Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

® ¥±«¨ ¬» ° ±¯¨¸¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼, ²® ¯®«³·¨¬ ¢ ²®·­®±²¨ ¨±µ®¤­®¥ ³° ¢­¥­¨¥.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¯¥°¢®£®¯®°¿¤ª ®² ²°¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ | ½²® ®¤­® ¨ ²® ¦¥ (­¨ª ª®© ®¤­®§­ ·­®±²¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ¤ ¦¥ ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ­¥ ³²¢¥°¦¤ ¥²±¿).22‡ ¬¥· ­¨¥ 6.1. ‚ ¯®«­®© ­ «®£¨¨ ±® ±«³· ¥¬ ¯°¿¬®© ­ ¯«®±ª®±²¨, ¯«®±ª®±²¼ ¢¯°®±²° ­±²¢¥, § ¤ ­­ ¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ F (x; y; z) = Ax + By + Cz + D = 0, ° §¡¨¢ ¥²¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤¢ ¯®«³¯°®±²° ­±²¢ F = f(x; y; z) j F (x; y; z) > 0g;F = f(x; y; z) j F (x; y; z) < 0g:+‚¥ª²®° (A; B; C ) ®¯¿²¼ ³ª §»¢ ¥² ­ F .+‹¥¬¬ 6.2.(; ; ) ¯ ° ««¥«¥­ ¯«®±ª®±²¨ Ax + By + Cz + D = 0 ²®£¤ ¨²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A + B + C = 0.‚¥ª²®°„®ª § ²¥«¼±²¢®. €­ «®£¨·­® ¯°¿¬®© ­ ¯«®±ª®±²¨.’¥®°¥¬ 6.3.

«®±ª®±²¨1 ¨22 , § ¤ ­­»¥ ³° ¢­¥­¨¿¬¨A x+B y+C z+D = 01111A x + B y + C z + D = 0 ¯ ° ««¥«¼­» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª²®°»(A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ª®««¨­¥ °­», ². ¥. AA12 = BB12 = CC12 . ²¨ ¯«®±ª®±²¨ ±®¢¯ A1 = B1 = C1 = D1 .¤ ¾² ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A2B2 C2 D2¨221121222„®ª § ²¥«¼±²¢®.2ˆ§ ³±«®¢¨¿ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²®¬­®¦¥±²¢ °¥¸¥­¨© ³° ¢­¥­¨© A + B + C = 0 ¨ A + B + C = 0 ±®¢¯ ¤ ¾²,².

¥. ¯«®±ª®±²¿¬ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­¨ ¨ ²¥ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢ ¢¥ª²®°®¢, §­ ·¨², ¯«®±ª®±²¨¯ ° ««¥«¼­».¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. (Œ®¦­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬®© ¨ ´ ª²®¬ ¨§²¥®°¨¨ «¨­¥©­»µ ±¨±²¥¬, ®¤­ ª® ¯°¨¢¥¤¥¬ ¯®«­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®). Ž¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¯¥°¢®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ®²«¨·¥­ ®² ­³«¿. ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨, ½²® A . ’®£¤ ¯® «¥¬¬¥, ­¥ª®««¨­¥ °­»¥ ¢¥ª²®°» ( B ; A ; 0) ¨ ( C ; 0; A )¯ ° ««¥«¼­» ¯«®±ª®±²¨ ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¡° §³¾² ¡ §¨±. ®±ª®«¼ª³ k , ²®„®±² ²®·­®±²¼.111221211111A ( B ) + B A + C 0 = 0;212112A ( C ) + B 0 + C A = 0;221221®²ª³¤ A =B;A =C:A BA C¥°¥©¤¥¬ ª® ¢²®°®© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨.

„®±² ²®·­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ .¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ® ¯¥°¢®© · ±²¨ A = A , B = B ¨ C = C . ³±²¼(x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©, ² ª ·²®111122222001212100 = (A x + B y + C z + D ) (A x + B y + C z + D ) = D101 01 012°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¼ ·¥²¢¥°®ª ³±² ­®¢«¥­ .‘«¥¤±²¢¨¥ 6.4.2 02 021D:22 (¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬») ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¯® ¯°¿¬®©) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C )«®±ª®±²¨01 ¨21­¥ª®««¨­¥ °­».2311222Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.5.‘®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬ ¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ¯°¿¬³¾.

¥±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ««¥«¼­»µ ¤ ­­®© ¯«®±ª®±²¨.’¥®°¥¬ 6.6.F = Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯³·ª³ ¯«®±ª®±²¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¬³ ¤¢³¬¿ ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¯«®±ª®±²¿¬¨ F = A x + B y + C z +D = 0 ¨ F = A x+B y +C z +D = 0 ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ F = F + F ,£¤¥ ¨ ­¥ ° ¢­» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­³«¾.«®±ª®±²¼1121222112111222„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«­®±²¼¾ ­ «®£¨·­® ±«³· ¾ ¯°¿¬»µ.

 ¯®¬­¨¬ ®±­®¢­»¥½² ¯». ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©¯³·ª : \ = l. «®±ª®±²¼ ¯°¨­ ¤«¥¦¨²½²®¬³ ¯³·ª³ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ l .³±²¼ P 62 l | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª .  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥Fe := F (P ) F F (P ) F = 0:±®¡±²¢¥­­®£®¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.120201102²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨ ² ª ª ª (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ­¥ª®««¨­¥ °­»(¨­ ·¥ ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ § ¤ ¥²¯«®±ª®±²¼. °¨ ½²®¬ l ¨ P ¢ ­¥© ±®¤¥°¦ ²±¿. ‡­ ·¨², ½²® .

„ «¼¸¥ ³¬­®¦ ¥¬ ­ ª®­±² ­²³.„®±² ²®·­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ . ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¯³·ª : k , 6= .¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ P | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª , ¯ ° ««¥«¼­®© ¨ . ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥Fe := F (P ) F F (P ) F = 0:11122201212021011022²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ² ª ª ª (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C )e B;e Ce ) = 0, «¨¡® ½²®² ¢¥ª²®° ­¥­³«¥¢®© ¨ ª®««¨­¥ °¥­ª®««¨­¥ °­», ²® «¨¡® (A;(A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ). ®±ª®«¼ª³ Fe = 0 ¨¬¥¥² °¥¸¥­¨¿, ­ ¯°¨¬¥°, P , ²® ¨§e B;e Ce ) = 0 ¤®«¦­® ±«¥¤®¢ ²¼ Df = 0, ².

¥. F ¨ F ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­», §­ ·¨²,(A; = , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¿¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¥¥ ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ P ¨ ¯ ° ««¥«¼­³¾ ¨ , ². ¥. .„®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ § ¢¥°¸ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±®¡±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥.„®±² ²®·­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ .2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.7. ‘®¡±²¢¥­­®© ±¢¿§ª®© ¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ²®·ª³. ¥±®¡±²¢¥­­®© ±¢¿§ª®© ¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ««¥«¼­»µ ¤ ­­®© ¯°¿¬®©.‡ ¬¥· ­¨¥ 6.8. ’°¨ «¾¡»¥ ¯«®±ª®±²¨, ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ ®¤­®¬³ ¯³·ª³, ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾² ±¢¿§ª³. (±¬. § ¤ ·³ ¨§ § ¤ ·­¨ª ® ¢§ ¨¬­®¬ ° ±¯®«®¦¥­¨¨ ²°¥µ¯«®±ª®±²¥©)1111221220111220241222’¥®°¥¬ 6.9.F = Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ±¢¿§ª¥ ¯«®±ª®Fi = Aix + Biy + Ciz +Di = 0, (i = 1; 2; 3) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ F = F + F + F (¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨, ·²® ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨« ±¼ ¯«®±ª®±²¼, ². ¥. ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª ),¨«¨, ½ª¢¨¢ «¥­²­®, A B C D A B C D = 0: A B C D A B C D «®±ª®±²¼±²¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¬³ ²°¥¬¿ ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¯«®±ª®±²¿¬¨111112233122223333„®ª § ²¥«¼±²¢®.

°¥¦¤¥ ¢±¥£® ¯®ª ¦¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ¯®±«¥¤­¨µ ¤¢³µ ³±«®¢¨©.‚ ®¤­³ ±²®°®­³ ®·¥¢¨¤­®. ‚ ¤°³£³¾: ¤®¯³±²¨¬, ·²® ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥­ ­³«¾ (¯°¨³±«®¢¨¨ ±¢¿§ª¨). ’®£¤ ±²°®ª¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬». „®¯³±²¨¬, ·²® ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨F ° ¢¥­ ­³«¾, ². ¥. § ¢¨±¨¬» ³° ¢­¥­¨¿ Fi = 0, (i = 1; 2; 3). ®±ª®«¼ª³ ¨¬¥¥¬ ±¢¿§ª³,²® ² ª®£® ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥² (¯®«³· ¥¬, ° §®¡° ¢ ±«³· ¨).‘®¡±²¢¥­­»© ±«³· ©. ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿²°¥µ ¯«®±ª®±²¥©.„®±² ²®·­®±²¼.…±«¨ ¨¬¥¥¬ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾, ²® ¨§ Fi(x ; y ; z ) =0, (i = 1; 2; 3), ±«¥¤³¥², ·²® ¨ F (x ; y ; z ) = F (x ; y ; z ) + F (x ; y ; z ) + F (x ; y ; z ) = 0.¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¢±¥µ ·¥²»°¥µ ¯«®±ª®±²¥©. ’®£¤ ¢ ³ª § ­­®© ¬ ²°¨¶¥ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ±²®«¡¶®¢ ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ (x ; y ; z ; 1) ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¨ ° ¢­ ­³«¾. ‡­ ·¨²,®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥­ ­³«¾.¥±®¡±²¢¥­­»© ±«³· ©.

³±²¼ (; ; ) | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®©,ª®²®°®© ¯ ° ««¥«¼­» ¯«®±ª®±²¨ ±¢¿§ª¨.„®±² ²®·­®±²¼. …±«¨ ¨¬¥¥¬ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾, ²® ¨§ Ai + Bi + Ci = 0,(i = 1; 2; 3), ±«¥¤³¥², ·²® «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ( A + A + A )+: : : ² ª¦¥ ° ¢­ ­³«¾. Ž±² «®±¼ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ª°¨²¥°¨¥¬ ¯ ° ««¥«¼­®±²¨ ¢¥ª²®° ¨ ¯«®±ª®±²¨.¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ‹¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ±²®«¡¶®¢ ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ (; ; ; 1)° ¢­ 0, ·²® ¢«¥·¥² ° ¢¥­±²¢® ­³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿.20000033000011000220000000000001122336.2. «®±ª®±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ²°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.10.

 ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®±²¼ Ax + By + Cz + D = 0. ’®£¤ ¢¥ª²®°n := (A < B; C ) ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ ¯«®±ª®±²¨.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚¥ª²®° (; ; ) ¯ ° ««¥«¥­ ¯«®±ª®±²¨ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ ,ª®£¤ 0 = A + B + C = hn; (; ; )i;². ¥. ¢¥ª²®° n ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ «¾¡®¬³ ¢¥ª²®°³ ¯«®±ª®±²¨ .2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.11. ²®² ¢¥ª²®° n, § ¢¨±¿¹¨© ®² ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¨ ³° ¢­¥­¨¿,­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼¾ ª ¯«®±ª®±²¨.25’¥®°¥¬ 6.12.³±²¼ ¯«®±ª®±²¼ ¨¬¥¥² ³° ¢­¥­¨¥ Ax + By + Cz + D = 0, P ±(x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª . ’®£¤ (P; ) = jAxp+ By + Cz + Dj :A +B +C„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ P (x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª . ’®£¤ d ! jhP !!nij = jA(x x )p+ B (y y ) + C (z z )j =(P; ) = jPP jcos P P; n = jP;njA +B +C= j(Ax + By + Czp+ D) (Ax + By + Cz + D)j = jAxp+ By + Cz + Dj : 2A +B +CA +B +C“£«» ¬¥¦¤³ ¯«®±ª®±²¿¬¨, ­®°¬ «¼­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¨ ². ¤. ² ª¦¥ ®¯°¥¤¥«¿¾²¿ ¨¢»·¨±«¿¾²±¿ ¯®«­®±²¼¾ ­ «®£¨·­® ±«³· ¾ ¯°¿¬»µ ­ ¯«®±ª®±²¨.ª®®°¤¨­ ² ¬¨000021100112111201020122102012120210226.3.

°¿¬ ¿ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥’¥ª³¹¨© ¢¥ª²®° ²®·ª¨ ­ ¯°¿¬®© § ¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ~r = ~r + ~a t, £¤¥ ~r |° ¤¨³±-¢¥ª²®° ­ · «¼­®© ²®·ª¨, ~a | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© (±¬. °¨±. 1).0:3 0 ~a~r~r¨±. 1.…±«¨ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ ~a = (; ; ), ²® ¯®«³· ¥¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿8>< x = x + ty = y + t>: z = z + t000¥§ ¯ ° ¬¥²° ®­¨ ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± ­» ª ª ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿x x =y y =z z :002600‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¯°¿¬ ¿ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ³¦¥ ¤¢³¬¿ «¨­¥©­»¬¨ ³° ¢­¥­¨¿¬¨, ¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¤¢³µ ¯«®±ª®±²¥©.

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ~a 6= 0,¤®¯³±²¨¬, ·²® 6= 0 ¨ ¢®§­¨ª ¾² ¤¢¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨ (x x ) (y y ) = 0 (x x ) (z z ) = 0Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¨¬¥¥¬ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¤¢³µ ¯«®±ª®±²¥©, ². ¥. ±¨±²¥¬³(A x+B y +C z+D = 0A x+B y +C z+D = 0000011112222¯°¨·¥¬ (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ­¥ª®««¨­¥ °­».1112°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.13.22‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ° - !BCCAAB(; ; ) := B C ; C A ; A B :¢¥­111111222222„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § ­­»© ¢¥ª²®° ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°­»¬ ¯°®¨§-¢¥¤¥­¨¥¬, ² ª ª ª ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ­¥ ®¡¿§ ­ ¡»²¼ ¯°¿¬®³£®«¼­®©. ¤® ¤®ª § ²¼, ·²® (1) ³ª § ­­»© ¢¥ª²®° ¿¢«¿¥²±¿ ­¥­³«¥¢»¬ ¨ (2) ®­ ¯ ° ««¥«¥­¯«®±ª®±²¿¬, ².

Характеристики

Список файлов лекций