Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 4

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Žª°³¦­®±²¼ x + y = 1 ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¤ ­ ¢ ¢¨¤¥(x = cos t;y = sin t:22 ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© ­ ¯«®±ª®±²¨:(x = x + t;~r = ~r + ~at; ¨«¨y = y + t:000156:~a~r0-‡¤¥±¼ ~r = (x ; y ) | ­¥ª®²®° ¿ ²®·ª ­ ¯°¿¬®© (­ · «¼­ ¿), ~a = (; ) | ­¥ª®²®°»© ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° (­ ¯° ¢«¿¾¹¨©). ‚»° ¦ ¿ t, ¯®«³· ¥¬ ª ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®©x x =y y :‡ ¬¥· ­¨¥ 5.3. ‚ ª ­®­¨·¥±ª®¬ ³° ¢­¥­¨¨ ¤®¯³±ª ¥²±¿ ° ¢¥­±²¢® ­³«¾ ­¥ª®²®°»µ (­¥ ¢±¥µ) §­ ¬¥­ ²¥«¥©. °¨ ½²®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ·¨±«¨²¥«¼ ¯°¨° ¢­¨¢ ¥²±¿ª 0.°¨¬¥° 5.4.x x =y y, x=x :0¥°¥©¤¥¬ ª ®¡¹¥¬³ ³° ¢­¥­¨¾ : (x x ) (y y ) = 0; Ax + By + C = 0;0000000000£¤¥A = ; B = ; C = y x :ˆ² ª, ¢±¿ª ¿ ¯°¿¬ ¿ § ¤ ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª .

Ž¡° ²­®, ¢±¿ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ±±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥Ax + By + C = 0. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, A 6= 0. ‚®§¼¬¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ ­ · «¼­®© ²®·ª¨(x ; 0), £¤¥ x ®¯°¥¤¥«¨¬ ¨§ ³° ¢­¥­¨¿Ax + C = 0; x = CA :‚ ª ·¥±²¢¥ ­ ¯° ¢«¿¾¹¥£® ¢¥ª²®° ¢»¡¥°¥¬ ( B; A). ’®£¤ ¨±µ®¤­®¥ ³° ¢­¥­¨¥° ¢­®±¨«¼­® ª ­®­¨·¥±ª®¬³x + CA = y 0 :BA00000’¥®°¥¬ 5.5.0°¿¬»¥ ­ ¯«®±ª®±²¨ ¥±²¼ ¢ ²®·­®±²¨ «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ «¨­¨¨ ¯¥°-¢®£® ¯®°¿¤ª . °¨ ½²®¬ ¤¢ ³° ¢­¥­¨¿F (x; y) := A x + B y + C = 0111161¨F (x; y) := A x + B y + C = 02222§ ¤ ¾² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®­¨ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»(±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ´¨ª±¨°®¢ ­ !), ².

¥. ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ 6= 0, ·²® F = F ,12A = A , B = B , C = C .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ³¦¥ ¤®ª § ­®. „®±² ²®·­®±²¼ ¢® ¢²®°®¬®·¥¢¨¤­ . „®ª ¦¥¬ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ ³° ¢­¥­¨¿ § ¤ ¾² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾.Š ª ¬» ¯®ª § «¨, ¥¥ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ( B ; A ) ¨«¨ ( B ; A ). Ž­¨ ª®««¨­¥ °­», ² ª ·²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ 6= 0, ·²®² ª ·²®1212121A = A ;1122B = B :212 ±±¬®²°¨¬ «¾¡³¾ ²®·ª³ (x ; y ) ¯°¿¬®©. ’®£¤ 00A x +B y +C101 01(A x + B y + C ) = 0;202 02C C = 0; C = C :2‹¥¬¬ 5.6. ‚¥ª²®°» (; ), ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0, ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ®¤­®°®¤­»¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ A + B = 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ª« ±±¥ «¾¡®£® ¢¥ª²®° (; ), ¯ ° ««¥«¼­®£® ¯°¿¬®©, ¨¬¥¥²±¿!, £¤¥ P , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ Q, «¥¦¨² ­ ¯°¿¬®©.

’®£¤ , ¥±«¨¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼ PQP (xP ; yP ), Q(xQ; yQ), ²®121AxP + ByP + C = 0;2AxQ + ByQ + C = 0;² ª ·²®A(xQ xP ) + B (yQ yP ) = 0; A + B = 0:Ž¡° ²­®, ¥±«¨ A + B = 0, ²® ®²«®¦¨¬ ¥£® ®² ²®·ª¨ (xP ; yP ) ­ ¯°¿¬®©. ’®£¤ ¤°³£®© ª®­¥¶ (xQ; yQ) = (xP + ; yP + ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾AxQ+ByQ+C = A(xP +)+B (yP + )+C = (AxP +ByP +C )+(A+B ) = 0+0 = 0: 2’¥®°¥¬ 5.7.

A x + B y + C = 0 ¨ A x + B y + C = 0 A B =¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¢ ®¤­®© ²®·ª¥), ¥±«¨ A B 6 0, ¨ ¯ ° ««¥«¼­» (¢ ². ·. ¬®£³² A B = 0.±®¢¯ ¤ ²¼), ¥±«¨ A B „¢¥ ¯°¿¬»¥ ± ³° ¢­¥­¨¿¬¨11221112211222„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬»¥ ¯ ° ««¥«¼­» ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¨µ ­ ¯° ¢«¿-¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ª®««¨­¥ °­», ². ¥. ( B ; A ) ª®««¨­¥ °¥­ ( B ; A ), ·²® ®§­ · ¥²117122 BAAB° ¢¥­±²¢® ­³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿ B A = A B .

Œ¥²®¤®¬ ¨±ª«¾·¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬ ¨ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.8. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­® (!) ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© F (x; y) =Ax + By + C = 0. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¤«¿ F ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ¬­®¦¥±²¢®F ²®·¥ª (x; y), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³ F (x; y) > 0. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ Fª ª F (x; y) < 0.‡ ¬¥· ­¨¥ 5.9. ®ª ¬» ­¥ ¤®ª § «¨, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¯®«³¯«®±ª®±²¨.11112222+’¥®°¥¬ 5.10.P ¨ Q «¥¦ ² ¢ ®¤­®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨, ²® ¨ ¢¥±¼ ®²°¥P ¨ Q «¥¦ ² ¢ ° §­»µ ¯®«³¯«®±ª®±²¿µ, ²® ®²°¥§®ª PQ¯¥°¥±¥ª ¥² ¤ ­­³¾ ¯°¿¬³¾. ‚ · ±²­®±²¨, F¨ F ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¯®«³¯«®±ª®±²¨§®ª…±«¨ ²®·ª¨PQ «¥¦¨² ¢ ­¥©.…±«¨+± £° ­¨¶¥©, ° ¢­®© ¤ ­­®© ¯°¿¬®©.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ P (xP ; yP ), Q(xQ; yQ). Š®®°¤¨­ ²» ²®·¥ª ®²°¥§ª PQ¨¬¥¾² ¢¨¤8<x =:y =’®£¤ xP +xQ+yP +yQ+;; > 0:xQ +B yP + yQ +C + = 1 [F (P )+F (Q)];F (X ) = Ax+By +C = A xP ++++ +¯°¨·¥¬ ¬­®¦¨²¥«¼ ±²°®£® ¯®«®¦¨²¥«¥­. ‡­ ·¨², ¥±«¨ P ¨ Q ¯°¨­ ¤«¥¦ ² F ¨«¨F , ². ¥.

F (P ) ¨ F (Q) ®¤­®£® §­ ª , ²® F (X ) ²®£® ¦¥ §­ ª . …±«¨ ¦¥ F (P ) ¨ F (Q)° §­»µ §­ ª®¢, ²® ¯°¨ = jF P j ¨ = jF Q j ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ F (X ) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢0.2‡ ¬¥· ­¨¥ 5.11. ‚¥ª²®° (A; B ) ¯°¨ ½²®¬ \³ª §»¢ ¥²" ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ±¬»±«¥. …±«¨ ®²«®¦¨²¼ ¥£® ®² ­¥ª®²®°®© ²®·ª¨ (x ; y ) ­ ¯°¿¬®©, ²® ¥£® ª®­¥¶ ®ª ¦¥²±¿ ¢ F . „¥©±²¢¨²¥«¼­®,+1( )1( )00+A(x + A) + B (y + B ) + C = (Ax + By + C ) + A + B = A + B > 0:00020222Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.12. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ­ ¯«®±ª®±²¨, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ²®·ª³, ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬, ± ¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­ ¿²®·ª | ¶¥­²°®¬ ¯³·ª .Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ­ ¯«®±ª®±²¨, ¯ ° ««¥«¼­»µ ¤ ­­®© ¯°¿¬®©, ­ §»¢ ¥²±¿­¥±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬.

(’¥°¬¨­®«®£¨¿ ±¢¿§ ­ ± ¯°®¥ª²¨¢­®© £¥®¬¥²°¨¥©.)’¥®°¥¬ 5.13.°¿¬ ¿l ± ³° ¢­¥­¨¥¬ F = Ax + By + C = 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² (±®¡-±²¢¥­­®¬³ ¨«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬³) ¯³·ª³, § ¤ ¢ ¥¬®¬³ ¯ °®© ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µl1 ¨l2 ± ³° ¢­¥­¨¿¬¨F = A x + B y + C = 0, F = A x + B y + C = 0, ²®£¤ ¨11112222²®«¼ª® ²®£¤ ª®£¤ ¥¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥²°¨¢¨ «¼­®© «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥©³° ¢­¥­¨©l1 ¨l : F = F + F .21218„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©¯³·ª : l \ l = P (x ; y ).°¿¬ ¿ l ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ½²®¬³ ¯³·ª³ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ P 2 l.³±²¼ P =6 P | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª l.

 ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥Fe := F (P ) F F (P ) F = 0:±®¡±²¢¥­­®£®120000¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.0201102²® ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ ±² °¸¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨. °¨ ½²®¬ F (P ) ¨ F (P ) ­¥ ¬®£³² ®¡ e Be ) 6= 0.° ¢­¿²¼±¿ 0. ’ ª ª ª (A ; B ) ¨ (A ; B ) ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® (A;’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨ ¨ § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾.

®¤±² ¢«¿¿ P ¨ P¢ Fe , ³¡¥¦¤ ¥¬±¿, ·²® ½² ¯°¿¬ ¿ ·¥°¥§ ­¨µ ¯°®µ®¤¨², ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ l. ® ²¥®°¥¬¥ 5.5¤ ­­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ FF = Fe = (F (P )) F + ( F (P )) F = 0; 6= 0:„®±² ²®·­®±²¼. F (P ) = F (P ) + F (P ) = 0, P 2 l . ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¯³·ª : l kl , l 6= l .¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ P | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª l .  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥Fe := F (P ) F F (P ) F = 0:²® ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ ±² °¸¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨.

°¨ ½²®¬ F (P ) ¨ F (P ) ­¥ ° ¢­¿¾²±¿e Be ) = 0, «¨¡®0. ’ ª ª ª (A ; B ) ¨ (A ; B ) ª®««¨­¥ °­», ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® «¨¡® (A;½²®² ¢¥ª²®° ­¥­³«¥¢®© ¨ ª®««¨­¥ °¥­ (A ; B ) ¨ (A ; B ). ®±ª®«¼ª³ Fe = 0 ¨¬¥¥²e Be ) = 0 ¤®«¦­® ±«¥¤®¢ ²¼ Ce = 0, ². ¥. F ¨ F°¥¸¥­¨¿, ­ ¯°¨¬¥°, P , ²® ¨§ (A;¯°®¯®°¶¨®­ «¼­», §­ ·¨², ¯® ²¥®°¥¬¥ 5.5 l = l , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¿¬.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¥¥ ¯°¿¬³¾, ¯°®µ®¤¿¹³¾·¥°¥§ P ¨ ¯ ° ««¥«¼­³¾ l ¨ l , ². ¥. l.

„®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ § ¢¥°¸ ¥²±¿² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±®¡±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥.„®±² ²®·­®±²¼. F = F + F , §­ ·¨², (A; B ) ª®««¨­¥ °¥­ (A ; B ) ¨ (A ; B ). § ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®©, ²® (A; B ) 6= 0. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, lkl kl .2‘«¥¤±²¢¨¥ 5.14. ’°¨ ¯°¿¬»¥ Aix + Biy + Ci = 0, i = 1; 2; 3, ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ®¤­®¬³111202020201011002200121202011021112020211220110122212111222¯³·ª³ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ A B C A B C = 0:A B C 1112223335.1. °¿¬ ¿ ­ ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ‹¥¬¬ 5.15. ‚¥ª²®° n := (A; B ) ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚¥ª²®°», ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬®©, § ¤ ¾²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ (±¬.«¥¬¬³ 5.6) A + B = 0 ¨«¨ (². ª. ª®®°¤¨­ ²» ¯°¿¬®³£®«¼­»¥) hn; (; )i = 0.2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.16. ‚¥ª²®° n = (A; B ) ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼¾ ª ¯°¿¬®© Ax + By +C = 0. (°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ´¨ª±¨°®¢ ­».)19°¥¤«®¦¥­¨¥ 5.17.­¥­¨¥¬ ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨Ax + By + C = 0 ° ¢­®P (x ; y ) ¤® ¯°¿¬®© l, § ¤ ­­®©00³° ¢-(P; l) = jAxp+ By + C j :A +B„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (x ; y ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª ­ ¯°¿¬®©. ’®£¤ !!P; nij jA(x x ) + B (y y )jd!jhPp(P; l) = jPP j cos P P; n = jnj ==A +B= j(Ax + By +pC ) (Ax + By + C )j = jAxp+ By + C j : 2A +BA +BŽ¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.18.

“° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0 ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼­»¬,¥±«¨ A + B = 1, ². ¥. ¢¥ª²®° ­®°¬ «¨ n = (A; B ) ¨¬¥¥² ¥¤¨­¨·­³¾ ¤«¨­³.‡ ¬¥· ­¨¥ 5.19. Š ¦¤ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¨¬¥¥² ¤¢ ­®°¬ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨¿. Ž­¨ ¯®«³· ¾²±¿ ¨§ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿ Ax + By + C = 0 ª ª!BCA pA + B x + pA + B y + pA + B = 0:Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.20. „«¿ ­®°¬ «¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿ F (x; y) = Ax + By + C = 0 ¢¥«¨·¨­ F (x; y) ­ §»¢ ¥²±¿ ®²ª«®­¥­¨¥¬ ²®·ª¨ (x; y) ®² ¯°¿¬®©.ˆ¬¥¥¬ (¤«¿ ­®°¬ «¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿)(¥±«¨ (x; y) 2 F :F (x; y) = " ((x; y); l); " = +11;;¥±«¨ (x; y) 2 F21101101110201222101202222222222+5.2. “£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ­ ¯«®±ª®±²¨³±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¨¬¥¾² ³° ¢­¥­¨¿ A x +B y + C = 0 ¨ A x + B y + C = 0.

’®£¤ hn;nicos ' = jn j jn j = q jA A +qB B j :A +B A +B112221112212’®£¤ (±¬. °¨±.)20221122222SSAAA(1)AA SAS A(1)SAS +(1) SA>1AKSA2SAS(2)AS+ASSS(2)SSS(2)S+ SS(2)SSFFnn(2)FFFF´®°¬³« cos = q A A +qB BA +B A +B§ ¤ ¥² ¢¥«¨·¨­³ ³£« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨, ° ¢­®£® ¯¥°¥±¥·¥­¨¾ F \ F (¨«¨ F \F ).121221122222(1)+(2)+(2)(1)6.

«®±ª®±²¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥6.1. «®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥®ª ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´´¨­­ ¿.³±²¼ ~a ¨ ~b | ¤¢ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®° , ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¨. ²®¡ §¨± ¯«®±ª®±²¨. ®½²®¬³ «¾¡®© ¢¥ª²®° ®¤­®§­ ·­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨µ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢§¿¢ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ²®·ª³ ¯«®±ª®±²¨ ± ° ¤¨³±¢¥ª²®°®¬ ~r , ¯®«³·¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¯«®±ª®±²¨~r = ~r + t~a + s~b;00£¤¥ s ¨ t | ¯ ° ¬¥²°».ˆ§ ½²¨µ ³° ¢­¥­¨© (¨«¨ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©) ¿±­®, ·²® ²®·ª ±° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ~r «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ~r ~r , ~a ¨ ~b021ª®¬¯« ­ °­», ².

¥. «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬». ¥°¥µ®¤¿ ª ´´¨­­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ¨ ¢±¯®¬¨­ ¿ ²¥®°¥¬³ ¨§ «£¥¡°», ¯®«³· ¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ x x y y z z aaa = 0: bbb 0Ž¡®§­ · ¿00123123aaA := b b ;aaB := b b ; C := ab x y zD := (Ax + By + Cz ) = a a a b b b¯°¥®¡° §³¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ª ¢¨¤³2331123311000000123123ab2 ;2 ;A(x x ) + B (y y ) + C (z z ) = 0;000Ax + By + Cz + D = 0:®±ª®«¼ª³ ~a ¨ ~b ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® (A; B; C ) 6= 0. “¢¨¤¥²¼ ½²® ¬®¦­®, ­ ¯°¨¬¥°, ¨§±«¥¤³¾¹¥£® ° ±±³¦¤¥­¨¿. „®¯³±²¨¬, ai ¨ bj | ª®®°¤¨­ ²» ­¥ª®²®°»µ ¢¥ª²®°®¢ ~a0¨ ~b0 ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² "0 = (e0 ; e0 ; e0 ) ¯®«®¦¨²¥«¼­®©®°¨¥­² ¶¨¨. ²¨ ²°®©ª¨ ·¨±¥« ­¥­³«¥¢»¥ ­¥¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»¥, ² ª ·²® ~a0 ¨ ~b0 ­¥ª®««¨­¥ °­».

‡­ ·¨², [~a0; ~b0] 6= 0. ® ª®¬¯®­¥­²» ½²®£® ¢¥ª²®° (¢ "0) ¢ ²®·­®±²¨° ¢­» (A; B; C ).ˆ² ª, Ax + By + Cz + D = 0 | ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . Ž­® ­ §»¢ ¥²±¿123®¡¹¨¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ ¯«®±ª®±²¨.Ž¡° ²­®, ° ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª Ax + By + Cz +D = 0. ’®£¤ ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¯°¨ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ­ ¯°¨¬¥°, A, ­¥ ° ¢¥­ 0. ±±¬®²°¨¬ ²®·ª³ M ( DA ; 0; 0) ¨ ¢¥ª²®°» ~a = ( B; A; 0) ¨ ~b = ( C; 0; A). ‚¥ª²®°»­¥ª®««¨­¥ °­», ¯®½²®¬³ ³° ¢­¥­¨¥ x + DA y z B A 0 = 0 C 0 A§ ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ²®·ª³ M ¯ ° ««¥«¼­® ~a ¨ ~b.

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