Т.В. Казакова, М.В. Щеглова - Высшая математика (1113356), страница 5
Текст из файла (страница 5)
у = с1е" + сох. 6. У=сх; 7.. У=хо+сх„. 8. су=хо+У2 Построить изображения зым из уравнений: 11. у'=х, И. у',=х24 !3. Усу.+,хо(х=О. полей направлений, определяемых каж- Решить уравнения. Если даны 2Ые решения: 17. 2ЫУ вЂ” хЫх = О, хо=2, уо 0; 18. (2х+5) о(у+ус!х=О, 22. УЫУ вЂ” хдх=О, хо=3 уо=5,' 23. у'т ! +хо — У=О, хо О, уо= 1~ 19. Ух — у'=О, хо,О, уо — — 1О; 20. 'Уу'=3, хо 6, 'уо=10; Н..у (2х+2))/.~ у =О, хо=О уз=4~ 24. у'х+ 2' 4 — уо — О.
хо=1, уо=О; 26 у (4+хо) +уо 0 '8 хо = 2,,уо= — > и х=О, У=1„ ' о, сь со, со — постояаымо. Проверить, будут .„равнений *: 1. У=с~+сое-о", . 2. У =с2 соз 5х+со 14, у'=у+х' 16. у' = 2хо+ уо; 16. (у') 2 = хо+ уо. начальные условия, найти част- 26. у'(4 — ') — 4У=О, ,=О, у,=б; 27. )~ х «(у — УЫ«= «(х,' хо=О, уо=О; 28. о«! — хоу' + х о«9 — уо = О. ° хо=О, уо= О; 29„. у' — 2ху — У=О, хо=О, уо=о«34 30. Зх«(х — 2««(у=«(х+«(у; 31. о«9 — хо ««у — у«««=0, 3 х= —, У,=1 ° о— 2, 32. «!у — 2у«(х = «(х, 5 хо = 1п 2, Уо - 1 2 33.
2«(у — (1+ 4уо) «(х = О, б 1 12' . 2 34. о«хо — 4х+ 8 у'— — о'16 — у' = О, 35. х о 26 — уо — е- у' = О, хо=О, уо=О' 36. (у — 4) ««х+ (х+3) «(у= О; 37. у'вес5х — 5У=О, 1 «о — и Уо= 4 5 38. М 2+усовесох — у'сов'х= О, Я хо — . Уо = Ц 4 39. ««««у+у«(«=вбпх«(х, ««2 хо= — Уо = 2 40. «««у — у«1«=уо!пх««х« 41. «««у+у«1«+о*«(«=0; 42. е*«1у+уе*«1«=в(п2««1«; 43. 2ху «(х+ ко«(у= сов х «(х! хо«(х 44. «ИУ вЂ” у«(х = о«1 — х' ' ° 45. ««(у — уйх = х'о«4+хо«(х ~в. *, -,.~ ~'«О=и > 47. 2«оу'=3«о+6«у+уо . 48.
«ЫУ = (хо+ уо+ ху) д«4 49. у'=16 У ! У х х 50. «у спв — = успв — — 6 У У х х 51. ху' = у ( 1+ 1п —" 1; хГ уо у 52. у' = — — —. х' х~ х. 53. у'з!пх — у = в!пх в!и- « 2' 64. у' — бх«у=е"'> . 55. ху' — у = х ~' х. 58. )«! — х'(ху'+ у) = 1. 2У е-"' 57. у'+ — = — . х х 58. - ху'+у=!пх+1; 69. у' — у 1д х с16 х 119. у" — 4у'=4е~* .1 120. у"+Зу'+2у=Зе'"; 121. у" +7у'+20у е*» 122. у" +у'+10у Зхз;, 123. у" +у'+у=3 соз 2х; 124. у" +Зу'+2у= бе'". 126.
у" +у=в!и 5х; 126. '127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. у" +у=сов х; у" +9у= сов Зх; у" + у' — 2у = 2е-'*+ е'*; у" — 9у = егх бу~ »„йу — еэх. у" — у' 4+х; у" — 2у' — Зу =хз; у" +у=сов х+з!и 5х; 134. у" +4у'=х+е-'" 136. уе+ 100у = з!и 2х; 136. у" +2у'+у=е-*; 137. у" — 4у=е'"+Зе-'*; 138. у" — у' — 2у=ь!их+хе; 139. у" +9у=4 з!и Зх+х; !40.
у" — Зу'=хз+2„ 141. у" +Зу'= 1; 142. у +у=хсозх' 143. у" — у=хе* 144. у-" — у'+ 2у = х з!и х. 146. у" +у'+у=хзе'. 146. у" — 9у= е"; 147. у" +у'=хе"'. 148. у" +у'=ха!их. 149 !66 161 162 ,163 Написать уравнение кривой, проходящей через точку М (1, 2), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен абсциссе тонки'касания. Написать уравнение кривой, проходящей через точку М (1, г' 2), если угловой коэффициент касательной к криво1 в любой точке равен отношению абсциссы точки касания и ординате. Написать уравнение кривой, проходящей через точк» М (О, 2), если угловой коэффициент нормали равен обратной величине ординаты точки, в которой проведена нормаль к кривой.
Написать уравнение кривой, проходящей' через точа» М (1, 3), если угловой коэффициент касательной к ней в лю. бой точке кривой втрое больше .углового коэффициента рз' диуса-вектора точки касания. Написать уравнение кривой, проходящей через точа» М (2, 2), если подкасательная в любой точке ее равна удвоен' иой абсциссе точки касания. (Подкасательной называется проекция отрезка касательной, заключенного между точкой касания и точкой пересечения касательной с осью ох). 1р!.
Определить форму зеркала, отражающего лучи, исходящие из точечного источника света, параллельно данному направлению. 116. Скорость распада радия пропорциональна наличному количеству радия. Известно, что половина первоначального запаса радия распадается по истечении 1600 лет. Найти, какой процент радия окажется распавшимся по истечении 100 лет. 166. В резервуаре находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В резервуар начинает поступать каждую минуту 2 л воды и вытекает 1 л смеси. Определить, какое количество соли останется в резервуаре через 1 минут, предполагая, что смесь перемешивается мгновенно.
167. Материальная точка массы и свободно падает под дейст вием силы тяжести. Найти закон движения точки без учета сопротнвления -воздуха. Написать этот закон, если даны следующие начальные. условия в момент времени 1з=О точка -имела, скорость ос и до этого момента проделала путь гз. 168. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметра 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиуса 0,1 м, вырезанное в центре дна чаши, если скорость истечения жидкости о О,бг' 288, где Ь вЂ” высота столба жидкости над отверстием.
169. Во сколько времени тело, нагретое до 100', охладится до 24' в комнате с температурой 20; если до 40' оно охлаждается за 10 минут и скорость охлаждения пропорциональна разности температуры тела в данный момент и температуры воздуха в комнате. ОТ В ЕТЪ| 1. ПОНЯТИЕ ФУНКНИИ 1. ( — 3,3). 2 [ — 2,2]. 3. ( — со, — 4),(4, +=о). 4. ( — 1,5). 5.
( — 2, — !), 6. [ — 4,2[. 7. [ — 5,5). 8. [ — 3 — к'3, — 3 + г 3[. 9. ( — со, 71 [ 1, -1- о). 1О, !3. Множество пУсто. !!. [ — 1,4[. 5~ 12, (0,1). 14. ( — со, !), (!О, +со). 15. ( — со, + со)..16. ( — ' со, +со). ,4= Ий' бв 17. — со,—, —, +со . 18.х=2.19.,5. 20. О,— ' 21. ( со, 2], [3, + со). 22. ( — оо, 0), (3, + со) 23. [ — 2,2]. 24. ( со, + оо). 25.
( — со, + ~~). 26. х+ — +Уги, 8=0, ~ 1 » ~ 2„.. 27.,х+ 2Ьс, А = О, .— ' 1; -~-2,... 28. [ — 1, '1]. 29. [ — 3,— Ц, 30. ( — сс, + оо). 31. (4, + оо). 32. ( — с, О). ЗЗ. ( — со, О), (О, + ). 34. ~ —, +ы~. Зб. (0,4). 36. ( —,О), (О, — ) (1' 1 ~ '! 2 ! 3 37. ( — со, 0), (О; + со). 38. ( — со, 3), (3, + со). 39. ( — оо, ' — 4], [ — 2, + оо). 40.
( — со, 1), (1,4), (4, +со). 41. — 2, О, О, хт — х — 2, хт+Зх, (х+Ьх)Я+х+Ьх — 2. 42. и, —, 0 43, 45, > 48, 53 — функции четные; 46, 47, 60, 51, 52 — функции нечетные. 44, 49, 64, 55 — функции не являются ни четными, ни нечет. ными. 57. —. 58. 2н. 59. 2и. 60. —. 61.
2н. 62. и. 63. и '$ 28 2 ' ' 3 3 64. †. 65. Зи. 66. 2й. 2 з. пигдилы 1. — 1, 2. 10. 3. — . 4. 1. б. — . 6. — . 7. 1. 8. — — . 9. — 3, 2 1' 1 1 3 5 2 т>2 1О. — . 11, — 12. ! 2. — 1. 13. — )'2. 14. 3. 15, — . 18. — —. 17. 0. 6 . 2 2 ,18. сс . 19. — . 20. — . 21. 1. 22. 3. 23. 1. 24. — 1'. 25. 3. 26. 0. 1 1 3 ' 9 27. — — . 28. т' 2. 29. — 2. 30. 1.
31. — —. 52. 2. ЗЗ. 3. 34.— 1,— 1 . 3 3 - 2 2 35. — †. 36. О. 37. — . 38. — . 39. †. 40. О. 41. с . 42. 1 1 ' '15 1 1 2 2 - 2 2 ' 12 то 1п 3. 98. —. 99. бв 1п 5. 1п4 !и 3 104. - †.. 1Об. — . 1 ' 5 31п3 3 95.' —. 96. О. 97. 4 1п3 102. —. 1ОЗ. —. '1 ' 1 31п2 Ое 93. 2 —. 94.— 1п7 -3 1и'10 5 100. — '. 101.. — —.
,1 1 5 2 уй 106. е*. 107. е. 108. е-' . 109. е'. 110. 1. 111. е в . 112. е-' 113 114 ' 1$5 еперь 116 4 117 2 118 ев 1 '1. гГе Уе 119. е-'в. 120. ее'2. $21. — . 122. е-в ° 123. ее. $24. + со. е ' 126. е ". 126. е-в. 127.— —. 128. 3.' 129.—. 130. — 3. 49 2' '' ' '.'2 13$. 3..$32. — 1. 1ЗЗ.
†. 134.' — — . !35. —. - 136' —— 3 .. 1 3 8 2 .5 4 9 .1п2 2' ." 1 137. ='. !38, — — . 139.. — . 140. е в , 14$. 1; 142, — 1. а2 ' 43. †. 44. 3. 45. — . 46. — —. 47. О. 48. 4. 49. 2. 60. —. 2 4. 10- 1 9 5 - 9 ' 2 51. !4. 52. —. 63. —, 54. — †.
бб. —. 58. 9. 57. — 2в!Оа. 1 1 1 1 2 2 2 6 4 ' - и' — т' 1' 58. 1. 59. совЬ. 60. —. 81. 1. 62. х. 63... 64. — —.. 9 2 3 65. —. 60. †. 67. —. 68. — 6. 69. —. 70. —. 71.—. -2 5 8 ' 184 5 ' 2'1п2 3 8 7 21' 12 5 72. —. 73. —. 74. —. 75. —. 70.— —. 77. — ', 78. —. 8 5 1 3 1 .1. ' 1 15 3 6 5 ' 54 е 10!и 10' , '79. — 1. 80.—. 81. — —. 82.—. 83. 1. 84. 1иа. 86. 641п4. !$$ 2 21и 2 2 86.
1и —. 87.—. 88. 1. 89.'2. 90. — 2. '9$. — .. 92. 2.' 3 5 '' - . 1п7 2 3 6 1п— 7 1 2 О„ 1. 1 — х=1 2 168. "!63. 169. д= 6 О, хФ!. 4 ппоизводнля и диФивзвнцилл 1. 2х. 2. Зхз.б.=. 4. — †. 5. — —. 6.— 1 ! . 2 1 '2з~х ' ' х' ' ' х' ' 2х!'х ' з!и— 7. 2соз2х. 8. — — . 9. — 1 2 2 2' ' ' !2х+1) 3 2 У!+ Зх ' 1 1 6 11. 2 (2хз + Зх — 1). 12. 49х'+ бх — 4. ! 3 — — — — +— 3 з/хз 14. —,— — + —.
15. 20х' — Зсоех — —. 16. — — 4з!пх- 3 10 9 5 3 4 з/х з!пзх 21'х 3 ! в 8 а'хз, 11- х' 2 3 2 1 — —.. 17. Вх+ — —.— +созх — з)пх+ —. !8 — 24х'+ — + 7з!пх — . 19, . 20. 4г" + Ь 4 с!6 2х !о 24 х з!п2х 'х!п2 ° 1пЗ вЂ”. 21. з — — зесзх+хв. 22. Зх!пб-!-Вк!пб — 7 1 !' 1 — х' 2 143.' — 2 З 144. ~з. 145. = : -146; 12. 147. 1п 2. 148. 7 ' 149. — 1. 150. — 121пЗ. 161.
— — . 152.— 91п3 5 8 .41п2 ' 155. — 150 1п 2. 164. — 1. 155. — 0,1. 166. — . 157. !08 !бб. — — . 159. 2 з' бсоеб. 160. — . 161. — . 182. 1п3 7 7 бп' 168 .. 184. ф~ . 185. — —. 168. — †. 167. 81п2 1 и 2 1 — 6 и ' ',$' 3' ' Зп ' и' '13 х 121. — — с!6~!Бе ') . „. 122. Бс16х ° 1п'з1пхг сов'(е в) х+3 ' с16 4 123.. 124.— (2+х')гГ1+х'агс161'1+х' 20 ~~~, х+3 4 ау~оп» 125.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
