Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

¥.(A +B +C = 0A +B +C = 0 ·­¥¬ ± (2): A B C C + B C A + C A B = A B C = 0:A BC A A B A B C B C 111221111222112211122111111222€­ «®£¨·­®, ¤«¿ ¢²®°®£® ³° ¢­¥­¨¿.(1). „®¯³±²¨¬, ·²® ¢¥ª²®° ­³«¥¢®©. ’®£¤ B =C;C =A;A =BB CC AA B¨ ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ª®««¨­¥ °­». °®²¨¢®°¥·¨¥. (Œ®¦­® ² ª¦¥¤®ª §»¢ ²¼, ° ±±³¦¤ ¿ ± ¢¥ª²®°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ ¤°³£®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ².)1111111112222222222276.4. ¥ª®²®°»¥ ´®°¬³«» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ²1. “£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ~r = ~r + ~a t ¨~r = ~r + ~a t:cos ' = jh~a ;~a ij = q j + q + jj~a j j~a j + + + + :2.

“£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬®© ~r = ~r + ~a t ¨ ¯«®±ª®±²¼¾ Ax + By + Cz + D = 0:jA + Bp+ C jsin ' = p:A +B +C + +3.  ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¬¨±¿ ¯°¿¬»¬¨ ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ~r = ~r + ~a t ¨ ~r = ~r + ~a t. ®±²°®¨¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ±® ±²®°®­ ¬¨~r ~r , ~a ¨ ~a . ’®£¤ ¨±ª®¬®¥ ° ±±²®¿­¨¥ | ¢»±®² ½²®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ : 01 B x x y y z z C Adet @ Vjh~a;~a;~r~rijv== S = :uj[~a ;~a ]jut + + 12121211212212121 2212222220211211222222221121122121122221212221111112222224.

 ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨ ± ° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ~r ¤® ¯°¿¬®© ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬³° ¢­¥­¨¥¬ ~r = ~r + ~a t. ®±²°®¨¬ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ±® ±²®°®­ ¬¨ ~r ~r ¨ ~a .10’®£¤ ¨±ª®¬®¥ ° ±±²®¿­¨¥ | ¢»±®² ½²®£® ¯ ° ««¥«¥«®£° ¬¬ : = j~aS j = j[~r j~a~rj ;~a ]j =v uut y y z z + z z x x + x x y y p + + =1010210200211120101220:7. ‡ ¬¥­» ª®®°¤¨­ ² ¯®¬­¨¬, ·²® ´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ § ¤ ¥²±¿ °¥¯¥°®¬! = x~e + y~e + z~e .Oe e e , ²®·ª M ¯°¨®¡°¥² ¥² ª®®°¤¨­ ²» (x; y; z), ¥±«¨ OM ±±¬®²°¨¬ ² ª¦¥ ¤°³£®© °¥¯¥° O0e0 e0 e0 ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ². §«®¦¨¬ ­®¢»¥ ¢¥ª²®°» ¯® ±² °®¬³ ¡ §¨±³:8 0>< ~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e~e = c ~e + c ~e + c ~e>: ~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e1 2 311 2 31111212313212122232331312323332823Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 7.1.Œ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª O0e0 e0 e0 ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶ 1c cc c CA;c c1 2 31 2 30cBC=@ cc².

¥. ² ª ¿ ¬ ²°¨¶ , ¯® ±²®«¡¶ ¬ ª®²®°®© ±²®¿² ª®®°¤¨­ ²» ­®¢»µ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ±² °®¬ ¡ §¨±¥.‡ ¬¥· ­¨¥ 7.2. Š ª ¡»«® ¯®ª § ­®, ­ ¯°¬¥°, ¯°¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ®°¨¥­² ¶¨¨, e0 e0 e0¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ C ­¥¢»°®¦¤¥­ , ². ¥. det C 6= 0. ¯®¬­¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ±¢®©±²¢ ®¯¥° ¶¨© ­ ¤ ¬ ²°¨¶ ¬¨. ³±²¼A = kaij k | ¬ ²°¨¶ m n, ² ª ·²® ¢ ­¥© m ±²°®ª ¨ n ±²®«¡¶®¢, i = 1; : : : ; m,j = 1; : : :; n. ³±²¼ B = kbklk | ¬ ²°¨¶ n p. °®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¬ ²°¨¶ A ¨ B (·¨±«®±²®«¡¶®¢ A ¤®«¦­® ±®¢¯ ¤ ²¼ ± ·¨±«®¬ ±²°®ª B ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶ C ° §¬¥° m p, ¬ ²°¨·­»¥ ½«¥¬¥­²» ª®²®°®© ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ´®°°¬³«®©nXcij := aik bkj ;1121311213222332331 2 3k=1(\³¬­®¦¥­¨¥ i-© ±²°®ª¨ A ­ j -© ±²®«¡¥¶ B ").TT’° ­±¯®­¨°®¢ ­­®© ¬ ²°¨¶¥© ª ¬ ²°¨¶¥ A ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª ¿ ¬ ²°¨¶ A = kaij kT° §¬¥° n m, ·²® aij = aji.‚»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ±¢®©±²¢ (¢® ¢±¥ ¯³­ª² µ, ª°®¬¥ ¯¥°¢®£®, ¬ ²°¨¶» ª¢ ¤° ²­»¥):1) (AB )T = B T AT ,2) det AT = det A,3) det (AB ) = det A det B ,4) (AT ) = (A )T (¥±«¨ ®¡° ²­ ¿ ¬ ²°¨¶ ±³¹¥±²¢³¥²).1’¥®°¥¬ 7.3.1Š®®°¤¨­ ²» ²®·ª¨ ¢ ±² °®© ¨ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ±¢¿§ ­»±®®²­®¸¥­¨¿¬¨0 10 01 0 1xB@ y CA = C B@ xy0 CA + B@ xy CA ;zz0z0(1)00C | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² ±² °®£® ¡ §¨± ª ­®¢®¬³, (x ; y ; z ) | ª®®°¤¨­ ²»O0 (­®¢®£® ­ · « ª®®°¤¨­ ²) ¢ ±² °®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ², (x; y; z) ¨ (x0; y0; z0)£¤¥000| ª®®°¤¨­ ²» ¤ ­­®© ²®·ª¨ ¢ ±² °®© ¨ ­®¢®© ±¨±²¥¬ µ ª®®°¤¨­ ², ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.29„®ª § ²¥«¼±²¢®.

Ž¡®§­ ·¨¬ ¤ ­­³¾ ²®·ª³ ·¥°¥§ M . ’®£¤ ! OO!0 = x ~e + y ~e + z ~e ;! = OO!0 + O0M;OM!O0 M = x0~e 0 + y0~e 0 + z0~e 0 =0= x0(c1202033~e + c ~e + c ~e~e + c ~e + c ~e ) + z0(c ~e + c ~e + c ~e ) == (x0c + y0c + z0c ) ~e + (x0c + y0c + z0c ) ~e + (x0c + y0c + z0c ) ~e ;! = (x + x0c + y0c + z0c ) ~e +OM+(y + x0c + y0c + z0c ) ~e + (z + x0c + y0c + z0c ) ~e : 21112111231123) + y0(c11312112121‘«¥¤±²¢¨¥ 7.4.2223232220022112231203132131132323233333313132333Š®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°®¢ ¢ ±² °®© ¨ ­®¢®© ±¨±²¥¬ µ ±¢¿§ ­» ±®®²-0 10 0B@ CA = C B@ 00­®¸¥­¨¿¬¨:1CA :‡ ¬¥· ­¨¥ 7.5.

‚±¿ª®¥ ±®®²­®¸¥­¨¥ ¢¨¤ (1) ± ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ¬ ²°¨¶¥© C ¬®¦¥²¡»²¼ ¯°®¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ­® ª ª ¯¥°¥µ®¤ ª ­¥ª®²®°®© ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ². ‚· ±²­®±²¨, ¯°¨¬¥­¿¿ ª ª®®°¤¨­ ² ¬ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®°®¢, ¯®«³· ¥¬ ®¤­®§­ ·­®±²¼.’¥®°¥¬ 7.6.C | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oe0 e0 e0 , D | ¬ 0 0 000 00 00²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oe e e . ’®£¤ CD | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e00 00 00ª Oe e e .³±²¼1 2 31 2 31 2 31 2 31 2 31 2 3„®ª § ²¥«¼±²¢®.

(” ª²¨·¥±ª¨ ½²® ¯¥°¢®¥ ±¢®©±²¢® ²° ­±¯®­¨°®¢ ­¨¿.)0 010 00 10 1xxB@ y CA = C B@ y0 CA = CD B@ xy00 CA :zz0z0027.1. °¿¬®³£®«¼­»¥ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¨ ®°²®£®­ «¼­»¥¬ ²°¨¶»Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥7.7. Š¢ ¤° ²­ ¿¬ ²°¨¶ C ­ §»¢ ¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­®©, ¥±«¨ C T =TTC , ². ¥. C C = E ¨ CC = E .1’¥®°¥¬ 7.8.Œ ²°¨¶ C¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­®© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®­ ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤ ®² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨± ª ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬³.30„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬±®®²­®¸¥­¨¥ C T C = E . ‚ ¬ ²°¨¶¥ C T ¢ i-© ±²°®ª¥0§ ¯¨± ­» ª®®°¤¨­ ²» ~e i ¢ ¡ §¨±¥ ~e j (² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ i-¬ ±²®«¡¶¥ C ).

®½²®¬³,¥±«¨ ~e j | ¯°®¨§¢®«¼­»© ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ²® ¯° ¢¨«® ³¬­®¦¥­¨¿ ¬ ²°¨¶\±²°®ª ­ ±²®«¡¥¶" § ¯¨¸¥²±¿ ª ªh~e 0i;~e 0j i = Eij = ij ; ½²® ¨ ¥±²¼ ³±«®¢¨¥ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®±²¨ ¡ §¨± ~e 0j .“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 7.9.22 2 ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨!!cos'sin'cos'sin'C = sin ' cos ' ; C = sin ' cos ' :“£®« ' ¬®¦­® ±·¨² ²¼ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¬ [0; 2 ).Ž°²®£®­ «¼­»¥ ¬ ²°¨¶»¤®¢:„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ®°²®£®­ «¼­³¾ ¬ ²°¨¶³ ª ª ¬ ²°¨¶³¯¥°¥µ®¤ ®²0 0®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨± ~e ;~e ª ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬³ ¡ §¨± ³ ~e ;~e .

’®£¤ ¢¥ª²®° ~e 0 ¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²» (cos '; sin ') ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® '. ¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»© ¥¬³¢¥ª²®° ¥¤¨­¨·­®© ¤«¨­» (¤¢ ) ° ¢¥­ ( sin '; cos ').2‡ ¬¥· ­¨¥ 7.10. ‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ det 1, £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« | ¯®¢®°®² ­ ³£®« '. ‚® ¢²®°®¬ ±«³· ¥ det C = 1, £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« | ª®¬¯®§¨¶¨¿¯®¢®°®² ­ ³£®« ' ¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ~e , ¯®¢¥°­³²®£® ­ ³£®« '.121211“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 7.11.C1„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1 = det E = det (C T C ) = det (C T )det C = (det C ) . 2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 7.12. Ž°²®£®­ «¼­ ¿ ¬ ²°¨¶ ± ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ +1 ­ §»¢ ¥²±¿Œ­®¦¥±²¢® ² ª¨µ ¬ ²°¨¶ ° §¬¥°­®±²¨ n n ®¡®§­ · ¥²±¿Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ®°²®£®­ «¼­®© ¬ ²°¨¶»¢¥­«¾¡®£® ¯®°¿¤ª ° -.2±¯¥-¶¨ «¼­®© ®°²®£®­ «¼­®©.SO(n).‡ ¬¥· ­¨¥ 7.13. Œ» ¯®ª § «¨, ·²® SO(2) =(cos ' sin 'sin ' cos 'SO(3) ±®±² ¢«¿¥² ±®¤¥°¦ ­¨¥ ±«¥¤³¾¹¥£® ¯³­ª² .!).

Ž¯¨± ­¨¥7.2. “£«» ©«¥°  ±±¬®²°¨¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» Oe e e ª ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥0Oe e0 e0 . ‘·¨² ¥¬, ·²® ®­¨ ®¤¨­ ª®¢®© ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨¥­² ¶¨¨. …±«¨ ~e 0 = ~e ,²® ¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ² ­ ¯«®±ª®±²¨ ± det = +1. …±«¨ ~e 0 = ~e ,²® ¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ² ­ ¯«®±ª®±²¨ ± det = 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢¥ª²®°» ~e ¨ ~e 0 ­¥ª®««¨­¥ °­».

²® ­®°¬ «¼­»¥ ¢¥ª²®°» ª¯«®±ª®±²¿¬ = Oe e ¨ 0 = 0e0 e0 . ’®£¤ f~ := k ~~ee 33 ;~;~ee 33 k ¿¢«¿¥²±¿ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¬¢¥ª²®°®¬ ¯°¿¬®© d ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ½²¨µ ¯«®±ª®±²¥©. °®¨§¢¥¤¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² °¥¯¥° 1 2 31 2 33331 23[[1 23100]]33Oe e e ª Ofge , ±®µ° ­¿¿ ®°¨¥­² ¶¨¾. ²® ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ ~e ­ ­¥ª®²®°»© ³£®«' (³£®« ®² ~e ª f~, ' 2 [0; 2)). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ 01cos ' sin ' 0C=B@ sin ' cos ' 0 CA :00 1’¥¯¥°¼ ¯°®¢¥¤¥¬ ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ f~ ² ª, ·²®¡» ~e ±®¢¬¥±²¨«±¿ ± ~e 0 .

‚ ±¨«³ ¢»¡®° ­ ¯° ¢«¥­¨¿ f~ ½²® ¢° ¹¥­¨¥ ­ ³£®« 2 [0; ]. ®«³· ¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ª ­¥ª®²®°®¬³°¥¯¥°³ Ofhe0 , ¯°¨·¥¬ ¯«®±ª®±²¼ Ofh ±®¢¯ ¤ ¥² ± Oe0 e0 , ¬ ²°¨¶ ¥£® ° ¢­ 011 00D=B@ 0 cos sin CA :0 sin cos Ž±² «®±¼ ®±³¹¥±²¢¨²¼ ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ ~e 0 (². ¥. ¢ ¯«®±ª®±²¨ Ofh = Oe0 e0 ), ·²®¡»±®¢¬¥±²¨²¼ f~ ± ~e 0 . °¨ ½²®¬, ¢ ±¨«³ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ®°¨¥­² ¶¨©, ®¡° § ~e ¯¥°¥©¤¥²¢ ~e 0 . ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ 10cossin02 [0:2):F =B@ sin cos 0 CA ;00 1‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 7.6, °¥§³«¼²¨°³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oe0 e0 e0 ° ¢­ 110100cossin0100cos'sin'0CDF = B@ sin ' cos ' 0 CA B@ 0 cos sin CA B@ sin cos 0 CA =00 10 sin cos 00 11100cossin 0cos ' sin ' cos sin ' sin =Bcos ' sin CA B@ sin cos 0 CA =@ sin ' cos ' cos 00 10sin cos 01cos ' cos sin ' cos sincos ' sin sin ' cos cossin ' sin =Bsin ' sin + cos ' cos coscos ' sin C@ sin ' cos + cos ' cos sinA;sin sinsin coscos £¤¥ ' 2 [0; 2) | ³£®« ®² ~e ª f~, 2 [0; 2) | ³£®« ®² f~ ª ~e 0 , 2 [0; ] | ³£®«¬¥¦¤³ ~e ¨ ~e 0 .1 2 33313331 231 22121 2 3131 2 3138.

Характеристики

Список файлов лекций