Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

’®£¤ ¥£® ª®½´´¨¶¨¥­²» ¿¢«¿¾²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ¢°¥¬¥­¨. €­ «®£¨·­® ¤«¿ ° ±²¿¦¥­¨¿ ¨«¨ ±¦ ²¨¿¢¥ª²®° .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±®ª«¼ª³ ª®¬¯®­¥­²» ¢¥ª²®° ®²­®±¨²¥«¼­® ®¤­®£® ´¨ª±¨°®-¢ ­­®£® ¡ §¨± ¿¢«¿¾²±¿ «¨­¥©­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£®£® ¡ §¨± , ²® ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ³¤®¡­»© ¡ §¨±.„«¿ ¢° ¹¥­¨¿ ² ª®¢»¬ ¡³¤¥² e =®±¼ ¢° ¹¥­¨¿ ¯°¨·¥¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¢° ¹¥­¨¿ ¢¨¤­®± ª®­¶ e ¯°®²¢ · ·®¢®© ±²°¥«ª¨, e =­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¯°®¥ª¶¨¨ ­ · «¼­®£® ¯®«®¦¥­¨¿¢¥ª²®° . ’®£¤ (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¢»¡®° ±ª®°®±²¨ ¢° ¹¥­¨¿) ¢° ¹ ¾¹¨©±¿ ¢¥ª²®°¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ª®®°¤¨­ ²» ( cos t; sin t; ). „«¿ ° ±²¿¦¥­¨¿ ¦¥ | (t; t; t), £¤¥t ¯°®¡¥£ ¥² ­¥ª®²®°»© ®²°¥§®ª. ²¨ ´®°¬³«» ¯®ª §»¢ ¾² ¨±ª®¬³¾ ­¥¯°¥°»¢­³¾§ ¢¨±¨¬®±²¼.233‹¥¬¬ 4.7 (¨§ ª³°± «£¥¡°»).1Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥­ ­³«¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®-£¤ , ª®£¤ ®¤­ ¨§ ¥£® ±²°®ª ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¤°³£¨µ.10‹¥¬¬ 4.8.Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­»© ®¡º¥¬ ° ¢¥­ ­³«¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢¥ª-²®°» ª®¬¯« ­ °­».„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬».’¥®°¥¬ 4.9.a; b; c§¨±  §¨±e ;e ;e122¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾ ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ -3 ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ­¥¯°¥°»¢­®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¢ ¯°®±²° ­-±²¢¥ ¡ §¨±®¢ ¥£® ¬®¦­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ¢e ; e ; e (¯®¤ ­¥¯°¥°»¢­®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¯®­¨123¬ ¥²±¿ ² ª®¥ ±¥¬¥©±²¢® ¡ §¨±®¢, ª ¦¤ ¿ ª®®°¤¨­ ² ª ¦¤®£® ¢¥ª²®° ª®²®°»µ)¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¥© ¯ ° ¬¥²° .„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬, ² ª ¿ ¤¥´®°¬ ¶¨¿ ±³¹¥±²¢³¥².

’®£¤ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼Vor" (a(t); b(t); c(t)) ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¥© ¯ ° ¬¥²° t ¨ ¯°¨­¨¬ ¥² ¢±¥ ¯°®¬¥¦³²®·­»¥ §­ ·¥­¨¿. ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ §­ ·¥­¨¥ Vor" (a; b; c) < 0, ²® ¢ ª ª®©-²® ¬®¬¥­² ¤®«¦¥­ ¯®«³·¨²¼±¿ 0, ² ª ª ª Vor" (e ; e ; e ) = 1. ²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤»¤³¹¥©«¥¬¬¥.Ž¡° ²­®, ¯®±²°®¨¬ ¯® «¥¬¬¥ 4.6 ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¤¥´®°¬ ¶¨¾: ±­ · « ±®¢¬¥±²¨¬a ± e ² ª, ·²®¡» b «¥¦ « ¢ ¯«®±ª®±²¨ e ; e ± ²®© ¦¥ ±²®°®­», ·²® ¨ e .

‡ ²¥¬±®¢¬¥±²¨¬ b ± e .  § §­ ª +, ²® e ¨ c «¥¦ ² ± ®¤­®© ±²®°®­» ®² ¯«®±ª®±²¨ ¨ ¨µ¬®¦­® ±®¢¬¥±²¨²¼.2121123223‘«¥¤±²¢¨¥ 4.10 (¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ).„¢ ¡ §¨± ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢³¾ ®°¨¥­² -¶¨¾ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ± ª®­¶ ²°¥²¼¥£® ¢¥ª²®° ª° ²· ©¸¥¥ ¤¢¨¦¥­¨¥®² ¯¥°¢®£® ª® ¢²®°®¬³ ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¢ ®¤­³ ±²®°®­³)(«¨¡® ¯°®²¨¢, «¨¡® ¯® · -±®¢®© ±²°¥«ª¥ .‘«¥¤±²¢¨¥ 4.11.‚±¥ ¡ §¨±» ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ­ ¤¢ ª« ±± , ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥© ª ¦-¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­® ±¢¿§ ²¼ ­¥¯°¥°»¢­®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥©.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.12.­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¡®° ®¤­®£® ¨§ ½²¨µ ª« ±±®¢.

Ž¡»·­® ¯°¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ \¯°®²¨¢" (±¬. ±«¥¤±²¢¨¥ 4.10) ®°¨¥­² ¶¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿¯° ¢®©, ¢ ¤°³£®¬ ±«³· ¥ | «¥¢®©. °®±²° ­±²¢® ± ¢»¡° ­­®© ®°¨¥­² ¶¨¥© ¡³¤¥¬­ §»¢ ²¼ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬ (®. ¯.).‡ ¬¥· ­¨¥ 4.13. Œ®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬ ²°¨¶ ¨§ ª®®°¤¨­ ² ²°¥²¼¥£® ¡ §¨± ¢¯¥°¢®¬ ° ¢­ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¬ ²°¨¶ ²°¥²¼¥£® ¢® ¢²®°®¬ ¨ ¢²®°®£® ¢ ¯¥°¢®¬. Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¨ ¯°¨ ½²®¬ ¯¥°¥¬­®¦ ¾²±¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥ ¡ §¨±» ¢­³²°¨ ®¤­®£® ª« ±± ¨¬¥¾² ¯®«®¦¨²¥«¼­»© ®¡º¥¬ ¤°³£ ®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£ .‡ ¤ ­¨¥¬ ®°¨¥­² ¶¨¨‹¥¬¬ 4.14.b; a; ca; b; c„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¢¥°­¥¬ ²°®©ª³ b; a; c ª ª ²¢¥°¤®¥ ²¥«® ² ª, ·²®¡» b ±®¢¯ «® ±Ž°¨¥­² ¶¨¿¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ®°¨¥­² ¶¨¨.a, a | ± b.

’®£¤ c ¨ ®¡° § c ®ª ¦³²±¿ ± ° §­»µ ±²®°®­ ®² ¯«®±ª®±²¨ a; b.2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.15. Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬ ®¡º¥¬®¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®±²°®¥­­®£®­ ¢¥ª²®° µ a; b; c ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®£® ¯°®±²° ­±²¢ ­ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«® Vor (a; b; c),11° ¢­®¥ ¯® ¡±®«¾²­®© ¢¥«¨·¨­¥ ®¡º¥¬³ ½²®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¨ ¨¬¥¾¹¥¥ §­ ª \+",¥±«¨ ²°®©ª a; b; c ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­ , ¨ §­ ª \-" ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥. ‡ ¬¥²¨¬ (ª ª ¢¨¤­® ¨§ ®¡®§­ ·¥­¨¿), ·²® ­®¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥ ±¢¿§ ­® ± ª®­ª°¥²­»¬¡ §¨±®¬.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.16. ‚¥ª²®°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¤¢³µ ¢¥ª²®°®¢ a ¨ b ¢ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®° c, ®¡®§­ · ¥¬»© [a; b], ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥¬»©±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬.…±«¨ ¢¥ª²®°» a ¨ b ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® c ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:1) ¤«¨­ c ° ¢­ ¯«®¹ ¤¨ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ (a; b);2) ¢¥ª²®° c ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ a ¨ b;3) ²°®©ª a; b; c ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾.® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®°¨¥­² ¶¨¨ ² ª®© ¢¥ª²®° c ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¥­.…±«¨ ¢¥ª²®°» a ¨ b ª®««¨­¥ °­», ²® c := 0.‹¥¬¬ 4.17.

³±²¼ e ; e ; e | ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»© ®°²®­®°¬¨°®¢ ­123­»© ¡ §¨±. ’®£¤ [e ; e ] = e ;[e ; e ] = e ;[e ; e ] = e :„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®. 2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.18. —¨±«® ha; b; ci := h[a; b]; ci ­ §»¢ ¥²±¿ ±¬¥¸ ­­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ²°®©ª¨ a; b; c.’¥®°¥¬ 4.19. ha; b; ci := Vor (a; b; c).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’®, ·²® §­ ª¨ ±®¢¯ ¤ ¾², ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®°¨¥­² ¶¨¨. °®¢¥°¨¬ ±®¢¯ ¤¥­¨¥ ¡±®«¾²­»µ ¢¥«¨·¨­, ². ¥. ·²® ¬®¤³«¼ ±¬¥¸ ­­®£®¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ° ¢¥­ ®¡º¥¬³ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .jha; b; cij = j [a; b] j jcj j cos (c; d[a; b])j = S h = jVor (a; b; c)j;123132231¯®±ª®«¼ª³ c ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­® ¯«®±ª®±²¨, ­ ²¿­³²®© ­ a ¨ b. ‡¤¥±¼ ·¥°¥§ S ®¡®§­ ·¥­ ¯«®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ¯®±²°®¥­­®£® ­ ¢¥ª²®° µ a ¨ b, h | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¢»±®² ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .2’¥®°¥¬ 4.20.‘¬¥¸ ­­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­® ¯® «¾¡®© ¯ °¥ °£³¬¥­-²®¢ ¨ «¨­¥©­® ¯® ª ¦¤®¬³ ¨§ ­¨µ:1)2)ha; b; ci = hb; a; ci = hb; c; ai = hc; b; ai = hc; a; bi = ha; c; biha + b; c; di = ha; c; di + hb; c; di ha; b; ci = ha; b; ciha; b + c; di = ha; b; di + ha; c; di ha; b; ci = ha; b; ciha; b; c + di = ha; b; ci + ha; b; di ha; b; ci = ha; b; ci;;;;;.12;„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1) ® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ ¡±®«¾²­ ¿ ¢¥«¨·¨­ (². ¥.®¡º¥¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ) ­¥ ¬¥­¿¥²±¿. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¯°® §­ ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ «¥¬¬» 4.14.2) ‹¨­¥©­®±²¼ ¯® ²°¥²¼¥¬³ °£³¬¥­²³ ®·¥¢¨¤­ . ˆ§ ½²®£® ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯. 1±«¥¤³¥² «¨­¥©­®±²¼ ¯® ®±² «¼­»¬ °£³¬¥­² ¬.2’¥®°¥¬ 4.21.1)2)3)‚¥ª²®°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:[a; b] = [b; a];[a; b] = [a; b];[a + b; c] = [a; c] + [b; c].„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¯.

1 ¨ 2 ±° §³ ¢»²¥ª ¾² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¯. 3 ° ±±¬®²°¨¬ ¢¥ª²®° d = [a + b; c] [a; c] [b; c]. ’®£¤ hd; di = h[a + b; c] [a; c] [b; c]; di = ha + b; c; di ha; c; di hb; c; di = 0:2‡­ ·¨², d = 0, ½²® ¨ ¥±²¼ ¯. 3.’¥®°¥¬ 4.22.e ;e ;e³±²¼1¥­² ¶¨¨. ’®£¤ [a; b] = det ab ab!!aaaa e + det b b e + det b b e01a a aha; b; ci = det B@ b b b CA :c c c2323¨3 | ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨-2!13131122312312312123¥°¢®¥ ° ¢¥­±²¢® ±¨¬¢®«¨·¥±ª¨ § ¯¨±»¢ ¾² ¢ ¢¨¤¥01e e e[a; b] = det B@ a a a CAb b b„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬®© ¨ «¥¬¬®© 4.17:[a; b] = [a e + a e + a e ; b e + b e + b e ] = a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +1 12 23 31 12 21231231233 31 1111 2121 31e303e2+a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] =2 1212 2e3222 3233 13e1013 2e2323 33e1= (a b a b )e + (a b a b )e + (a b a b )e =!!!aaaaaa= det b b e + det b b e + det b b e :2 33 22323113 11 331311321 222 131212330„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¢²®°®£® ±®®²­®¸¥­¨¿ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ±¬¥¸ ­­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¯¥°¢»¬ ±®®²­®¸¥­¨¥¬ ¨ § ¯¨±¼¾ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ:!!!aaaaaaha; b; ci = h[a; b]; ci = det b b c + det b b c + det b b c =01aaa= det B@ b b b CA : 2c c c‘«¥¤±²¢¨¥ 4.23.232311231231233131212123³±²¼ ¢ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¢»¡° ­ ®°²®­®°¬¨°®-" = (e ; e ; e ) ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨¥­² ¶¨¨.

’®£¤ ha; b; ci = Vor (a; b; c) = Vor" (a; b; c)¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b; c. ‚ · ±²­®±²¨, ¬» ¤®ª § «¨ ²¥®°¥¬³ 4.5, ±´®°¬³«¨°®"¢ ­­³¾ ¢ ­ · «¥ ¯ ° £° ´ : jVor (a; b; c)j ° ¢­¿¥²±¿ ®¡º¥¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ¯ ¢ ­­»© ¡ §¨±123° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ det (A) ·¥°¥§ jAj.‘«¥¤±²¢¨¥ 4.24.a ¨ b ¯°®±²° ­±²¢ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ («¾¡®© ®°¨¥­² ¶¨¨ !) ª ªv uuaaaaaatS ((a; b)) = b b + b b + b b :«®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ¯®±²°®¥­­®£® ­ ¢¥ª²®° µ2’¥®°¥¬ 4.25.233112233112ˆ¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«»:[a; [b; c]] = bha; ci cha; bi1)22(´®°¬³« ¤¢®©­®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿¨«¨ \¡ ¶ ¬¨­³± ¶ ¡");[a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]] = 02)(²®¦¤¥±²¢® Ÿª®¡¨).„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1). ‚»¡¥°¥¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e ; e ; e ¯®«®¦¨²¥«¼­®©®°¨¥­² ¶¨¨ ² ª, ·²®a = (a ; a ; a ); b = (b ; b ; 0);². ¥. e ±®­ ¯° ¢«¥­ ± c, e «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ b; c. b00b[b; c] = 0 0 ; 0 c ; bc b0 aaaa[a; [b; c]] = 0 b c ; b c 0 ; a0112312222332 12 1111111421123c = (c ; 0; 0);’®£¤ ! = (0; 0; b c );!a = ( a b c ; a b c ; 0):0 12 122 2 11 2 1‘ ¤°³£®© ±²®°®­»,ha; ci = a c ;bha; ci = (a c b ; a c b ; 0);1 1ha; bi = a b + a b ;1 1®²ª³¤ 1 1 11 1 2cha; bi = (a b c + a b c ; 0; 0);2 21 1 12 2 1bha; ci cha; bi = ( a b c ; a c b ; 0) = [a; [b; c]]:2 2 12). ® ¯.

1) :+21 1 2[a; [b; c]][b; [c; a]][c; [a; b]][a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]]====bha; ci cha; bicha; bi ahb; ciahb; ci bha; ci05. °¿¬»¥ ­ ¯«®±ª®±²¨Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.1.€«£¥¡° ¨·¥±ª ¿ «¨­¨¿ (ª°¨¢ ¿) ­ ¯«®±ª®±²¨ | ¬­®¦¥±²¢®,§ ¤ ¢ ¥¬®¥ ¢ ­¥ª®²®°®© ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬ ¢¨¤ F (x; y) = 0,£¤¥ F | ¬­®£®·«¥­:X ijF (x; y) =aij x y ; i; j = 0; 1; 2; : : :i;j n—¨±«® n ­ §»¢ ¥²±¿ ±²¥¯¥­¼¾ ¬­®£®·«¥­ F ¨ ¯®°¿¤ª®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª°¨¢®©,¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ aij ± i + j = n ®²«¨·¥­ ®² 0. ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ ª°¨¢®© ­ §»¢ ¥²±¿(x = f (t);¨«¨ ~r = ~r (t);y = g(t):£¤¥ t | ¯ ° ¬¥²°.°¨¬¥° 5.2.

Характеристики

Список файлов лекций