; 53. г = г'2ху; 63. 2=«з+уг ° В4. -4«2+ уг„ бб. 2=х+у функций, заданных следующими 56. г 1 1+х'+ у' ' 1 57. г- т' х'+ у' — а' 60. г = 1п (х+ у); 6!. и = 1п(28 — х' — у' — а'); 62. и= 1 т а' — х' — уа+ г' )- х — у 82. 2 .= агс сов 2х+и ', 80. 2 —" х !'Хз+ у' 84. 2 =л е7.
88. 2 = з!н — „" у 85. 2=ха ' 7 87. г = 1п'3!п(хе+ у~). второго порядка: Найти частные производные 88. 2=)(х у); 89. г дг дг 1!айти — и — ,считая, что х= х(и, о), у у(и, о); ди до 90. г ° е" 'гг 91. 2 = ! х 1пу. ° д'2 дзг д~г Найти —, —, —. диа ' дидо ' доз ' 92, 2=!(х.у), х=и+о, у иг — ог; 93.
г )(х, у), х=ио, у- — . и Найти частные производные третьего порядка: 94. г=х" +5у'+Зх — у; ' х 98. 95. г=з!п(ЗХ вЂ” '2у); 97. г=-)(хз — уг). дзг д'2 Проверить, что — = — для функций: дхду дудх х' 98. г *= —; у' ' 101. г =. Хз з)п и и,' 102. г=у; 99. г=1п(х — 2у); х' 100. г = 1 — у ) 103. 2 = агс15— у 81. г .= !и!их —; +уу, 83. г = е"ьс< "'+г'). х — у В задачах 84 — 87 считать, ч)о г=х(!), у=у(й), и найти г!г д! 11апти суг: 107. г = х!ив с/ х 104.
г = ез"-гю 108. г = 1 х'+ у* ' 105. г=з1п(лс+ус) ' 109. г=-/'~ — ~. ,l у1 х/ =-у1 Найти сри (4имти ('З, ' 111. —... 1с(хг с-уг). 110. и = ху«. Найти с/" г 112. г=е +"" '1 ! 13. г= !п(х+у). !14. Найти производную по направлению функции «=-хз+ул в точке М (!,1). Рассмотреть случаи, когда направление со- Я и я ставляет с Ох угол: а),—, б) —, в) — . '3 6 2 115. Найти производную по направлению функции «=1п(е +ее). Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе первого координатного угла. 116. Найти производную по направлеиссю функции х' у' и= — + — — г' 4 9 з точке М (2, 3, 1). Рассмотреть случаи, когда направление совпа= дает: а) с направлением радиуса-вектора этой точки; б) с направлением вектора а=-4с' — Зс.
Найти пгас( и и 1Огад сс(. 117, сс = хс -с- уз — «' в точке М (1, --!. 21; в точке И1 13, 2, 1); 1! 8. и = 4 — '-х' — у'+ «' -1!9. и=1'х'+у'+гз в точке М( — 1, 2, 0); 120. и -- ху в точке М (3. --1, 2). Написать уравнения касательной плоскости и норйалн к следусопсссус поверхностям: 121. г.=- т 9 -'-х'-.у' я !очке М(!. 2, 21 г 122 . г=: — -1 — —.. в ~очке М(2, 3, 2); Хз ' ул 4 .9 129. К поверхности Зх'+2у'+г' 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости бх — 4у — г=О.
139. Доказать, что касательные плоскости к поверхности хуг=а' (а>0) образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. 131. Доказать. что касательные плоскости к поверхности )/х + т' у+ 1'г = р а (а ) О) отсекают на осях координат отрезки. сумма которых постоянна Найти экстремум функций; З32. г= т'+у~+ху — 4х — бу, 133. г у' — х'+ху-2х — бу' Р 137. а=хз — уз — 3 "у 138. г = з1п х+ з! и у+ з1 и (х;- „) О»у» — ' 2 э 0»х» —, л 2 139.
г з1пх+созу~-соз (х — у) 0»х» —, я/ 2 123, г=ху 124. г хз — уз . 126. г=х'+у' 126. х'+у'+г' 26 127. хе+уз — аз=1 ,123. хз — уз — гз 1 134. г ху (1 — х — у); 136. г = у Ух — у' — х -~- 61 > 136. г *=ее (х + у'); в точке М (3, 4, 12), в точке М (5, 4, 9); в точке М-(1, 2,5); в точке М (3, 4, 1); в точке М (1, 2, 2)" в точке М (3, 2, 2). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ли указанные функции решениями следующих у" +9У'=О; у" *25У=О; у'х — У=О," у — у-О; 24п 5х, 3. У =с2х, 4, у= з!и'х 5 5. у= — 51пх ч- с,х'+ с,х+с,, у"'= х'. Составить дифференциальные уравнения семейства линий: 9 у сеох 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
