Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¯¥° ¶¨¨ ³¬­®¦¥­¨¿ ­ ·¨±«®.2. ® «¥¬¬¥ 1.15 ¨§ «¨­¥©­®© § ¢¨±¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® c = a + b, ². ¥. cª®¬¯« ­ °¥­ a ¨ b.Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ a ¨ b ª®««¨­¥ °­», ²®£¤ ®­¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ¨ ¯® «¥¬¬¥ 1.16a; b; c «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬». …±«¨ ¦¥ a ¨ b ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® c ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢¢¨¤¥ c = a + b, \¤®±²°®¨¢ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬".3. …±«¨ ª ª¨¥-«¨¡® 3 ¢¥ª²®° ª®¬¯« ­ °­», ²® ®­¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ¯³­ª²³, ¯® «¥¬¬¥ 1.16 § ¢¨±¨¬» ¢±¥ 4.

…±«¨ ¦¥ ² ª¨µ 3 ¢¥ª²®°®¢ ±°¥¤¨a; b; c; d ­¥², ²® ¯ °» a ¨ b, c ¨ d ­¥ª®««¨­¥ °­», ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¿¾² (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯ ° ««¥«¼­®£® ¯¥°¥­®± ) ¤¢¥ ¯«®±ª®±²¨, ª®²®°»¥ ­¥ ¯ ° ««¥«¼­» (¨­ ·¥¢±¥ 4 ¡»«¨ ¡» ª®¬¯« ­ °­»). ’®£¤ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° f ¯°¿¬®© ¯¥°¥±¥·¥­¨¿° ±ª« ¤»¢ ¥²±¿, ± ®¤­®© ±²®°®­», ¢ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾ a ¨ b, ± ¤°³£®© | c ¨d (±°. ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ¯. 2):a + b = f = c + d:5…±«¨ ¯°¨ ½²®¬ ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢, ±ª ¦¥¬, , ° ¢¥­ 0, ²® b; c; d ª®¬¯« ­ °­»,·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬,a + b c d = 02| ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.18.­ ¯°¿¬®© (±®®²¢., ­ ¯«®±ª®±²¨, ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥)­ §»¢ ¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥­­»© ­ ¡®° ¨§ 1 (±®®²¢., 2, 3) «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢.‡ ¬¥· ­¨¥ 1.19. „«¿ ¯°¿¬®© ½²® ®§­ · ¥², ·²® ¢¥ª²®° ­¥­³«¥¢®©.’¥®°¥¬ 1.20. §¨±®¬‚±¿ª¨© ¢¥ª²®° ¯°®±²° ­±²¢ (±®®²¢., ¯«®±ª®±²¨, ¯°¿¬®©) ®¤­®-§­ ·­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨ ¢¥ª²®°®¢ ¤ ­­®£® ¡ §¨± .„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®¬¡¨­ ¶¨¨. ³±²¼ e ; e ; e | ¤ ­­»©123¡ §¨±, a | ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®°.

® «¥¬¬¥ 1.17 (¯. 3) ¢¥ª²®°» a; e ; e ; e «¨­¥©­®§ ¢¨±¨¬», ² ª ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ a+ e + e + e = 0. ³±²¼ = 0. ’®£¤ e + e + e = 0 | ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ «¨­¥©­ ¿ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ¢¥ª²®°®¢ ¡ §¨± . ‡­ ·¨², 6= 0 ¨ ¨±ª®¬ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ a= e + e + e :„®ª ¦¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ³±²¼ ¨¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ° §«¨·­»¥ ²°®©ª¨: ; ; ¨ ; ; , ¯°¨·¥¬1231 13 31 112 2213231122 23 3233a= e + e + e = e + e + e :1 12 23 31 12 23 3’®£¤ 0 = ( )e + ( )e + ( )e | ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ·²®¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ¡ §¨± .€­ «®£¨·­® ¤«¿ ¯°¿¬®© ¨ ¯«®±ª®±²¨.2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.21. Š®®°¤¨­ ² ¬¨ (¨«¨ ª®¬¯®­¥­² ¬¨ ) ¢¥ª²®° a ®²­®±¨²¥«¼­®¡ §¨± e ; e ; e ­ §»¢ ¾²±¿ ² ª¨¥ (®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¥­­»¥) ·¨±« ; ; , ·²®a = e + e + e .

³¤¥¬ § ¯¨±»¢ ²¼ ² ª¦¥ a( ; ; ).1121 111222333312 2‹¥¬¬ 1.22.3 312233Š®®°¤¨­ ²» ±³¬¬» ¢¥ª²®°®¢ ° ¢­» ±³¬¬¥ ª®®°¤¨­ ². Š®®°¤¨­ ²»a ° ¢­» ; ; (¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿).123„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a = e + e + e , b = e + e + e . ® ±¢®©±²¢ ¬1 11, 2, 5, 6, 7:2 23 31 12 23 3a + b = ( e + e + e ) + ( e + e + e ) == e + e + e + e + e + e = ( + )e + ( + )e + ( + )e ;a = ( e + e + e ) = ( e ) + ( e ) + ( e ) = ( )e + ( )e + ( )e :21 11 11 11 12 22 22 23 32 23 31 13 33 32 261 112 213 313 3212123223333Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.23.€´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ § ¤ ¥²±¿ ¢»¡®°®¬ °¥¯¥° | ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª¨ O ¨ ¡ §¨± e ; e ; e .Š®®°¤¨­ ²» ²®·ª¨ X ®²­®±¨²¥«¼­® °¥¯¥° Oe e e ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ª ª ª®®°¤¨! ¢ ¡ §¨±¥ e ; e ; e :­ ²» ¢¥ª²®° OX!=x e +x e +x eOX(¨µ ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ « ²¨­±ª¨¬¨ ¡³ª¢ ¬¨).

‡ ¯¨±»¢ ¥¬ X (x ; x ; x ).‹¥¬¬ 1.24. ³±²¼ X (x ; x ; x ) ¨ Y (y ; y ; y ) | ª®®°¤¨­ ²» ¤¢³µ ²®·¥ª. ’®£¤ !ª®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®° XY ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨± , ¢µ®¤¿¹¥£® ¢ ¤ ­­³¾ ´´¨­­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ° ¢­» (yx ; y x ; y x ).!(x ; x ; x ) ¨„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ´´¨­­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² OX!(y ; y ; y ), XY! = OY! OX!. ® «¥¬¬¥ 1.22 ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬»© °¥§³«¼² ².OY1231 2 31231 12 23 31123111223223331122233Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.25.

 §¨± ­ §»¢ ¥²±¿®°²®£®­ «¼­»¬, ¥±«¨ ¢¥ª²®°» e ; e ; e ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­». …±«¨ ®­¨ ª ²®¬³ ¦¥ ¥¤¨­¨·­®© ¤«¨­», ²® ¡ §¨± ­ §»¢ ¥²±¿ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¬. €´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼­®©, ¥±«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¡ §¨± ®°²®­®°¬¨°®¢ ­.1232. „¥«¥­¨¥ ®²°¥§ª ¢ ¤ ­­®¬ ®²­®¸¥­¨¨³±²¼ § ¤ ­» ¤¢¥ ²®·ª¨ A ¨ B ±¢®¨¬¨ ´´¨­­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (a ; a ; a )¨ (b ; b ; b ) (¢ ­¥ª®²®°®¬ °¥¯¥°¥) ¨ ®²­®¸¥­¨¥ .  ©¤¥¬ ´´¨­­»¥ ª®®°¤¨­ ²»AX j = , ². ¥. ¤¥«¿¹¥© ®²°¥§®ª ¢ ¤ ­­®¬(x ; x ; x ) ² ª®© ²®·ª¨ X ®²°¥§ª AB , ·²® jjXBj ®²­®¸¥­¨¨.! ¨ XB! ¢ ¤ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¯® «¥¬¬¥ 1.24 ° ¢­», ±®®²¢¥²Š®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°®¢ AX±²¢¥­­®, (x a ; x a ; x a ) ¨ (b x ; b x ; b x ).

® «¥¬¬¥ 1.22 ³±«®¢¨¥®²­®¸¥­¨¿ (¯®±ª®«¼ª³ ¢¥ª²®°» ±®­ ¯° ¢«¥­») ¯¥°¥©¤¥² ¢ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ³±«®¢¨©:(x a ) = (b x );(x a ) = (b x );(x a ) = (b x );¨¬¥¾¹¨µ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥+ bi ;xi = ai +i = 1; 2; 3:‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ¨«¨ , ² ª ·²® ³±«®¢¨¥¤¥«¥­¨¿ ¢ ½²®© ®¡¹¥© ´®°¬¥ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤! = XB:!AX”®°¬³«» ®²¢¥² ¡³¤³², ª®­¥·­®, ²¥¬¨ ¦¥, ·²® ¨ ¢»¸¥.11122331122331122311112222333373233.

‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.¤¢³µ (­¥­³«¥¢»µ) ¢¥ª²®°®¢ ­ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«®, ° ¢­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¤«¨­ ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ ­ ª®±¨­³± ³£« ¬¥¦¤³ ­¨¬¨:ha; bi := jaj jbj cos a;db:…±«¨ ®¤¨­ ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ­³«¥¢®©, ²® ¯®«®¦¨¬ ha; bi := 0.‹¥¬¬ 3.2. ³±²¼ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ e ; e ; e ¢¥ª²®° a¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²» a ; a ; a . ’®£¤ ai = ha; eii; i = 1; 2; 3:„®ª § ²¥«¼±²¢®. Š®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®° ¬®£³² ¡»²¼ ­ ©¤¥­» ¯³²¥¬ ¯°®¥ª¶¨© ¢¯°¿¬®³£®«¼­®¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤¥ (².

ª. ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¤®ª § ­ ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,ai = jaj cos a;dei = jaj jeij cos a;dei = ha; eii: 2‘ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬11’¥®°¥¬ 3.3.2233‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨, ®¯°¥¤¥-«¿¾¹¨¬¨ ¥£® ®¤­®§­ ·­®:1)2)3)4)ha; bi = hb; aiha + b; ci = ha; ci + hb; ciha; bi = ha; biha; ai = jaj 0(±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼);;(2)+3) = «¨­¥©­®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³ °£³¬¥­²³);2, ¢ · ±²­®±²¨,ha; ai = 0 , a = 0(¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ ¨±¢¿§¼ ± ¤«¨­®©).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³­ª²» 1, 3 ¨ 4 ®·¥¢¨¤­».

…±«¨ c = 0, ²® ¯. 2 ¢»¯®«­¿¥²±¿.…±«¨ ¦¥ c =6 0, ²® ¬®¦­® ¯³²¥¬ ¤¥«¥­¨¿ ­ jcj ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯¯. 1 ¨ 3 ±¢¥±²¨ ª ±«³· ¾jcj = 1. ‚ ½²®© ±¨²³ ¶¨¨ ° ±±¬®²°¨¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e = c; e ; e . ’®£¤ 123±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±ª «¿°­»¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¯¥°¢»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨:ha; ci = ha; e i = a ; hb; ci = hb; e i = b :®±ª®«¼ª³ ª®®°¤¨­ ²» ±³¬¬» ° ¢­» ±³¬¬¥ ª®®°¤¨­ ², ²®ha + b; ci = a + b = ha; ci + hb; ci:®ª ¦¥¬, ·²® ±¢®©±²¢ 1-4 ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾² §­ ·¥­¨¿ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. ‘¢®©±²¢® 4 ®¯°¥¤¥«¿¥² ha; ai. ‚ ±¨«³ ¯¯. 1 ¨ 4 ¨¬¥¥¬ha + b; a + bi = ha; ai + ha; bi + hb; ai + hb; bi = 2ha; bi + ha; ai + hb; bi;ha; bi = 12 fha; ai + hb; bi ha + b; a + big : 21111181’¥®°¥¬ 3.4.‚ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤e ;e ;e13 ±ª «¿°­®¥ ¯°®-2ha; bi = a b + a b + a b :1 12 23 3„®ª § ²¥«¼±²¢®.X3ha; bi = ha e + a e + a e ; bi = haiei; bi =2)1 1=X3i=12 23 3i=1;aihb e + b e + b e ; eii = =2 3)1 1‘«¥¤±²¢¨¥ 3.5.2 23)3 3X3i;j =1X3i=1X3aihei; bi =1)i=1aihb; eii =aibj hei; ej i = a b + a b + a b :1 12 223 3‚ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³£®« ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®° ¬¨ ®¯°¥-¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©ha; bi = jaha;j bjbij = q a b + a bq+ a b:a +a +a b +b +b1 1212 2223 3232122234.

«®¹ ¤¼, ®¡º¥¬ ¨ ®°¨¥­² ¶¨¿‚»·¨±«¨¬ ¯«®¹ ¤¼ S ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ (a; b), ­ ²¿­³²®£® ­ ¢¥ª²®° a ¨ b ­ ¯«®±ª®±²¨. ³±²¼ § ¤ ­ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e ; e ¯«®±ª®±²¨, ² ª ·²® a =(a ; a ), b = (b ; b ). ’®£¤ (¥±«¨ ³£®« ¬¥¦¤³ a ¨ b ° ¢¥­ ')vuquS = jaj jbj sin ' = jaj jbj 1 cos ' = jaj jbj t1 (a (a+ ba )+ a(bb +) b ) =qq= (a + a ) (b + b ) (a b + a b ) = (a b ) + (a b ) 2a b a b = ja b a b j: ¯®¬­¨¬,! ·²® ¢»° ¦¥­¨¥ a b a b ­ §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ det ¬ ²°¨¶»a a .b bŽ¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1. Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­®© ¯«®¹ ¤¼¾ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ! (a; b) ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨± e ; e ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨­ Sor (a; b) = det ab ab . …¥ ¡±®«¾²­ ¿¢¥«¨·¨­ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯«®¹ ¤¼¾ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , §­ ª (¢ ±«³· ¥ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ a ¨ b) ­ §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥­² ¶¨¥© ¯ °» a; b ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨± e ; e .1121221 12212221221 12 21 2121212121 222 12222 2211 1 2 21)2)221 22 1212121‹¥¬¬ 4.2.22Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ ¯«®¹ ¤¼ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:Sor (a; b) = Sor(b; a) (ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼);Sor (a + b; c) = Sor (a; c) + Sor (b; c),92 13)4)Sor (a; b) = Sor (a; b)Sor (a; a) = 0.(2+3=«¨­¥©­®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³ °£³¬¥­²³);„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚±¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ±«¥¤³¾² ­¥¬¥¤«¥­­® ¨§ ´®°¬³«».‹¥¬¬ 4.3.a; be ;eŽ°¨¥­² ¶¨¿ ¯ °»ª° ²· ©¸¨© ¯®¢®°®² ®²e.®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨± 22 ¯®«®¦¨²¥«¼­ , ¥±«¨1a ª b ¯°®¨±µ®¤¨² ¢ ²®¬ ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¨, ·²® ¨ ®² e1 ª2„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³¤¥² ¯°®¢¥¤¥­® ±° §³ ¤«¿ ²°¥µ¬¥°­®£® ±«³· ¿. 2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.4.(a; b; c), ¯®±²°®Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬ ®¡º¥¬®¬ ¯ ° ««¥¯¨¯¥¤ ¥­­®£® ­ ¢¥ª²®° µ a, b ¨ c ¯°®±²° ­±²¢ , ®²­®±¨²¥«¼­® ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨± " := (e ; e ; e ) ­ §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼01a a aVor" (a; b; c) = det B@ b b b CA = a b c + b c a + c a b b a c a c b c b a :c c c1231231231231 2 31 2312 31 2 31 2 31 23‚ ±«³· ¥ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b; c ¥£® §­ ª ­ §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥­² ¶¨¥©²°®©ª¨ a; b; c ®²­®±¨²¥«¼­® ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨± e ; e ; e .®±«¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ­¥ª®²®°»µ ±¢®©±²¢ ¬» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥,®¯° ¢¤»¢ ¾¹¥¥ ½²® ­ §¢ ­¨¥.1’¥®°¥¬ 4.5.23€¡±®«¾²­ ¿ ¢¥«¨·¨­ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®£® ®¡º¥¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ° ¢­ ®¡º¥¬³ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .‹¥¬¬ 4.6.³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­ ¡ §¨±e ;e ;e123 ¨ ­¥ª®²®°»© ¢¥ª²®° ¢° ¹ ¥²±¿ ¢¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¢®ª°³£ ®±¨ ± ¯®±²®¿­­®© ±ª®°®±²¼¾.

Характеристики

Список файлов лекций